El método de Heun

En matemáticas y ciencias computacionales , el método de Heun puede referirse al método de Euler mejorado ^{[ 1 ]} o modificado (es decir, la regla trapezoidal explícita ^{[ 2 ]} ), o a un método de Runge-Kutta de dos etapas similar . Recibe su nombre de Karl Heun y es un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con un valor inicial dado . Ambas variantes pueden considerarse extensiones del método de Euler a métodos de Runge-Kutta de segundo orden de dos etapas.

El procedimiento para calcular la solución numérica del problema de valor inicial:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},}$

Mediante el método de Heun, primero se calcula el valor intermedio.${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$y luego la aproximación final ${\displaystyle y_{i+1}}$en el siguiente punto de integración.

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}[f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})],}$

dónde${\displaystyle h}$es el tamaño del paso y${\displaystyle t_{i+1}=t_{i}+h}$.

El método de Euler sirve de base para el método de Heun. Este método utiliza la recta tangente a la función al inicio del intervalo como una estimación de la pendiente de la función en dicho intervalo, asumiendo que si el tamaño del paso es pequeño, el error también lo será. Sin embargo, incluso con pasos extremadamente pequeños, a lo largo de un gran número de pasos el error comienza a acumularse y la estimación se aleja del valor real de la función.

Cuando la curva de la solución es cóncava hacia arriba, su línea tangente subestimará la coordenada vertical del siguiente punto, y viceversa para una solución cóncava hacia abajo. La línea de predicción ideal tocaría la curva en su siguiente punto predicho. En realidad, no hay forma de saber si la solución es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y por lo tanto, si el siguiente punto predicho sobreestimará o subestimará su valor vertical. Tampoco se puede garantizar que la concavidad de la curva permanezca constante, y la predicción puede sobreestimar y subestimar en diferentes puntos del dominio de la solución. El método de Heun aborda este problema al considerar el intervalo abarcado por el segmento de línea tangente como un todo. Tomando un ejemplo cóncavo hacia arriba, la línea de predicción tangente izquierda subestima la pendiente de la curva para todo el ancho del intervalo desde el punto actual hasta el siguiente punto predicho. Si se considera la línea tangente en el punto final derecho (que se puede estimar usando el método de Euler), tiene el problema opuesto. ^{[ 3 ]} Los puntos a lo largo de la línea tangente del extremo izquierdo tienen coordenadas verticales que subestiman las que se encuentran en la curva de solución, incluido el extremo derecho del intervalo considerado. La solución es aumentar la pendiente en cierta cantidad. El método de Heun considera las líneas tangentes a la curva de solución en ambos extremos del intervalo, una que sobreestima y otra que subestima las coordenadas verticales ideales. Se debe construir una línea de predicción basada únicamente en la pendiente de la tangente del extremo derecho, aproximada mediante el método de Euler. Si esta pendiente pasa por el extremo izquierdo del intervalo, el resultado es evidentemente demasiado pronunciado para ser utilizado como una línea de predicción ideal y sobreestima el punto ideal. Por lo tanto, el punto ideal se encuentra aproximadamente a medio camino entre la sobreestimación y la subestimación erróneas, el promedio de las dos pendientes.

El método de Euler se utiliza para estimar aproximadamente las coordenadas del siguiente punto en la solución, y con este conocimiento, la estimación original se vuelve a predecir o corregir . ^{[ 4 ]} Suponiendo que la cantidad${\displaystyle \textstyle f(x,y)}$El lado derecho de la ecuación puede considerarse como la pendiente de la solución buscada en cualquier punto.${\displaystyle \textstyle (x,y)}$Esto se puede combinar con la estimación de Euler del siguiente punto para obtener la pendiente de la recta tangente en el extremo derecho. A continuación, se utiliza el promedio de ambas pendientes para hallar las coordenadas corregidas del intervalo del extremo derecho.

${\displaystyle {\text{Pendiente}}_{\text{izquierda}}=f(x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle {\text{Pendiente}}_{\text{derecha}}=f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))}$

${\displaystyle {\text{Pendiente}}_{\text{ideal}}={\frac {1}{2}}({\text{Pendiente}}_{\text{izquierda}}+{\text{Pendiente}}_{\text{derecha}})}$

Utilizando el principio de que la pendiente de una línea es igual a la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal, las coordenadas al final del intervalo se pueden encontrar utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\text{Pendiente}}_{\text{ideal}}={\frac {\Delta y}{h}}}$

${\displaystyle \Delta y=h({\text{Pendiente}}_{\text{ideal}})}$

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+h}$,${\displaystyle \textstyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+h{\text{Pendiente}}_{\text{ideal}}}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {1}{2}}h({\text{Pendiente}}_{\text{izquierda}}+{\text{Pendiente}}_{\text{derecha}})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i})))}$

La precisión del método de Euler mejora solo linealmente al disminuir el tamaño del paso, mientras que el método de Heun mejora la precisión cuadráticamente. ^{[ 5 ]} El esquema se puede comparar con el método trapezoidal implícito , pero con${\displaystyle f(t_{i+1},y_{i+1})}$reemplazado por${\displaystyle f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})}$para hacerlo explícito.${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$es el resultado de un paso del método de Euler sobre el mismo problema de valor inicial. Por lo tanto, el método de Heun es un método predictor-corrector con el método de Euler hacia adelante como predictor y el método trapezoidal como corrector.

El método de Euler mejorado es un método de Runge-Kutta de dos etapas y se puede escribir utilizando el tablero de Butcher (en honor a John C. Butcher ):

El otro método, denominado método de Heun (también conocido como método de Ralston), tiene el cuadro de Butcher: ^{[ 6 ]}

Este método minimiza el error de truncamiento .