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Articulo de referencia

Regla trapezoidal

La función f ( x ) (en azul) se aproxima mediante una función lineal (en rojo). En cálculo , la regla trapezoidal (informalmente regla trapezoidal ; o en inglés británico regla ...

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La función f ( x ) (en azul) se aproxima mediante una función lineal (en rojo).

En cálculo , la regla trapezoidal (informalmente regla trapezoidal ; o en inglés británico regla trapezium ) [ a ] es una técnica para la integración numérica , es decir, para aproximar la integral definida : ∫abF(incógnita)dincógnita.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

Una animación que muestra qué es la regla trapezoidal y cómo disminuye el error de aproximación a medida que disminuye el tamaño del paso.

La regla trapezoidal funciona aproximando la región bajo la gráfica de la función. F(incógnita){\displaystyle f(x)}como un trapecio y calculando su área . Esto se calcula fácilmente observando que el área de la región está formada por un rectángulo con ancho(b−a){\displaystyle (ba)}y alturaF(a){\displaystyle f(a)}y un triángulo de ancho(b−a){\displaystyle (ba)}y alturaF(b)−F(a){\displaystyle f(b)-f(a)}.

Por lo tanto, ∫abF(incógnita)dincógnita≈(b−a)⋅F(a)⏟Área del rectángulo+12(b−a)⋅[F(b)−F(a)]⏟Área del triángulo=(b−a)⋅(F(a)+12F(b)−12F(a))=(b−a)⋅(12F(a)+12F(b))=12(b−a)[F(a)+F(b)].{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx \underbrace {(ba)\cdot f(a)} _{\text{Área del rectángulo}}+\underbrace {{\tfrac {1}{2}}(ba)\cdot [f(b)-f(a)]} _{\text{Área del triángulo}}\\&=(ba)\cdot \left(f(a)+{\tfrac {1}{2}}f(b)-{\tfrac {1}{2}}f(a)\right)\\&=(ba)\cdot \left({\tfrac {1}{2}}f(a)+{\tfrac {1}{2}}f(b)\right)\\&={\frac {1}{2}}(ba)[f(a)+f(b)].\end{aligned}}}

La regla también se puede derivar reemplazando el integrando con la ecuación de la recta que une los puntos.(a,F(a)){\displaystyle {\big (}a,f(a){\big )}}y(b,F(b)){\displaystyle {\big (}b,f(b){\big )}}, que utilizando la forma de dos puntos de la ecuación de una línea, es y=(incógnita−a)F(b)−F(a)b−a+F(a).{\displaystyle y=(xa)\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+f(a).}

Por lo tanto, ∫abF(incógnita)dincógnita≈∫ab(incógnita−a)F(b)−F(a)b−a+F(a)dincógnita=[12(incógnita−a)2F(b)−F(a)b−a+incógnitaF(a)]incógnita=aincógnita=b=[12(b−a)2F(b)−F(a)b−a+bF(a)]−aF(a)=12(b−a)[F(b)−F(a)]+(b−a)F(a)=12(b−a)[F(a)+F(b)],{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx \int _{a}^{b}(xa)\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+f(a)\,dx\\&=\left[{\frac {1}{2}}(xa)^{2}\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+xf(a)\right]_{x=a}^{x=b}\\&=\left[{\frac {1}{2}}(ba)^{2}\,{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}+bf(a)\right]-af(a)\\&={\frac {1}{2}}(ba)[f(b)-f(a)]+(ba)f(a)\\&={\frac {1}{2}}(ba)[f(a)+f(b)],\end{aligned}}} como antes.

Ilustración de la "regla trapezoidal encadenada" utilizada en una partición de espaciado irregular.[a,b]{\displaystyle [a,b]}

La integral se puede aproximar aún mejor dividiendo el intervalo de integración , aplicando la regla del trapecio a cada subintervalo y sumando los resultados. En la práctica, esta regla del trapecio "encadenada" (o "compuesta") es generalmente lo que se entiende por "integrar con la regla del trapecio". Sea{incógnitak}{\displaystyle \{x_{k}\}}ser una partición de[a,b]{\displaystyle [a,b]}de tal manera quea=incógnita0<incógnita1<⋯<incógnitanorte−1<incógnitanorte=b,{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b,}yΔincógnitak{\displaystyle \Delta x_{k}}ser la longitud de lak{\displaystyle k}-ésimo subintervalo (es decir,Δincógnitak=incógnitak−incógnitak−1{\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}), entonces ∫abF(incógnita)dincógnita≈∑k=1norteF(incógnitak−1)+F(incógnitak)2Δincógnitak.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.} La regla trapezoidal puede considerarse como el resultado obtenido al promediar las sumas de Riemann izquierda y derecha , y a veces se define de esta manera.

La aproximación se vuelve más precisa a medida que aumenta la resolución de la partición (es decir, para valores mayores denorte{\displaystyle N}, todoΔincógnitak{\displaystyle \Delta x_{k}}disminuir).

Cuando la partición tiene un espaciado regular, como suele ser el caso, es decir, cuando todas lasΔincógnitak{\displaystyle \Delta x_{k}}tienen el mismo valorΔincógnita,{\displaystyle \Delta x,}La fórmula se puede simplificar para una mayor eficiencia en el cálculo mediante la factorización.Δincógnita{\displaystyle \Delta x}afuera: ∫abF(incógnita)dincógnita≈Δincógnita(F(incógnita0)+F(incógnitanorte)2+∑k=1norte−1F(incógnitak)).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \Delta x\left({\frac {f(x_{0})+f(x_{N})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).}

Como se explica más adelante, también es posible establecer límites de error para la precisión del valor de una integral definida estimada mediante la regla del trapecio.

Historia

Las evidencias descubiertas en tablillas cuniformes babilónicas alrededor del año 200 a. C. que predicen el movimiento de Júpiter a lo largo de la eclíptica sugieren que la regla del trapecio se utilizaba para la aproximación numérica mucho antes de que se inventara el cálculo. [ 1 ] [ 2 ]

Implementación numérica

Rejilla no uniforme

Cuando el espaciado de la cuadrícula no es uniforme, se puede utilizar la fórmula ∫abF(incógnita)dincógnita≈∑k=1norteF(incógnitak−1)+F(incógnitak)2Δincógnitak,{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},} dóndeΔincógnitak=incógnitak−incógnitak−1,{\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1},}o más bien una fórmula computacionalmente eficiente ∫abF(incógnita)dincógnita≈12(F(incógnita0)Δ+1incógnita0+F(incógnitanorte)Δ−1incógnitanorte+∑k=1norte−1F(incógnitak)Δ±1incógnitak),{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}{\biggl (}f(x_{0})\Delta _{+1}x_{0}+f(x_{N})\Delta _{-1}x_{N}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\Delta _{\pm 1}x_{k}{\biggr )},} dóndeΔ+1incógnita0=incógnita1−incógnita0,{\displaystyle \Delta _{+1}x_{0}=x_{1}-x_{0},}Δ−1incógnitanorte=incógnitanorte−incógnitanorte−1,{\displaystyle \Delta _{-1}x_{N}=x_{N}-x_{N-1},}Δ±1incógnitak=incógnitak+1−incógnitak−1{\displaystyle \Delta _{\pm 1}x_{k}=x_{k+1}-x_{k-1}}son las diferencias correspondientes hacia adelante, hacia atrás y centrales .

Rejilla uniforme

Para un dominio particionado pornorte{\displaystyle N}Puntos igualmente espaciados, puede producirse una simplificación considerable.

DejarΔincógnita=b−anorte{\displaystyle \Delta x={\frac {ba}{N}}}yincógnitak=a+kΔincógnita{\displaystyle x_{k}=a+k\Delta x}parak=0,1,…,norte.{\displaystyle k=0,1,\ldots ,N.} La aproximación a la integral se convierte en ∫abF(incógnita)dincógnita≈Δincógnita2∑k=1norte[F(incógnitak−1)+F(incógnitak)]=Δincógnita(12F(incógnita0)+12F(incógnitanorte)+∑k=1norte−1F(incógnitak)).{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}[f(x_{k-1})+f(x_{k})]\\&=\Delta x{\biggl (}{\tfrac {1}{2}}f(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f(x_{N})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k}){\biggr )}.\end{aligned}}}

A veces esta expresión se escribe como Δincógnita ∑)′k=0norte⁡F(incógnitak),{\displaystyle \Delta x\!\!\mathop {\ \sum {\vphantom {\big )}}'} _{k=0}^{N}f(x_{k}),}

donde el símbolo∑ ′{\displaystyle \textstyle \sum ~\!\!'}⁠ indica que el primer y el último término se dividen por la mitad.

Análisis de errores

Una animación que muestra cómo la aproximación de la regla trapezoidal mejora con más franjas para un intervalo cona=2{\displaystyle a=2}yb=8{\displaystyle b=8}. Como el número de intervalosnorte{\displaystyle N}A medida que aumenta la precisión del resultado, también lo hace.

El error de la regla trapezoidal compuesta es la diferencia entre el valor de la integral y el resultado numérico: mi=∫abF(incógnita)dincógnita−b−anorte[F(a)+F(b)2+∑k=1norte−1F(a+kb−anorte)]{\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]}

Existe un número ξ entre a y b , tal que [ 3 ]mi=−(b−a)312norte2F″(ξ){\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(ba)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}

De ello se deduce que si la función integrando es cóncava hacia arriba (y, por lo tanto, tiene una segunda derivada positiva), el error es negativo y la regla del trapecio sobreestima el valor real. Esto también se puede apreciar en la representación geométrica: los trapecios abarcan toda el área bajo la curva y se extienden sobre ella. De forma similar, una función cóncava hacia abajo produce una subestimación porque no se considera el área bajo la curva, pero sí el área por encima. Si el intervalo de la integral que se está aproximando incluye un punto de inflexión , resulta más difícil identificar el signo del error.

Una estimación de error asintótico para N → ∞ viene dada por mi=−(b−a)212norte2[F′(b)−F′(a)]+O(norte−3).{\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(ba)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).} Los demás términos de esta estimación de error vienen dados por la fórmula de suma de Euler-Maclaurin.

Se pueden utilizar varias técnicas para analizar el error, entre ellas: [ 4 ]

  1. series de Fourier
  2. Cálculo de residuos
  3. Fórmula de suma de Euler-Maclaurin [ 5 ] [ 6 ]
  4. Interpolación polinómica [ 7 ]

Se argumenta que la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal refleja y puede utilizarse como definición de clases de suavidad de las funciones. [ 8 ]

Prueba

Primero supongamos queh=b−anorte{\displaystyle h={\frac {ba}{N}}}yak=a+(k−1)h{\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}. Dejargramok(t)=12t[F(ak)+F(ak+t)]−∫akak+tF(incógnita)dincógnita{\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}sea ​​la función tal que|gramok(h)|{\displaystyle |g_{k}(h)|}es el error de la regla trapezoidal en uno de los intervalos,[ak,ak+h]{\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}. Entonces dgramokdt=12[F(ak)+F(ak+t)]+12t⋅F′(ak+t)−F(ak+t),{\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),} y d2gramokdt2=12t⋅F″(ak+t).{\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}

Ahora supongamos que|F″(incógnita)|≤|F″(ξ)|,{\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}lo cual se cumple siF{\displaystyle f}es suficientemente suave. De ello se deduce que |F″(ak+t)|≤F″(ξ){\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )} lo cual es equivalente a −F″(ξ)≤F″(ak+t)≤F″(ξ){\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}, o−F″(ξ)t2≤gramok″(t)≤F″(ξ)t2.{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}

Desdegramok′(0)=0{\displaystyle g_{k}'(0)=0}ygramok(0)=0{\displaystyle g_{k}(0)=0}, ∫0tgramok″(incógnita)dincógnita=gramok′(t){\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}y∫0tgramok′(incógnita)dincógnita=gramok(t).{\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}

Utilizando estos resultados, encontramos −F″(ξ)t24≤gramok′(t)≤F″(ξ)t24{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}} y −F″(ξ)t312≤gramok(t)≤F″(ξ)t312{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}

Alquilert=h{\displaystyle t=h}encontramos −F″(ξ)h312≤gramok(h)≤F″(ξ)h312.{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}

Sumando todos los términos de error locales encontramos ∑k=1nortegramok(h)=b−anorte[F(a)+F(b)2+∑k=1norte−1F(a+kb−anorte)]−∫abF(incógnita)dincógnita.{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {ba}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {ba}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}

Pero también tenemos −∑k=1norteF″(ξ)h312≤∑k=1nortegramok(h)≤∑k=1norteF″(ξ)h312{\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}} y ∑k=1norteF″(ξ)h312=F″(ξ)h3norte12,{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}

de modo que

−F″(ξ)h3norte12≤b−anorte[F(a)+F(b)2+∑k=1norte−1F(a+kb−anorte)]−∫abF(incógnita)dincógnita≤F″(ξ)h3norte12.{\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}

Por lo tanto, el error total está acotado por

error=|∫abF(incógnita)dincógnita−b−anorte[F(a)+F(b)2+∑k=1norte−1F(a+kb−anorte)]|≤F″(ξ)h3norte12=F″(ξ)(b−a)312norte2.{\displaystyle {\text{error}}=\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]\right|\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}

Funciones periódicas y de pico

La regla trapezoidal converge rápidamente para funciones periódicas. Esto es una consecuencia sencilla de la fórmula de sumación de Euler-Maclaurin , que establece que siF{\displaystyle f}espag{\displaystyle p}tiempos continuamente diferenciables con el períodoT,{\displaystyle T,}entonces ∑k=0norte−1F(kh)h=∫0TF(incógnita)dincógnita+∑k=1⌊pag/2⌋B2k(2k)¡(F(2k−1)(T)−F(2k−1)(0))−(−1)paghpag∫0TB~pag(incógnita/T)F(pag)(incógnita)dincógnita,{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0)\right)-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx,} dóndeh:=T/norte,{\displaystyle h:=T/N,}yB~pag{\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}es la extensión periódica de lapag{\displaystyle p}Polinomio de Bernoulli -ésimo. [ 9 ] Debido a la periodicidad, las derivadas en el punto final se cancelan y vemos que el error esO(hpag){\displaystyle O(h^{p})}.

Un efecto similar está disponible para funciones con forma de pico, como la gaussiana , la gaussiana modificada exponencialmente y otras funciones con derivadas en los límites de integración que pueden despreciarse. [ 10 ] La evaluación de la integral completa de una función gaussiana mediante la regla trapezoidal con una precisión del 1% se puede realizar utilizando solo 4  puntos. [ 11 ] La regla de Simpson requiere 1,8  veces más puntos para lograr la misma precisión. [ 11 ] [ 12 ]

Funciones "ásperas"

Para funciones que no pertenecen a C2 , el límite de error mencionado anteriormente no es aplicable. Sin embargo, se pueden derivar límites de error para dichas funciones aproximadas, los cuales suelen mostrar una convergencia más lenta con el número de evaluaciones de la función .norte{\displaystyle N}que elO(norte−2){\displaystyle O(N^{-2})}comportamiento descrito anteriormente. Curiosamente, en este caso la regla trapezoidal suele tener límites más precisos que la regla de Simpson para el mismo número de evaluaciones de la función. [ 13 ]

Aplicabilidad y alternativas

La regla del trapecio pertenece a una familia de fórmulas para la integración numérica denominadas fórmulas de Newton-Cotes , cuya regla del punto medio es similar a la del trapecio. La regla de Simpson es otro miembro de esta misma familia y, en general, presenta una convergencia más rápida que la regla del trapecio para funciones dos veces continuamente diferenciables, aunque no en todos los casos específicos. Sin embargo, para diversas clases de funciones menos definidas (con condiciones de suavidad más débiles), la regla del trapecio presenta, en general, una convergencia más rápida que la regla de Simpson. [ 13 ]

Además, la regla trapezoidal tiende a ser extremadamente precisa cuando las funciones periódicas se integran a lo largo de sus periodos, lo cual puede analizarse de diversas maneras . La convergencia suele ser exponencial o más rápida. [ 8 ] [ 12 ] Un efecto similar se observa en las funciones pico. [ 11 ] [ 12 ]

Sin embargo, para funciones no periódicas infinitamente suaves, los métodos con puntos desigualmente espaciados, como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis, generalmente dan respuestas más precisas para el mismo número de evaluaciones de la función; la cuadratura de Clenshaw-Curtis puede verse como un cambio de variables para expresar integrales arbitrarias en términos de integrales periódicas, momento en el que se puede aplicar con precisión la regla trapezoidal.

Algoritmo

El siguiente pseudocódigo describe la regla del trapecio.

Entrada: Función de valor real, f Límite inferior de integración, a Límite superior de integración, b Número de intervalos, n Salida: Una aproximación de∫abF(incógnita)dincógnita{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}h ← (b - a) / n suma ← f(a) + f(b) para i ← 1 a n - 1 hacer x ← a + ( i × h ) suma ← suma + (2 × f(x) ) fin para devolver ( h / 2) × suma

Ejemplos numéricos

Aproximando el logaritmo natural de 3

Desde ∫131incógnitadincógnita=ln⁡3−ln⁡1=ln⁡3,{\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln 3-\ln 1=\ln 3,} podemos usar la regla trapezoidal para aproximar la integral, generando así una aproximación deln⁡3{\displaystyle \ln 3}.

Aplicando la regla connorte=3{\displaystyle n=3}los segmentos dan ln⁡3=∫131incógnitadincógnita≈13(1+65+67+13)=356315≈1.13015873,{\displaystyle \ln 3=\int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx\approx {\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{7}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {356}{315}}\approx 1.13015873,} que tiene error absoluto de0,031546{\displaystyle 0.031546}y un error relativo de2.87148%{\displaystyle 2.87148\%}.

Aplicando la regla connorte=6{\displaystyle n=6}los segmentos dan ln⁡3=∫131incógnitadincógnita≈16(1+32+65+1+67+34+13)=27892520≈1.10674603,{\displaystyle \ln 3=\int _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx\approx {\frac {1}{6}}\left(1+{\frac {3}{2}}+{\frac {6}{5}}+1+{\frac {6}{7}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {2789}{2520}}\approx 1.10674603,} que tiene error absoluto de8.13×10−3{\displaystyle 8.13\times 10^{-3}}y un error relativo de0,74036%{\displaystyle 0.74036\%}.

Aproximación de la integral de un producto

Se da la siguiente integral: ∫0.11.35incógnitami−2incógnitadincógnita.{\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}\,dx.}

  1.  Utilice la regla trapezoidal compuesta para estimar el valor de esta integral. Utilice tres segmentos.
  2.  Encuentra el error verdaderomit{\displaystyle E_{t}}para la parte (a).
  3.  Calcula el error verdadero relativo absoluto|εt|{\displaystyle |\varepsilon _{t}|}para la parte (a).

Solución

  1. La solución que utiliza la regla trapezoidal compuesta con 3 segmentos se aplica de la siguiente manera. ∫abF(incógnita)dincógnita≈b−a2norte[F(a)+2∑i=1norte−1F(a+ih)+F(b)].{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right].}norte=3,a=0.1,b=1.3,h=b−anorte=1.3−0.13=0.4.{\displaystyle {\begin{aligned}n&=3,\\a&=0.1,\\b&=1.3,\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4.\end{aligned}}} Utilizando la fórmula de la regla trapezoidal compuesta, ∫abF(incógnita)dincógnita≈b−a2norte[F(a)+2{∑i=1norte−1F(a+ih)}+F(b)].{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right\}+f(b)\right].}I≈1.3−0.16[F(0.1)+2∑i=13−1F(0.1+0,4i)+F(1.3)]I≈1.3−0.16[F(0.1)+2∑i=12F(0.1+0,4i)+F(1.3)]=0,2[F(0.1)+2F(0,5)+2F(0,9)+F(1.3)]=0,2[5×0.1×mi−2(0.1)+2(5×0,5×mi−2(0,5))+2(5×0,9×mi−2(0,9))+5×1.3×mi−2(1.3)]=0,84385.{\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}f(0.1+0.4i)+f(1.3)\right]\\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}f(0.1+0.4i)+f(1.3)\right]\\&=0.2[f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)]\\&=0.2\left[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\right]\\&=0.84385.\end{aligned}}}
  2. El valor exacto de la integral anterior se puede encontrar mediante integración por partes y es ∫0.11.35incógnitami−2incógnitadincógnita=0,89387,{\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}\,dx=0.89387,} por lo tanto el verdadero error es mit=(valor verdadero)−(valor aproximado)=0,89387−0,84385=0,05002.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{t}&=({\text{true value}})-({\text{approximate value}})\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002.\end{aligned}}}
  3. El error relativo verdadero absoluto es |εt|=|error verdaderovalor verdadero|×100%=|0,050020,89387|×100%=5.5959%.{\displaystyle {\begin{aligned}|\varepsilon _{t}|&=\left|{\frac {\text{true error}}{\text{true value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%.\end{aligned}}}

Véase también

Notas

  1. ↑ Consulte Trapecio para obtener más información sobre la terminología.
  1. ↑ Ossendrijver, Mathieu (29 de enero de 2016). "Los antiguos astrónomos babilonios calcularon la posición de Júpiter a partir del área bajo un gráfico de tiempo-velocidad" . Science . 351 ( 6272): 482– 484. Bibcode : 2016Sci...351..482O . doi : 10.1126/science.aad8085 . PMID 26823423. S2CID 206644971 .  
  2. ↑ "Los antiguos babilonios fueron los primeros en utilizar la geometría"" . BBC News . 29-01-2016 . Consultado el 13-02-2025 .
  3. ↑ Atkinson 1989 , ecuación (5.1.7).
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Referencias

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  • IP Mysovskikh, Fórmula del trapecio , Enciclopedia de Matemáticas , ed. M. Hazewinkel
  • Notas sobre la convergencia de la cuadratura de la regla trapezoidal
  • Una implementación de la cuadratura trapezoidal proporcionada por Boost.Math