Muestreo hexagonal

La región fuera de la cual las muestras de la señal toman valores cero se conoce como Región de Soporte (ROS). De la definición se desprende que la región de soporte de una señal no es única.

La transformada de Fourier es una herramienta que nos permite simplificar las operaciones matemáticas realizadas sobre la señal. Básicamente, la transformada representa cualquier señal como una combinación ponderada de sinusoides . La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier de una señal M-dimensional se pueden definir de la siguiente manera:

${\displaystyle X_{a}({\hat {\Omega }})=\int _{-\infty }^{+\infty }\!x_{a}({\hat {t}})e^{-j{\hat {\Omega }}^{T}{\hat {t}}}d{\hat {t}}}$

${\displaystyle x_{a}({\hat {t}})={\frac {1}{2\pi ^{M}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!X({\hat {\Omega }})e^{(j{\hat {\Omega }}^{T}{\hat {t}})}\,\mathrm {d} {\hat {\Omega }}}$

El símbolo de mayúscula ^ indica que la operación se realiza sobre vectores. Se observa que la transformada de Fourier de la señal muestreada es una extensión periódica de la transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal. Esto se representa matemáticamente como:

${\displaystyle X(\omega )={\frac {1}{|det(V)|}}\sum _{k}\!X_{a}({\hat {\Omega }}-Uk)}$ dónde${\displaystyle \omega ={\tilde {V}}\Omega }$y${\displaystyle U=2\pi {\tilde {V}}}$es la matriz de periodicidad donde ~ denota la transposición de la matriz.

De este modo, el muestreo en el dominio espacial da como resultado periodicidad en el dominio de Fourier.

Una señal de ancho de banda limitado puede replicarse periódicamente de diversas maneras. Si la replicación produce una superposición entre las regiones replicadas, la señal sufre de aliasing . En tales condiciones, una señal de tiempo continuo no puede recuperarse perfectamente a partir de sus muestras. Por lo tanto, para garantizar una recuperación perfecta de la señal continua, debe existir un muestreo multidimensional sin superposición de las regiones replicadas en el dominio transformado. Al igual que en el caso de las señales unidimensionales, el aliasing puede prevenirse si la señal de tiempo continuo se muestrea a una frecuencia suficientemente alta.

Es una medida del número de muestras por unidad de área. Se define como:

${\displaystyle SD={\frac {1}{|det(V)|}}={\frac {|det(U)|}{4\pi ^{2}}}}$.

La densidad de muestreo óptima se define como el número mínimo de muestras por unidad de área necesario para recuperar completamente la señal de tiempo continuo. En aplicaciones donde la memoria o el tiempo de procesamiento son limitados, es fundamental minimizar el número de muestras necesarias para representar la señal por completo.

En el muestreo rectangular, una señal bidimensional, por ejemplo, se muestrea de acuerdo con la siguiente matriz V:

${\displaystyle V_{rect}={\begin{bmatrix}T1&0\\0&T2\end{bmatrix}}}$donde T1 y T2 son los períodos de muestreo a lo largo de la dirección horizontal y vertical respectivamente. ^{[ 2 ]}

En el muestreo hexagonal, la matriz V adopta la siguiente forma general:

${\displaystyle V_{hex}={\begin{bmatrix}T1&T1\\-T2&T2\end{bmatrix}}}$

La diferencia en la eficiencia de los dos esquemas se destaca utilizando una señal de ancho de banda limitado con una región de soporte circular de radio R. El círculo puede estar inscrito en un cuadrado de longitud 2R o en un hexágono regular de longitud${\displaystyle {\frac {2R}{\sqrt {3}}}}$En consecuencia, la región de soporte se transforma en un cuadrado y un hexágono, respectivamente. Si estas regiones se replican periódicamente en el dominio de la frecuencia de forma que no haya solapamiento entre ninguna, al replicar periódicamente la región cuadrada de soporte, se muestrea la señal continua en una red rectangular. De forma similar, la replicación periódica de la región hexagonal de soporte equivale a muestrear la señal continua en una red hexagonal.

A partir de U, la matriz de periodicidad, podemos calcular la densidad de muestreo óptima para los esquemas rectangular y hexagonal. Se observa que, para recuperar completamente la señal limitada en banda circular, el esquema de muestreo hexagonal requiere un 13,4 % menos de muestras que el esquema de muestreo rectangular. Esta reducción puede parecer insignificante para una señal bidimensional. Sin embargo, a medida que aumenta la dimensionalidad de la señal, la eficiencia del esquema de muestreo hexagonal se vuelve mucho más evidente. Por ejemplo, la reducción lograda para una señal de ocho dimensiones es del 93,8 %. Para resaltar la importancia del resultado obtenido,Intenta visualizar una imagen como una colección de un número infinito de muestras. La entidad principal responsable de la visión, es decir, los fotorreceptores (bastones y conos), están presentes en la retina de todos los mamíferos. ^{[ 3 ]} Estas células no están dispuestas en filas y columnas. Al adoptar un esquema de muestreo hexagonal, nuestros ojos pueden procesar imágenes de manera mucho más eficiente. La importancia del muestreo hexagonal radica en que los fotorreceptores del sistema visual humano se encuentran en una red de muestreo hexagonal y, por lo tanto, realizan un muestreo hexagonal.De hecho, se puede demostrar que el esquema de muestreo hexagonal es el esquema de muestreo óptimo para una señal con ancho de banda limitado circularmente. ^{[ 4 ]}

Los recientes avances en la tecnología CCD han hecho posible el muestreo hexagonal para aplicaciones prácticas. Históricamente, debido a limitaciones tecnológicas, los conjuntos de detectores se implementaban únicamente en redes de muestreo rectangulares bidimensionales con detectores de forma rectangular. Sin embargo, el detector super [CCD] introducido por Fuji cuenta con un píxel octogonal en una cuadrícula hexagonal. Teóricamente, el rendimiento del detector aumentó considerablemente al introducir un píxel octogonal. Se redujo el número de píxeles necesarios para representar la muestra y se observó una mejora significativa en la relación señal-ruido (SNR) en comparación con la de un píxel rectangular. ^{[ 5 ]} Pero la desventaja de usar píxeles hexagonales es que el factor de llenado asociado será inferior al 82 %. Un método alternativo sería interpolar los píxeles hexagonales de tal manera que finalmente se obtenga una cuadrícula rectangular. El satélite Spot  5 incorpora una técnica similar en la que dos CCD lineales idénticos transmiten dos imágenes casi idénticas desplazadas medio píxel. Al interpolar y procesar las dos imágenes, se imita el funcionamiento de un detector con un píxel hexagonal.

Uno de los principales desafíos en el campo de los gráficos por computadora es representar la señal continua del mundo real como un conjunto discreto de puntos en la pantalla física. Se sabe desde hace tiempo que las cuadrículas de muestreo hexagonales ofrecen varias ventajas en comparación con las rectangulares. Peterson y Middleton investigaron el muestreo y la reconstrucción de funciones M-dimensionales con número de onda limitado y concluyeron que la red de muestreo óptima, en general, no es hexagonal. ^{[ 6 ]} Russell M. Mersereau desarrolló la transformada discreta de Fourier ( DFT ) hexagonal y filtros de respuesta impulsional de extensión finita hexagonales. Demostró que, para señales con ancho de banda limitado circularmente, el muestreo hexagonal es más eficiente que el rectangular. Cramblitt y Allebach desarrollaron métodos para diseñar patrones de muestreo secuenciales en el tiempo hexagonales óptimos y analizaron sus ventajas en relación con los diseñados para una cuadrícula de muestreo rectangular. ^{[ 7 ]}

Una de las características únicas de una cuadrícula de muestreo hexagonal es que su transformada de Fourier sigue siendo hexagonal. También existe una relación inversa entre la distancia entre filas y columnas sucesivas (suponiendo que las muestras se encuentran en el centro del hexágono). Esta relación inversa juega un papel crucial en la minimización del aliasing y la maximización de la densidad de muestreo mínima. El error de cuantificación está inevitablemente presente al discretizar señales continuas del mundo real. Se han realizado experimentos para determinar qué configuración de detector producirá el menor error de cuantificación . Se encontró que el muestreo espacial hexagonal produce el menor error de cuantificación para una resolución dada del sensor .

Conectividad consistente de las cuadrículas hexagonales : En una cuadrícula hexagonal, podemos definir un fondo de solo 6 muestras vecinas. Sin embargo, en una cuadrícula cuadrada, podemos definir un fondo de 4 u 8 muestras vecinas (si se permite la conectividad diagonal). Debido a la ausencia de esta opción en las cuadrículas hexagonales, se pueden diseñar algoritmos eficientes. La conectividad consistente también es responsable de una mejor resolución angular . Por eso, la red hexagonal es mucho mejor para representar objetos curvos que la red rectangular. A pesar de estas ventajas, las cuadrículas hexagonales no se han utilizado en la práctica en visión por computadora en todo su potencial debido a la falta de hardware para procesar, capturar y mostrar imágenes basadas en hexágonos. Como se destacó anteriormente con el satélite Spot  5 , uno de los métodos que se están considerando para superar esta dificultad de hardware es imitar los píxeles hexagonales usando píxeles cuadrados.