dodecaedro de Disdyakis

En geometría , un dodecaedro disdiakis (también hexoctaedro , ^{[ 1 ]} hexakis octaedro , octakis cubo , octakis hexaedro , kisrrómbico dodecaedro ^{[ 2 ]} ) o d48 , es un sólido catalán con 48 caras y el dual del cuboctaedro truncado de Arquímedes . Como tal, es transitivo en caras pero con polígonos de caras irregulares. Se asemeja a un dodecaedro rómbico aumentado . Reemplazar cada cara del dodecaedro rómbico con una pirámide plana da como resultado el Kleetope del dodecaedro rómbico, que se parece mucho al dodecaedro disdiakis y es topológicamente equivalente a él. ^{[ a ]} La red de la pirámide dodecaédrica rómbica también comparte la misma topología.

Posee simetría octaédrica O _h . Sus aristas representan los planos de reflexión de dicha simetría. También se observa en la triangulación de vértices y aristas centrales del cubo y octaedro regulares, así como del dodecaedro rómbico.

Las aristas de un dodecaedro disdiakis esférico pertenecen a 9 círculos máximos . Tres de ellos forman un octaedro esférico (gris en las imágenes inferiores). Los seis restantes forman tres hosoedros cuadrados (rojo, verde y azul en las imágenes inferiores). Todos corresponden a planos de simetría : el primero con simetría diedral [2,2] y el segundo con simetría tetraédrica [3,3]. Un dodecaedro disdiakis esférico puede considerarse como la subdivisión baricéntrica del cubo esférico o del octaedro esférico . ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle ~a={\frac {1}{1+2{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.261},~~b={\frac {1}{2+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.160},~~c={\frac {1}{3+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.138}}$Entonces , las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecaedro disdyakis centrado en el origen son:

● permutaciones de (± a , 0, 0) (vértices de un octaedro) ● permutaciones de (± b , ± b , 0) (vértices de un cuboctaedro ) ● (± c , ± c , ± c ) (vértices de un cubo)      

Si sus aristas más pequeñas tienen longitud a , su área superficial y su volumen son

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}}$

Las caras son triángulos escalenos. Sus ángulos son${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 87.201^{\circ }}}$,${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 55.024^{\circ }}}$y${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 37.773^{\circ }}}$.

El cuboctaedro truncado y su dual, el dodecaedro disdiakis, pueden representarse mediante diversas orientaciones proyectivas ortogonales simétricas. Entre un poliedro y su dual, los vértices y las caras se intercambian de posición, y las aristas son perpendiculares.

El dodecaedro disdyakis pertenece a una familia de poliedros duales de los poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.

Se trata de un poliedro en una secuencia definida por la configuración de caras V4.6.2 n . Este grupo es especial porque tiene un número par de aristas por vértice y forma planos bisecantes que atraviesan el poliedro y líneas infinitas en el plano, y continúa en el plano hiperbólico para cualquier n  ≥  7.

Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y teselaciones se pueden representar alternando dos colores, de modo que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.

Cada cara de estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría con simetría de orden 2,3, n en cada vértice de la cara triangular.

• Primera estelación de un dodecaedro rómbico
• Triacontaedro de Disdyakis
• Azulejos de kirchombille
• Gran rombihexacrón : un poliedro dual uniforme con la misma topología de superficie.

• Williams, Robert (1979). Los fundamentos geométricos de la estructura natural: Un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

(Sección 3-9)

• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 21, Nomenclatura de los poliedros y teselaciones arquimedianos y catalanes, página 285, dodecaedro rómbico)

• Weisstein, Eric W. , " Dodecaedro de Disdyakis " (" Sólido catalán ") en MathWorld .
• Modelo interactivo de poliedro: dodecaedro disdyakis (octaedro hexakis).