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Articulo de referencia

octaedro regular

[[bipyramid]], [[cross-polytope]], [[deltahedron]], [[Hanner polytope]], [[octahedron]], [[Platonic solid]], [[regular polyhedron]], [[simplicial polyhedron|simplicial]]"},"vert...

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En geometría , un octaedro regular es un poliedro de ocho caras con triángulos equiláteros . Conocido por su gran simetría, el octaedro regular es un sólido platónico y, en general, un poliedro regular . Si sus caras son triángulos isósceles, el octaedro regular se convierte en una bipirámide cuadrada . El octaedro regular es un ejemplo de diversas clasificaciones, como deltaedro y poliedro simplicial .

Los octaedros regulares aparecen en la naturaleza y la ciencia, como en las estructuras cristalinas y en la estereoquímica , donde se asemejan a una molécula química conocida como geometría molecular octaédrica . También se encuentran en la cultura popular y la teoría musical. Pueden ser el núcleo de la construcción de poliedros y pueden recubrirse con diferentes poliedros para crear una estructura de panal .

Los vértices y las aristas de un octaedro regular dan lugar a un grafo , una estructura discreta dibujada en un plano. Se denomina grafo octaédrico . El grafo octaédrico es un ejemplo de grafo simplicial bien cubierto de cuatro conexiones . También es uno de los seis grafos conexos en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. Dentro de esta estructura, el grafo forma una superficie topológica llamada triangulación de Whitney .

Propiedades

Un octaedro regular es un poliedro con ocho triángulos equiláteros . Cada vértice es la intersección de cuatro aristas y cuatro caras. Por lo tanto, el octaedro regular tiene ocho caras, doce aristas y seis vértices. Es un poliedro convexo y, como cualquier poliedro convexo, tiene una característica de Euler de 2, según la fórmulaV−mi+F=2{\displaystyle V-E+F=2}Las tres letras indican respectivamente el número de vértices, aristas y caras.

Boceto de un octaedro regular realizado por Johannes Kepler.
El modelo platónico sólido de Kepler del Sistema Solar

Un octaedro regular es uno de los sólidos platónicos , un conjunto de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares congruentes . [ 1 ] Los sólidos platónicos son el antiguo conjunto de cinco poliedros que reciben su nombre de Platón , quien los relaciona con elementos clásicos en su diálogo Timeo . El octaedro regular representa el viento . [ 2 ] Siguiendo su atribución a la naturaleza, Johannes Kepler, en su Harmonices Mundi, esbozó cada uno de los sólidos platónicos. [ 2 ] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, organizándolos en otro y separándolos con seis esferas que se asemejan a los seis planetas. Los sólidos ordenados iban del más interno al más externo: octaedro regular, icosaedro regular , dodecaedro regular , tetraedro regular y cubo . [ 3 ]

Medidas

Modelo 3D de un octaedro regular

El área superficial de un octaedro regularA{\displaystyle A}se puede determinar sumando el área de sus ocho triángulos equiláteros. Para su volumenV{\displaystyle V}, se puede cortar el octaedro regular en dos pirámides cuadradas equiláteras (véase §  Como otros casos especiales ), por lo tanto, el volumen es el doble del volumen de las pirámides al sumarlos. Seaa{\displaystyle a}Sea la longitud de la arista de un octaedro regular, entonces su área superficial y volumen se pueden formular como: [ 4 ]A=23a2≈3.464a2,V=132a3≈0,471a3.{\displaystyle A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2},\qquad V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}.} El radio de una esfera circunscritartú{\displaystyle r_{u}}(uno que toca el octaedro en todos sus vértices), el radio de una esfera inscritari{\displaystyle r_{i}}(una tangente a cada una de las caras del octaedro), y el radio de una esfera mediarmetro{\displaystyle r_{m}}(uno que toca el centro de cada borde), son: [ 5 ]rtú=22a≈0,707a,ri=66a≈0,408a,rmetro=12a=0,5a.{\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408a,\qquad r_{m}={\frac {1}{2}}a=0.5a.} El ángulo diedro de un octaedro regular es el ángulo entre sus dos caras triangulares adyacentes. Este ángulo se puede obtener a partir del ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera . Se puede construir un octaedro regular uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras base con base (véase §  Otros casos especiales ). Para la pirámide, el ángulo diedro entre un triángulo y un cuadrado esarctan⁡(2)≈54.7∘{\displaystyle \arctan({\sqrt {2}})\approx 54.7^{\circ }}Por lo tanto, para el octaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes que se puede formar mediante tal unión es el doble del ángulo cuadrado-triángulo de la pirámide cuadrada. La medida del ángulo también es igual al ángulo de los dos triángulos adyacentes de la pirámide cuadrada. Es decir: [ 6 ]arctan⁡(2)+arctan⁡(2)=2arctan⁡(2)=arcos⁡(−13)≈109.5∘.{\displaystyle \arctan({\sqrt {2}})+\arctan({\sqrt {2}})=2\arctan({\sqrt {2}})=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109.5^{\circ }.}

El octaedro regular tiene dos tipos de geodésicas cerradas . Las geodésicas cerradas son los caminos en la superficie de un octaedro regular que son localmente rectos. En otras palabras, evitan los vértices, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. Estas geodésicas tienen una longitud de3{\displaystyle 3}y23≈3.464{\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}. [ 7 ]

El octaedro regular posee la propiedad de Rupert, lo que significa que otro octaedro regular del mismo tamaño o mayor puede pasar a través de un agujero en él. El nombre original de esta propiedad proviene del príncipe Ruperto del Rin , quien apostó a que un cubo podría pasar a través de un agujero en él . El matemático inglés John Wallis , quien relató la historia, respondió que era posible, y la solución fue mejorada por el matemático holandés Pieter Nieuwland . Su solución condujo a la medición geométrica del agujero del poliedro más grande, conocida como la "constante de Nieuwland". Scriba (1968) descubrió que tanto un octaedro regular como un tetraedro regular poseen la propiedad de Rupert. [ 8 ] La constante de Nieuwland para el octaedro regular con una longitud de arista unitaria es igual a la del cubo, aproximadamente1.06{\displaystyle 1.06}. [ 9 ]

Simetría y dualidad

El dual de un octaedro regular es un cubo, y viceversa. Las marcas blancas × en esta ilustración señalan los vértices de un octaedro regular tangentes a las caras de un cubo. Ambos poseen la misma simetría.

El octaedro regular posee grupos de simetría tridimensional , concretamente la simetría octaédrica . El octaedro regular tiene trece ejes de simetría rotacional: tres ejes de simetría rotacional cuádruple (0°, 90°, 180° y 270°) que pasan por un par de vértices opuestos, cuatro ejes de simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) que pasan por el centro de caras triangulares opuestas, y seis ejes de simetría rotacional doble (0° y 180°) que pasan por el par de aristas opuestas en sus puntos medios. [ 10 ] Además, el octaedro regular posee nueve planos de reflexión. Cada uno de los tres planos pasa por cuatro vértices en cada ecuador, y cada uno de los seis planos pasa por el par de vértices opuestos y el centro del par de aristas opuestas. [ 11 ]

El poliedro dual se puede obtener a partir de cada uno de los vértices del poliedro tangentes a un plano mediante un proceso conocido como reciprocación polar. Una propiedad de los poliedros duales es que el poliedro y su dual comparten su grupo puntual de simetría tridimensional. En el caso de un octaedro regular, su poliedro dual es el cubo , y tienen los mismos grupos de simetría tridimensionales. [ 12 ] Al igual que su dual, el octaedro regular tiene tres propiedades: cualesquiera dos caras, dos vértices o dos aristas se transforman mediante rotación y reflexión bajo la órbita de simetría, de modo que la apariencia permanece inalterada; estas son isoédrica , isogonal e isotoxal respectivamente. Por lo tanto, se considera un poliedro regular . Cuatro triángulos rodean cada vértice, por lo que el octaedro regular es3.3.3.3{\displaystyle 3.3.3.3}por configuración de vértices o{3,4}{\displaystyle \{3,4\}}por el símbolo de Schläfli . [ 13 ]

Estructura combinatoria

El octaedro regular dibujado en un gráfico. Sus seis vértices se pueden agrupar en tres colores diferentes (azul, rojo y verde). Es un gráfico tripartito completo.K2,2,2{\displaystyle K_{2,2,2}}y gráfico de TuránT6,3{\displaystyle T_{6,3}}, como se muestra en la ilustración.

El octaedro regular se puede dibujar en un grafo , una estructura en la teoría de grafos que consiste en un conjunto de vértices que están conectados por una arista. Esto es posible debido al teorema de Steinitz, que establece que un grafo se puede representar como el grafo de vértices y aristas de un poliedro, siempre que satisfaga las siguientes propiedades. Debe ser planar (donde ninguna arista se cruza con otra) y 3-conexo (siendok{\displaystyle k}-conectado significa que un grafo permanece conectado siempre quek−1{\displaystyle k-1}se eliminan los vértices). [ 14 ] [ 15 ] Su grafo se llama grafo octaédrico , un grafo platónico . [ 1 ] Tiene el mismo número de vértices y aristas que el octaedro regular, seis vértices y doce aristas.

Seis vértices del grafo octaédrico se pueden particionar en tres conjuntos independientes , que contienen diferentes pares de dos vértices opuestos. Por lo tanto, es un grafo tripartito completo , designado comoK2,2,2{\displaystyle K_{2,2,2}}. [ 16 ] Es un ejemplo de un grafo de TuránT6,3{\displaystyle T_{6,3}}. [ 17 ] Tiene tres boxicidades que representan el gráfico de estructuras abstractas mediante la intersección de cajas paralelas a los ejes en el espacio euclidiano de dimensión mínima.

Como simplicial 4-conexo , el grafo octaédrico es uno de los cuatro únicos poliedros bien cubiertos , lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño (es decir, el mismo número de aristas). Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal , el disfenoides truncado y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares. [ 18 ]

El grafo octaédrico es uno de los seis únicos grafos conexos en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco; los otros son el grafo de Fritsch , el grafo icosaédrico y los grafos de aristas de la bipirámide pentagonal , el disfenoides truncado y la bipirámide cuadrada giroelongada . De forma más general, cuando cada vértice de un grafo tiene como vecindad un ciclo de longitud al menos cuatro, los triángulos del grafo se unen automáticamente para formar una superficie topológica llamada triangulación de Whitney . Estos seis grafos provienen de las seis triangulaciones de Whitney que, cuando sus triángulos son equiláteros, tienen un defecto angular positivo en cada vértice. Esto los convierte en un análogo combinatorio de las superficies lisas de curvatura positiva. Provienen de seis de los ocho deltaedros , excluyendo los dos que tienen un vértice con una vecindad triangular. [ 19 ]

Apariciones

Más allá de su existencia como sólido platónico, el octaedro regular aparece en muchos campos, como la naturaleza y la ciencia, la cultura popular y la teoría musical.

En la naturaleza y la ciencia

Fluorita con estructura octaédrica

Los cristales naturales con estructuras octaédricas se encuentran comúnmente en el diamante , [ 20 ] el alumbre , [ 21 ] la pirita (aunque existen más estructuras poliédricas), [ 22 ] y la fluorita . Las placas de aleación de kamacita en los meteoritos con estructura octaédrica están dispuestas paralelamente a las ocho caras de un octaedro. Muchos iones metálicos coordinan seis ligandos en una configuración octaédrica o octaédrica distorsionada . Patrones de Widmanstätten en cristales de níquel - hierro . La geometría molecular octaédrica es una molécula química que se asemeja a un octaedro regular en estereoquímica . Esta estructura tiene un elemento del grupo principal sin un par solitario activo , que puede describirse mediante un modelo que predice la geometría de las moléculas conocido como teoría VSEPR . [ 23 ] Pocos compuestos químicos tienen una versión distorsionada de la estructura molecular octaédrica, como el hexafluoruro de xenón . [ 24 ]

El radiolario Circoporus octahedrus tiene forma octaédrica. [ 25 ]

El octaedro regular es la solución conocida de un caso de seis electrones en el problema de Thomson , que trata sobre la configuración de mínima energía de partículas cargadas en una esfera. La solución se obtiene colocando los vértices de un octaedro regular inscritos en una esfera . [ 26 ]

Dos serpientes de Rubik idénticas pueden aproximarse a un octaedro.

Un dado de 8 caras suele ser un octaedro regular. En los juegos de rol , este es uno de los dados poliédricos comunes , conocido como "d8". [ 27 ] [ 28 ]

En teoría musical

El octaedro regular se utiliza en sistemas de afinación musical conocidos como hexania . Inventada por el teórico musical mexicano-estadounidense Erv Wilson , la hexania utiliza la proyección ortogonal del octaedro . Se pueden disponer seis notas musicales en los vértices de un octaedro de tal manera que cada arista represente una díada consonante (un conjunto de dos notas o alturas ) y cada cara represente una tríada consonante (un conjunto de tres notas idénticas). [ 29 ]

Como otros casos especiales

bipirámide cuadrada
El dual de una bipirámide cuadrada, el prisma cuadrado

Un octaedro regular es uno de los ocho deltaedros convexos , poliedros cuyas caras son todos triángulos equiláteros . [ 30 ] Es un poliedro compuesto construido al unir dos pirámides cuadradas equiláteras base con base. [ 31 ] [ 12 ] Cuando las pirámides cuadradas son una pirámide recta, el octaedro regular se convierte en una bipirámide cuadrada , en la que todas sus caras son triángulos isósceles. [ 32 ] En el caso de una bipirámide cuadrada, su dual es un prisma cuadrado . [ 33 ] Independientemente de los diferentes tipos de triángulos, tanto un octaedro regular como una bipirámide cuadrada son ejemplos de un poliedro simplicial .

El octaedro regular es un tipo de antiprisma trigonal , formado al tomar un prisma trigonal con bases triangulares equiláteras y caras laterales rectangulares, y reemplazar los rectángulos por triángulos isósceles alternados. En el caso del octaedro regular, todas las caras resultantes son triángulos equiláteros congruentes. [ 34 ] El octaedro regular también puede considerarse un tetraedro rectificado , a veces llamado tetratetraedro (por analogía con el cuboctaedro y el icosidodecaedro ); si se considera que las caras alternas tienen diferentes tipos (por ejemplo, diferentes colores u orientaciones), el octaedro puede considerarse un tipo de poliedro cuasirregular , un poliedro en el que dos tipos diferentes de caras poligonales se alternan alrededor de cada vértice. [ 35 ] Existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasirregulares y teselaciones con configuraciones de vértices(3.norte)2{\displaystyle (3.n)^{2}}, progresando desde teselaciones de la esfera hasta el plano euclidiano y luego al plano hiperbólico. Con la simetría de notación de orbifold de∗norte32{\displaystyle ^{*}n32}Todos estos recubrimientos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio fundamental de simetría, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [ 36 ] [ 37 ]

Un octaedro regular es el caso tridimensional del concepto más general de politopo cruzado . [ 38 ]

En la construcción de poliedros

El octaedro regular representa la intersección central de dos tetraedros.
El octaedro truncado se obtiene eliminando los vértices de un octaedro regular.
El octaedro triakis se obtiene al unir pirámides triangulares en cada cara.

Varias construcciones de poliedros parten del octaedro regular.

  • El interior del compuesto de dos tetraedros duales es un octaedro, y este compuesto —llamado stella octangula— es su primera y única estelación . [ 39 ] De manera similar, un octaedro regular es el resultado de recortar de un tetraedro regular cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro). Los vértices del octaedro regular se encuentran en los puntos medios de las aristas del tetraedro, y en este sentido, se relaciona con el tetraedro de la misma manera que el cuboctaedro y el icosidodecaedro se relacionan con los demás sólidos platónicos.
  • El octaedro truncado es un sólido arquimediano , construido eliminando todos los vértices del octaedro regular, lo que da como resultado seis cuadrados y ocho hexágonos, dejando fuera seis pirámides cuadradas. [ 40 ]
  • El octaedro triakis es un sólido catalán , el kleetope de un octaedro regular, al añadir pirámides triangulares a sus caras, topológicamente similar al octaedro estrellado. [ 41 ]
  • El tetrahemihexaedro uniforme es una faceta de simetría tetraédrica del octaedro regular, que comparte la disposición de aristas y vértices . Tiene cuatro caras triangulares y tres cuadrados centrales. [ 42 ]
  • También se pueden dividir las aristas de un octaedro según la proporción áurea para definir los vértices de un icosaedro regular . Esto se logra colocando primero vectores a lo largo de las aristas del octaedro de manera que cada cara quede delimitada por un ciclo, y luego dividiendo cada arista según la proporción áurea en la dirección de su vector. Cinco octaedros definen cualquier icosaedro dado de esta forma, y ​​juntos definen un compuesto regular. Un icosaedro regular producido de esta manera se denomina "octaedro truncado". [ 43 ]

Panal

Estructura de panal tetraédrica-octaédrica formada por octaedros y tetraedros regulares.
Panal cúbico rectificado mediante octaedros regulares y cuboctaedros.

El invariante de Dehn de un octaedro regular se puede definir como un producto tensorial de la longitud de la arista y el ángulo diedro de un octaedro regular, 12a⊗arcos⁡(−13),{\displaystyle 12a\otimes \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right),} que es distinto de cero. Todo poliedro con un invariante de Dehn igual a cero puede recubrir un espacio con su copia uniendo sus caras a otra, formando un panal . Sin embargo, el octaedro regular no puede recubrir un espacio. En cambio, dos poliedros diferentes que se unen para recubrir el espacio pueden tener un invariante de Dehn igual a cero. [ 44 ] En el caso de un octaedro regular, puede recubrir alternativamente con tetraedros regulares para formar una teselación del espacio uniforme en vértices, aristas y caras, que se denomina panal tetraédrico-octaédrico . [ 45 ] R. Buckminster Fuller , en la década de 1950, aplicó estos poliedros alternados como un marco espacial , que desarrolló la estructura de construcción más resistente para soportar esfuerzos de voladizo . [ 46 ] Otro panal consiste en teselar octaedros regulares alternativamente con cuboctaedros , denominado panal cúbico rectificado . [ 47 ]

Miscelánea

La disposición de estos ocho triángulos equiláteros es una de las once redes de un octaedro regular.

El octaedro regular tiene once redes diferentes . Una red es la disposición de ocho triángulos equiláteros que se pueden plegar uniendo sus aristas para formar las caras de un octaedro regular. [ 48 ]

Un octaedro regular es el politopo cruzado en el espacio tridimensional. Puede orientarse y escalarse de manera que sus ejes se alineen con los ejes de coordenadas cartesianas y sus vértices tengan coordenadas.(±1,0,0){\displaystyle (\pm 1,0,0)},(0,±1,0){\displaystyle (0,\pm 1,0)}, y(0,0,±1){\displaystyle (0,0,\pm 1)}. Dicho octaedro tiene una longitud de arista ⁠2{\displaystyle {\sqrt {2}}}⁠ . [ 49 ] El octaedro regular es un politopo de Hanner , porque se puede construir usando la suma directa de tres segmentos de línea. Su poliedro dual, el cubo, se construye mediante el producto cartesiano de tres segmentos de línea. [ 50 ] De manera más general, todo politopo cruzado y su dual, el hipercubo , en cualquier espacio de dimensiones superiores son politopos de Hanner.

Compuesto de octaedros

Los compuestos poliédricos , en los que los octaedros regulares comparten el mismo centro, son compuestos poliédricos uniformes , lo que significa que son compuestos poliédricos cuyos constituyentes son poliedros uniformes idénticos —aunque posiblemente enantiomorfos— , en una disposición que también es uniforme. La lista de compuestos enumerados por Skilling (1976) para el compuesto de cuatro octaedros (con su libertad de rotación), ocho octaedros, veinte octaedros (con su libertad de rotación ), dos compuestos diferentes de cinco octaedros y un compuesto de cinco octaedros . [ 51 ] El compuesto de tres octaedros apareció en el manuscrito del siglo XV De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca en el que el compuesto está dibujado circunscrito alrededor de un cubo (aunque no representa el compuesto), [ 52 ] en la fotografía modelo de la literatura matemática de Max Brückner de 1900 junto con la explicación del compuesto, [ 53 ] [ 54 ] y en el grabado en madera Estrellas de MC Escher de 1948 en el que se utilizó como figura central del grabado una jaula con esta forma que contiene dos camaleones y flota en el espacio. [ 55 ]

Octaedro esférico

El octaedro esférico representa un octaedro regular proyectado sobre una esfera, una parte de un poliedro esférico . Hay ocho triángulos esféricos, [ 56 ] formados por el arco de círculos máximos . Fuller identificó que hay 25 círculos máximos .

Un octaedro regular es una 3-bola en la métrica de Manhattan ( ℓ 1 ) .

Ortoesquema característico

Como todos los politopos convexos regulares, el octaedro se puede diseccionar en un número entero de ortoesquemas disjuntos , todos con la misma forma característica del politopo. El ortoesquema característico de un politopo es una propiedad fundamental porque el politopo se genera mediante reflexiones en las facetas de su ortoesquema. El ortoesquema se presenta en dos formas quirales , que son imágenes especulares una de la otra. El ortoesquema característico de un poliedro regular es un tetraedro irregular cuadrirrectangular .

Las caras del tetraedro característico del octaedro se encuentran en los planos de simetría especular del octaedro . El octaedro es único entre los sólidos platónicos por tener un número par de caras que convergen en cada vértice. Por consiguiente, es el único miembro de ese grupo que posee, entre sus planos de simetría, algunos que no pasan por ninguna de sus caras. El grupo de simetría del octaedro se denota como B₃ . El octaedro y su politopo dual , el cubo , tienen el mismo grupo de simetría pero tetraedros característicos diferentes.

El tetraedro característico del octaedro regular se puede encontrar mediante una disección canónica [ 57 ] del octaedro regular , que lo subdivide en 48 de estos ortoesquemas característicos que rodean el centro del octaedro. Tres ortoesquemas levógiros y tres ortoesquemas dextrógiros se encuentran en cada una de las ocho caras del octaedro, y los seis ortoesquemas forman colectivamente un tetraedro trirrectangular : una pirámide triangular con la cara del octaedro como su base equilátera y su vértice de esquina cúbica en el centro del octaedro. [ 58 ]

Si el octaedro tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas de su tetraedro característico tienen longitudes43{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}},1{\displaystyle 1},13{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}alrededor de su cara exterior triangular recta (los bordes opuestos a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), [ a ] ​​más2{\displaystyle {\sqrt {2}}},1{\displaystyle 1},23{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}(aristas que son los radios característicos del octaedro). El camino de 3 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es1{\displaystyle 1},13{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}},23{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}, primero desde un vértice de un octaedro hasta el centro de una arista de un octaedro, luego girando 90° hasta el centro de una cara de un octaedro, y luego girando 90° hasta el centro del octaedro. El ortoesquema tiene cuatro caras triangulares rectángulos disímiles. La cara exterior es un triángulo 90-60-30 , que es un sexto de una cara de un octaedro. Las tres caras interiores del octaedro son: un triángulo 45-90-45 con aristas1{\displaystyle 1},2{\displaystyle {\sqrt {2}}},1{\displaystyle 1}, un triángulo rectángulo con aristas13{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}},1{\displaystyle 1},23{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}y un triángulo rectángulo con aristas43{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}},2{\displaystyle {\sqrt {2}}},23{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}.

Notas

  1. 1 2 ( Coxeter 1973 ) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Dado que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de la proporción áurea ≈ 1,618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.

Véase también

Referencias

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