Problema de jerarquía

Algunos físicos creen que se puede resolver el problema de la jerarquía mediante la supersimetría . La supersimetría puede explicar cómo una masa de Higgs diminuta puede protegerse de las correcciones cuánticas. La supersimetría elimina las divergencias de ley de potencias de las correcciones radiativas a la masa de Higgs y resuelve el problema de la jerarquía siempre que las partículas supersimétricas sean lo suficientemente ligeras como para satisfacer el criterio de Barbieri - Giudice . ^{[ 11 ]} Sin embargo, esto aún deja abierto el problema mu . Los principios de la supersimetría se están probando en el LHC , aunque hasta ahora no se ha encontrado ninguna evidencia de supersimetría.

Cada partícula que se acopla al campo de Higgs tiene un acoplamiento de Yukawa asociado.${\displaystyle \lambda _{f}}$El acoplamiento con el campo de Higgs para fermiones da un término de interacción.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=-\lambda _ {f}{\bar {\psi }}H\psi }$, con${\displaystyle \psi }$siendo el campo de Dirac y${\displaystyle H}$el campo de Higgs . Además, la masa de un fermión es proporcional a su acoplamiento de Yukawa, lo que significa que el bosón de Higgs se acoplará más a la partícula más masiva. Esto significa que las correcciones más significativas a la masa de Higgs provendrán de las partículas más pesadas, principalmente del quark top. Aplicando las reglas de Feynman , se obtiene que las correcciones cuánticas al cuadrado de la masa de Higgs de un fermión son: $${\displaystyle \Delta m_{\text{H}}^{2}=-{\frac {|\lambda _{f}|^{2}}{8\pi ^{2}}}[\Lambda _{\text{UV}}^{2}+\dots ].}$$

El${\displaystyle \Lambda _{\text{UV}}}$se denomina límite ultravioleta y es la escala hasta la cual el Modelo Estándar es válido. Si tomamos esta escala como la escala de Planck, entonces tenemos el lagrangiano que diverge cuadráticamente. Sin embargo, supongamos que existieran dos escalares complejos (considerados de espín 0) tales que $${\displaystyle \lambda _{S}=|\lambda _{f}|^{2}}$$ (los acoplamientos al bosón de Higgs son exactamente los mismos).

Entonces, según las reglas de Feynman, la corrección (de ambos escalares) es $${\displaystyle \Delta m_{\text{H}}^{2}=2\times {\frac {\lambda _{S}}{16\pi ^{2}}}[\Lambda _{\text{UV}}^{2}+\dots ].}$$ (Nótese que la contribución aquí es positiva. Esto se debe al teorema de espín-estadística , que implica que los fermiones tienen una contribución negativa y los bosones una contribución positiva. Este hecho se aprovecha).

Esto da como resultado una contribución total a la masa del bosón de Higgs igual a cero si incluimos tanto las partículas fermiónicas como las bosónicas. La supersimetría es una extensión de esto que crea "supercompañeros" para todas las partículas del Modelo Estándar. ^{[ 12 ]}

Sin supersimetría, se ha propuesto una solución al problema de jerarquía utilizando únicamente el Modelo Estándar . La idea se remonta al hecho de que el término en el campo de Higgs que produce la corrección cuadrática no controlada tras la renormalización es el término cuadrático. Si el campo de Higgs no tuviera un término de masa, no surgiría ningún problema de jerarquía. Pero al faltar un término cuadrático en el campo de Higgs, es necesario encontrar una manera de recuperar la ruptura de la simetría electrodébil mediante un valor esperado del vacío no nulo. Esto se puede obtener utilizando el mecanismo de Weinberg-Coleman con términos en el potencial de Higgs que surgen de correcciones cuánticas. La masa obtenida de esta manera es demasiado pequeña en comparación con lo que se observa en las instalaciones de aceleradores, por lo que un Modelo Estándar conforme necesita más de una partícula de Higgs. Esta propuesta fue presentada en 2006 por Krzysztof Antoni Meissner y Hermann Nicolai ^{[ 13 ]} y actualmente está siendo examinada. Pero si no se observa ninguna excitación adicional más allá de la observada hasta ahora en el LHC , este modelo tendría que ser abandonado.

No se ha informado oficialmente de ninguna evidencia experimental u observacional de dimensiones adicionales . Los análisis de los resultados del Gran Colisionador de Hadrones restringen severamente las teorías con grandes dimensiones adicionales . ^{[ 14 ]} Sin embargo, las dimensiones adicionales podrían explicar por qué la fuerza gravitatoria es tan débil y por qué la expansión del universo es más rápida de lo esperado. ^{[ 15 ]}

Si vivimos en un mundo de 3+1 dimensiones, entonces calculamos la fuerza gravitatoria mediante la ley de Gauss para la gravedad :

que es simplemente la ley de gravitación de Newton . Nótese que la constante G de Newton se puede reescribir en términos de la masa de Planck .

$${\displaystyle G={\frac {\hbar c}{M_{\mathrm {Pl} }^{2}}}}$$

Si extendemos esta idea a δ dimensiones adicionales, entonces obtenemos:

dónde${\textstyle M_{\mathrm {Pl} _ {3+1+\delta }}}$es la masa de Planck de 3+1+ δ dimensiones. Sin embargo, asumimos que estas dimensiones adicionales tienen el mismo tamaño que las 3+1 dimensiones normales. Digamos que las dimensiones adicionales tienen un tamaño n ≪ que las dimensiones normales. Si hacemos r ≪ n , entonces obtenemos (2) . Sin embargo, si hacemos r ≫ n , entonces obtenemos nuestra ley de Newton habitual. Sin embargo, cuando r ≫ n , el flujo en las dimensiones adicionales se vuelve constante, porque no hay espacio adicional para que fluya el flujo gravitacional. Por lo tanto ^, el flujo será proporcional a nδ porque este es el flujo en las dimensiones adicionales. La fórmula es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {g} (\mathbf {r} )&=-m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2}n^{\delta }}}\\[2pt]-m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} }^{2}r^{2}}}&=-m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2}n^{\delta }}}\end{aligned}}}$$

lo que da como resultado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{M_{\mathrm {Pl} }^{2}r^{2}}}&={\frac {1}{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2}n^{\delta }}}\\[2pt]\implica \quad M_{\mathrm {Pl} }^{2}&=M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }n^{\delta }\end{alineado}}}$$

Por lo tanto, la masa fundamental de Planck (la extradimensional) podría ser pequeña, lo que implicaría que la gravedad es realmente fuerte, pero esto debe compensarse con el número de dimensiones extra y su tamaño. Físicamente, esto significa que la gravedad es débil debido a una pérdida de flujo hacia las dimensiones extra.

Esta sección está adaptada de *Teoría cuántica de campos en pocas palabras* de A. Zee. ^{[ 16 ]}

En 1998, Nima Arkani-Hamed , Savas Dimopoulos y Gia Dvali propusieron el modelo ADD , también conocido como el modelo con grandes dimensiones extra , un escenario alternativo para explicar la debilidad de la gravedad en relación con las otras fuerzas. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Esta teoría requiere que los campos del Modelo Estándar estén confinados a una membrana de cuatro dimensiones , mientras que la gravedad se propaga en varias dimensiones espaciales adicionales que son grandes en comparación con la escala de Planck . ^{[ 19 ]}

En 1998–99 Merab Gogberashvili publicó en arXiv (y posteriormente en revistas revisadas por pares) varios artículos donde demostró que si el Universo se considera como una capa delgada (un sinónimo matemático de "brana") que se expande en un espacio de 5 dimensiones, entonces es posible obtener una escala para la teoría de partículas que corresponda a la constante cosmológica de 5 dimensiones y al espesor del Universo, y así resolver el problema de la jerarquía. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} También se demostró que la cuatridimensionalidad del Universo es el resultado de un requisito de estabilidad ya que el componente extra de las ecuaciones de campo de Einstein que da la solución localizada para los campos de materia coincide con una de las condiciones de estabilidad.

Posteriormente, se propusieron los escenarios de Randall-Sundrum , estrechamente relacionados entre sí , que ofrecían su solución al problema de la jerarquía.

En 2019, un par de investigadores propusieron que la mezcla IR/UV que resulta en la ruptura de la teoría cuántica de campos efectiva podría resolver el problema de la jerarquía. ^{[ 23 ]} En 2021, otro grupo de investigadores demostró que la mezcla UV/IR podría resolver el problema de la jerarquía en la teoría de cuerdas. ^{[ 24 ]}