Campo local

En matemáticas , un campo local es un campo topológico no discreto de Hausdorff localmente compacto . ^{[ 1 ]} Los campos locales encuentran muchas aplicaciones en la teoría algebraica de números , donde surgen naturalmente como completaciones de campos globales . ^{[ 2 ]} Además, existen herramientas como la integración y el análisis de Fourier para funciones definidas en campos locales.

Dado un campo local, se puede definir sobre él un valor absoluto que da lugar a una métrica completa que genera su topología. Existen dos tipos básicos de campos locales: los denominados campos locales arquimedianos, en los que el valor absoluto es arquimediano , y los denominados campos locales no arquimedianos, en los que no lo es. Los campos locales no arquimedianos también pueden definirse como aquellos campos que son completos con respecto a una métrica inducida por una valuación discreta cuyo campo residual es finito. ^{[ 3 ]}

Todo campo local es isomorfo (como campo topológico) a uno de los siguientes: ^{[ 4 ]}

• Campos locales arquimedianos ( característica cero): los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$y los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Campos locales no arquimedianos de característica cero: extensiones finitas de los números p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$(dónde${\displaystyle p}$es cualquier número primo ).
• Campos locales no arquimedianos de características${\displaystyle p}$: el campo${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$de la serie formal de Laurent en la variable${\displaystyle t}$sobre un campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, dónde${\displaystyle q}$es un poder de${\displaystyle p}$.

Dado un campo local${\displaystyle F}$, una "función de módulo" en${\displaystyle F}$se puede definir de la siguiente manera. Primero, consideremos el grupo aditivo del cuerpo. Como grupo topológico localmente compacto, tiene una medida de Haar única (salvo múltiplo escalar positivo).${\displaystyle \mu }$. El módulo de un elemento${\displaystyle a}$de${\displaystyle F}$ se define de manera que pueda medir el cambio en el tamaño de un conjunto después de multiplicarlo por${\displaystyle a}$. Específicamente, defina${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}:F\to \mathbb {R} }$por ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a)={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}}$

para cualquier subconjunto medible${\displaystyle X}$de${\displaystyle F}$(con${\displaystyle 0<\mu (X)<\infty }$). Este módulo no depende de${\displaystyle X}$ni sobre la elección de la medida Haar${\displaystyle \mu }$(ya que la misma ambigüedad de múltiplo escalar se producirá tanto en el numerador como en el denominador). La función${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}$es continuo y satisface

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(ab)=\operatorname {mod} _{K}(a)\operatorname {mod} _{K}(b),}$

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a+b)\leq A\sup \left(\operatorname {mod} _{K}(a),\operatorname {mod} _{K}(b)\right)}$

por alguna constante${\displaystyle A}$eso solo depende de${\displaystyle F}$.

Usando${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}$, entonces se puede definir un valor absoluto${\displaystyle |\cdot |}$en${\displaystyle F}$que induce una métrica${\displaystyle d}$en${\displaystyle F}$(al establecer${\displaystyle d(x,y)=|xy|}$), de tal manera que${\displaystyle F}$es completa con respecto a esta métrica, y la métrica induce la topología dada en${\displaystyle F}$.

Para un campo local no arquimediano${\displaystyle F}$con valor absoluto${\displaystyle |\cdot |}$Los siguientes objetos son importantes:

• su anillo de números enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$que es un anillo de valoración discreta , es la bola de unidad cerrada de${\displaystyle F}$y es compacto ;

• las unidades en su anillo de números enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$que forman un grupo y es la esfera unitaria de${\displaystyle F}$;

• el único ideal primo distinto de cero${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in F:|a|<1\}}$en su anillo de enteros, que es la bola unitaria abierta de${\displaystyle F}$;

• un generador${\displaystyle \varpi }$de${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$llamado uniformizador de${\displaystyle F}$; y

• su campo de residuos${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$que es finito (ya que es compacto y discreto ).

Cada elemento distinto de cero${\displaystyle a}$de${\displaystyle F}$se puede escribir como${\displaystyle a=\varpi ^{n}u}$con${\displaystyle u}$una unidad en${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$, y${\displaystyle n}$un número entero único. La valoración normalizada de${\displaystyle F}$es la función sobreyectiva${\displaystyle v:F\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$definido por enviar un valor distinto de cero${\displaystyle a}$al entero único${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle a=\varpi ^{n}u}$con${\displaystyle u}$una unidad, y enviando 0 a${\displaystyle \infty }$. Si${\displaystyle q}$es la cardinalidad del campo residual, el valor absoluto en${\displaystyle F}$inducido por su estructura como un campo local viene dado por: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

Una definición equivalente y muy importante de un campo local no arquimediano es que se trata de un campo que es completo con respecto a una valoración discreta y cuyo campo residual es finito.

Esta teoría incluye el estudio de tipos de campos locales, extensiones de campos locales mediante el lema de Hensel , extensiones de Galois de campos locales, grupos de ramificación , filtraciones de grupos de Galois de campos locales, el comportamiento del mapa de normas en campos locales, el homomorfismo de reciprocidad local y el teorema de existencia en la teoría de campos de clases locales , la correspondencia de Langlands local , la teoría de Hodge-Tate (también llamada teoría de Hodge p -ádica ), fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert en la teoría de campos de clases locales. ^{[ 9 ]}

La definición de "campo local" adoptada en este artículo, como un campo topológico no discreto de Hausdorff localmente compacto, es común hoy en día. Sin embargo, algunos autores reservan el término "campo local" para lo que hemos denominado "campo local no arquimediano".

Los trabajos de investigación en teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general de campo local no arquimediano, que solo requiere que sean completos con respecto a una valuación discreta y que el campo residual sea perfecto de característica positiva, no necesariamente finito. ^{[ 10 ]}

En su libro Campos locales , Serre define "campos locales" como campos que son completos con respecto a una valoración discreta, sin ninguna restricción sobre el campo residual, lo que lleva a una noción aún más general. ^{[ 11 ]}

Un campo local a veces se denomina campo local unidimensional .

Un campo local no arquimediano puede considerarse como el campo de fracciones de la completación del anillo local de un esquema aritmético unidimensional de rango 1 en su punto no singular.

Para un entero no negativo${\displaystyle n}$, un${\displaystyle n}$El campo local de dimensión es un campo de valuación discreta completo cuyo campo residual es un${\displaystyle (n-1)}$campo local de dimensión cero. ^{[ 10 ]} Dependiendo de la definición de campo local, un campo local de dimensión cero es entonces un campo finito (con la definición utilizada en este artículo) o un campo perfecto de característica positiva.

Desde el punto de vista geométrico,${\displaystyle n}$Los campos locales de dimensión con último campo residual finito están naturalmente asociados a una bandera completa de subesquemas de un${\displaystyle n}$esquema aritmético -dimensional .

• El lema de Hensel
• Grupo de ramificación
• teoría del campo de clases local
• Campo local superior

• "Campo local" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]