Teoría básica de números

Teoría básica de números es un libro influyente ^{[ 1 ]} de André Weil , una exposición de la teoría algebraica de números y la teoría de cuerpos de clases con especial énfasis en los métodos de la teoría de la valoración . Basado en parte en un curso impartido en la Universidad de Princeton en 1961-62, apareció como el volumen 144 de la serie Grundlehren der mathematischen Wissenschaften de Springer . ^{[ 2 ]} El enfoque maneja todos los "A-cuerpos" o cuerpos globales , es decir, extensiones algebraicas finitasdel cuerpo de los números racionales y del cuerpo de las funciones racionales de una variable con un cuerpo finito de constantes. La teoría se desarrolla de manera uniforme, comenzando con cuerpos topológicos, propiedades de la medida de Haar en cuerpos localmente compactos , los teoremas principales de la teoría de números adélicos e idélicos, y la teoría de cuerpos de clases a través de la teoría de álgebras simples sobre cuerpos locales y globales. El término «básico» en el título se asemeja más a «fundamental» que a «elemental», y quizás se interprete mejor como que el material desarrollado constituye la base para el desarrollo de las teorías de las formas automórficas , la teoría de la representación de grupos algebraicos y temas más avanzados de la teoría algebraica de números. El estilo es austero, con un enfoque preciso en el desarrollo lógicamente coherente de la teoría requerida, y prácticamente sin ejemplos.

En el prólogo, el autor explica que en lugar de la “tarea fútil e imposible” de mejorar el tratamiento clásico de Hecke de la teoría algebraica de números, ^{[ 3 ] [ 4 ]} “más bien intentó extraer conclusiones de los desarrollos de los últimos treinta años, en los que se ha visto que los grupos localmente compactos, la medida y la integración desempeñan un papel cada vez más importante en la teoría clásica de números”. Weil continúa explicando un punto de vista que surgió del trabajo de Hensel , Hasse , ^{[ 5 ] [ 6 ]} Chevalley , ^{[ 7 ]} Artin , ^{[ 8 ]} Iwasawa , ^{[ 9 ] [ 10 ]} Tate , ^{[ 11 ]} y Tamagawa ^{[ 12 ] [ 13 ]} en el que los números reales pueden verse como solo una de las infinitas completaciones diferentes de los racionales, sin ninguna razón lógica para favorecerla sobre las diversas completaciones p-ádicas . En este contexto, los adeles (o vectores de valoración ) proporcionan un anillo localmente compacto natural en el que todas las valoraciones se reúnen de forma coherente, cooperando así para un propósito común. Retirar los números reales de su pedestal y colocarlos junto a los números p-ádicos conduce, naturalmente, al desarrollo de la teoría de los cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos mediante un tratamiento simultáneo con los cuerpos numéricos. En una llamativa elección de palabras para un prólogo escrito en Estados Unidos en 1967, el autor subraya este punto de vista explicando que las dos clases de cuerpos globales deben recibir un tratamiento simultáneo, en lugar de la segregación y, en el mejor de los casos, las facilidades separadas pero iguales que han tenido hasta ahora. Que, lejos de salir perjudicadas por dicho tratamiento, ambas razas se beneficiarán de él, es un hecho que, espero, quedará claramente reflejado en este libro.

Después de la Segunda Guerra Mundial , una serie de desarrollos en la teoría de cuerpos de clases disminuyeron la importancia de las álgebras cíclicas (y, más generalmente, las álgebras de producto cruzado ) que se definen en términos del cuerpo de números en las demostraciones de la teoría de cuerpos de clases. En cambio, el formalismo cohomológico se convirtió en una parte más significativa de la teoría de cuerpos de clases local y global, particularmente en el trabajo de Hochschild y Nakayama , ^{[ 14 ]} Weil , ^{[ 15 ]} Artin , ^{[ 16 ]} y Tate ^{[ 11 ]} durante el período 1950–1952.

Junto con el deseo de considerar los cuerpos numéricos algebraicos junto con los cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos, se enfatiza particularmente el trabajo de Chevalley . Para derivar los teoremas de la teoría de cuerpos de clases global a partir de los de la teoría de cuerpos de clases local , Chevalley introdujo lo que llamó el élément idéal, más tarde llamado idèle , por sugerencia de Hasse . ^{[ 17 ]} El grupo idèle de un cuerpo numérico fue introducido por primera vez por Chevalley para describir la teoría de cuerpos de clases global para extensiones infinitas, pero varios años más tarde lo utilizó de una manera nueva para derivar la teoría de cuerpos de clases global a partir de la teoría de cuerpos de clases local. Weil mencionó este trabajo (inédito) como una influencia significativa en algunas de las elecciones de tratamiento que utiliza.

La primera edición fue reseñada por George Whaples para Mathematical Reviews ^{[ 18 ]} y por Helmut Koch para Zentralblatt ^{[ 19 ]} . Ediciones posteriores fueron reseñadas por Fernando Q. Gouvêa para la Mathematical Association of America ^{[ 20 ]} y por Koch para Zentralblatt ; en su reseña de la segunda edición, Koch comenta: « Shafarevich me mostró la primera edición en otoño de 1967 en Moscú y me dijo que este libro sería, a partir de entonces, la obra de referencia sobre la teoría de cuerpos de clases» ^{[ 19 ]} . Varios reseñadores destacaron la coherencia del tratamiento y algunas de sus características distintivas, y Koch añadió: «Este libro está escrito con el espíritu de principios de los años cuarenta, y precisamente por eso se convierte en una valiosa fuente de información para todos aquellos que trabajan en problemas relacionados con cuerpos de números y funciones» ^{[ 19 ] .}

En términos generales, la primera mitad del libro es moderna por su uso consistente de métodos adélicos e idélicos y el tratamiento simultáneo de cuerpos numéricos algebraicos y cuerpos de funciones racionales sobre cuerpos finitos. La segunda mitad es, sin duda, premoderna por su desarrollo de álgebras simples y teoría de cuerpos de clases sin el lenguaje de la cohomología , y en particular sin el lenguaje de la cohomología de Galois . El autor reconoce esto como una compensación, explicando que «desarrollar un enfoque así sistemáticamente habría significado cargar una gran cantidad de maquinaria innecesaria en un barco que parecía bien equipado para este viaje en particular; en lugar de hacerlo más apto para navegar, podría haberlo hundido». El tratamiento de la teoría de cuerpos de clases utiliza métodos analíticos tanto en cuerpos conmutativos como en álgebras simples. Estos métodos demuestran su eficacia al proporcionar la primera prueba unificada de que si K/k es una extensión normal finita de A-cuerpos, entonces cualquier automorfismo de K sobre k es inducido por el automorfismo de Frobenius para infinitos lugares de K. Este enfoque también permite una demostración significativamente más simple y lógica de enunciados algebraicos, por ejemplo, el resultado de que un álgebra simple sobre un A-cuerpo se divide (globalmente) si y solo si se divide localmente en todas partes. El uso sistemático de álgebras simples también simplifica el tratamiento de la teoría de cuerpos de clases locales . Por ejemplo, es más directo demostrar que un álgebra simple sobre un cuerpo local tiene un cuerpo de división no ramificado que demostrar el enunciado correspondiente para clases de 2-cohomología.

• Weil, André (1974). Teoría básica de los números . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-642-61945-8 . ISBN 978-3-540-58655-5.