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Articulo de referencia

La desigualdad de Hilbert

En análisis , una rama de las matemáticas, la desigualdad de Hilbert establece que | ∑ r ≠ s tú r tú s ¯ r − s | ≤ π ∑ r | tú r | 2 . {\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac...

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En análisis , una rama de las matemáticas, la desigualdad de Hilbert establece que

|∑r≠stúrtús¯r−s|≤π∑r|túr|2.{\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{rs}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.}

para cualquier secuencia u 1 , u 2 ,... de números complejos. Fue demostrado por primera vez por David Hilbert con la constante 2 π en lugar de π ; la constante precisa fue hallada por Issai Schur . Esto implica que la transformada discreta de Hilbert es un operador acotado en ℓ 2 .

Formulación

Sea ( u m ) una sucesión de números complejos. Si la sucesión es infinita, supongamos que es sumable al cuadrado:

∑metro|túmetro|2<∞{\displaystyle \sum _{m}|u_{m}|^{2}<\infty }

La desigualdad de Hilbert (véase Steele (2004) ) afirma que

|∑r≠stúrtús¯r−s|≤π∑r|túr|2.{\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{rs}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.}

Extensiones

En 1973, Montgomery y Vaughan informaron varias generalizaciones de la desigualdad de Hilbert, considerando las formas bilineales.

∑r≠stúrtú¯scsc⁡π(incógnitar−incógnitas){\displaystyle \sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u}}_{s}\csc \pi (x_{r}-x_{s})}

y

∑r≠stúrtú¯sλr−λs,{\displaystyle \sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u}}_{s}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}},}

donde x 1 , x 2 ,..., x m son números reales distintos módulo  1 (es decir, pertenecen a clases distintas en el grupo cociente R / Z ) y λ 1 ,..., λ m son números reales distintos. Las generalizaciones de Montgomery y Vaughan de la desigualdad de Hilbert vienen dadas por

|∑r≠stúrtús¯csc⁡π(incógnitar−incógnitas)|≤δ−1∑r|túr|2.{\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq \delta ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.}

y

|∑r≠stúrtús¯λr−λs|≤πτ−1∑r|túr|2.{\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq \pi \tau ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.}

dónde

δ=minr,s+‖incógnitar−incógnitas‖,τ=minr,s+‖λr−λs‖,{\displaystyle \delta ={\min _{r,s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|,\quad \tau =\min _{r,s}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,}
‖s‖=minmetro∈Z|s−metro|{\displaystyle \|s\|=\min _{m\in \mathbb {Z} }|sm|}

es la distancia de s al entero más cercano , y min + denota el valor positivo más pequeño. Además, si

0<δr≤mins+‖incógnitar−incógnitas‖y0<τr≤mins+‖λr−λs‖,{\displaystyle 0<\delta _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|\quad {\text{y}}\quad 0<\tau _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,}

Entonces se cumplen las siguientes desigualdades:

|∑r≠stúrtús¯csc⁡π(incógnitar−incógnitas)|≤32∑r|túr|2δr−1.{\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\sum _{r}|u_{r}|^{2}\delta _{r}^{-1}.}

y

|∑r≠stúrtús¯λr−λs|≤32π∑r|túr|2τr−1.{\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\pi \sum _{r}|u_{r}|^{2}\tau _{r}^{-1}.}

Referencias

  • Capítulo de libro en línea «La desigualdad de Hilbert y las dificultades compensatorias», extraído de Steele, J. Michael (2004). «Capítulo 10: La desigualdad de Hilbert y las dificultades compensatorias» . The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities . Cambridge University Press. pp. 155–165 . ISBN  0-521-54677-X..
  • Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1974). "La desigualdad de Hilbert". J. London Math. Soc . Serie 2. 8 : 73–82 . doi : 10.1112/jlms/s2-8.1.73 . ISSN 0024-6107 .