El tercer problema de Hilbert

El tercero de los problemas de Hilbert , presentado en 1900, fue el primero en ser resuelto. El problema plantea lo siguiente:

Dados dos poliedros cualesquiera de igual volumen , ¿es siempre posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que puedan volver a ensamblarse para obtener el segundo?

Basándose en escritos anteriores de Carl Friedrich Gauss , ^{[ 1 ]} David Hilbert conjeturó que esto no siempre era posible. Su alumno Max Dehn confirmó la conjetura con un contraejemplo. ^{[ 2 ]}

La fórmula para el volumen de una pirámide , un tercio del producto del área de la base y la altura, ya era conocida por Euclides . Sin embargo, todas sus demostraciones implican algún tipo de proceso límite o cálculo , en particular el método de agotamiento o, en una forma más moderna, el principio de Cavalieri . Fórmulas similares en geometría plana pueden demostrarse con medios más elementales. Gauss lamentó este defecto en dos de sus cartas a Christian Ludwig Gerling , quien demostró que dos tetraedros simétricos son equidescomponibles . ^{[ 3 ]}

Las cartas de Gauss fueron la motivación de David Hilbert : ¿Es posible demostrar la igualdad de volumen utilizando métodos elementales de "cortar y pegar", para poliedros arbitrarios o para los casos específicos estudiados por Euclides? ^{[ 4 ]} Otra motivación para Hilbert data del teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien de principios del siglo XIX, según el cual dos polígonos cualesquiera de igual área pueden cortarse en piezas poligonales y volver a ensamblarse entre sí. Lo utilizó como una forma de axiomatizar el área de polígonos bidimensionales, en conexión con los axiomas de Hilbert para la geometría euclidiana . ^{[ 5 ]} Posteriormente, formuló un influyente conjunto de 23 problemas matemáticos del siglo XX en 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos . En su conjunto, abordó el tercer problema sobre la axiomatización del volumen sólido, si dos poliedros cualesquiera de volúmenes iguales pueden cortarse siempre en piezas poliédricas y volver a ensamblarse entre sí. ^{[ 6 ] [ a ]}

Dos poliedros se denominan congruentes por tijera si uno puede dividirse en un número finito de piezas poliédricas que pueden reensamblarse para formar el otro. Dos poliedros congruentes por tijera cualesquiera tienen el mismo volumen. Hilbert pregunta sobre el recíproco .

Para cada poliedro${\displaystyle P}$Max Dehn define un valor, ahora conocido como el invariante de Dehn.${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$, con la propiedad de que, si${\displaystyle P}$se corta en piezas poliédricas${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$, entonces $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$ En particular, si dos poliedros son congruentes por el método de tijera, entonces tienen el mismo invariante de Dehn. Dehn demuestra entonces que todo cubo tiene un invariante de Dehn igual a cero, mientras que todo tetraedro regular tiene un invariante de Dehn distinto de cero. Por lo tanto, estas dos figuras no pueden ser congruentes por el método de tijera. ^{[ 2 ] [ 8 ]} Esto implica que no todos los poliedros pueden diseccionarse en cubos, por lo que la respuesta es negativa. ^{[ 6 ]}

El invariante de un poliedro se define en función de las longitudes de sus aristas y los ángulos entre sus caras. Si un poliedro se corta por la mitad, algunas aristas se cortan por la mitad, y las contribuciones correspondientes a los invariantes de Dehn deben ser aditivas en las longitudes de las aristas. De manera similar, si un poliedro se corta a lo largo de una arista, el ángulo correspondiente se corta por la mitad. Cortar un poliedro también suele introducir nuevas aristas y ángulos; sus contribuciones deben cancelarse. Los ángulos introducidos cuando un corte pasa por una cara se suman a${\displaystyle \pi }$y los ángulos introducidos alrededor de una arista interior al poliedro se suman a${\displaystyle 2\pi }$. Por lo tanto, el invariante de Dehn se define de tal manera que los múltiplos enteros de los ángulos de${\displaystyle \pi }$dan una contribución neta de cero. ^{[ 9 ]}

Todos los requisitos anteriores pueden cumplirse definiendo${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$como un elemento del producto tensorial de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$(que representan longitudes de aristas) y el espacio cociente${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$(que representan ángulos, con todos los múltiplos racionales de${\displaystyle \pi }$reemplazado por cero). ^{[ 9 ]} Para algunos propósitos, esta definición se puede hacer utilizando el producto tensorial de módulos sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$(o equivalentemente de grupos abelianos ), mientras que otros aspectos de este tema hacen uso de una estructura de espacio vectorial sobre los invariantes, obtenida al considerar los dos factores${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ser espacios vectoriales sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y tomando el producto tensorial de espacios vectoriales sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$Esta elección de estructura en la definición no hace ninguna diferencia en cuanto a si dos invariantes de Dehn, definidos de cualquiera de las dos maneras, son iguales o desiguales.

Para cualquier ventaja${\displaystyle e}$de un poliedro${\displaystyle P}$, dejar${\displaystyle \ell (e)}$sea ​​su longitud y deje que${\displaystyle \theta (e)}$denotan el ángulo diedro de las dos caras de${\displaystyle P}$que se reúnen en${\displaystyle e}$, medido en radianes y considerado módulo múltiplos racionales de${\displaystyle \pi }$El invariante de Dehn se define entonces como $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$ donde la suma se toma sobre todas las aristas${\displaystyle e}$del poliedro${\displaystyle P}$. ^{[ 9 ]} Es una valoración .

A la luz del teorema de Dehn mencionado anteriormente, cabe preguntarse: "¿Qué poliedros son congruentes en el sentido de las tijeras?". En 1965, Jean-Pierre Sydler demostró que dos poliedros son congruentes en el sentido de las tijeras si y solo si tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. ^{[ 10 ]} Posteriormente, Børge Jessen extendió los resultados de Sydler a cuatro dimensiones. ^{[ 11 ]} En 1990, Dupont y Sah proporcionaron una demostración más sencilla del resultado de Sydler, reinterpretándolo como un teorema sobre la homología de ciertos grupos clásicos . ^{[ 12 ]}

Debrunner demostró en 1980 que el invariante de Dehn de cualquier poliedro con el que se puede teselar periódicamente todo el espacio tridimensional es cero. ^{[ 13 ]}

Jessen también planteó la cuestión de si el análogo de sus resultados seguía siendo válido para la geometría esférica y la hiperbólica . En estas geometrías, el método de Dehn continúa funcionando y demuestra que cuando dos poliedros son congruentes en el sentido de las tijeras, sus invariantes de Dehn son iguales. Sin embargo, sigue siendo un problema abierto si los pares de poliedros con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, en estas geometrías, son siempre congruentes en el sentido de las tijeras. ^{[ 14 ]}

El tercer problema de Hilbert también fue propuesto independientemente por Władysław Kretkowski para un concurso de matemáticas en 1882 por la Academia de Artes y Ciencias de Cracovia , y fue resuelto por Ludwik Antoni Birkenmajer utilizando un método diferente al de Dehn. Birkenmajer no publicó el resultado, y el manuscrito original que contenía su solución fue redescubierto años después. ^{[ 3 ]}

• tetraedro de Hill
• Onorato Nicoletti

• Benko, D. (2007). "Un nuevo enfoque al tercer problema de Hilbert". The American Mathematical Monthly . 114 (8): 665– 676. doi : 10.1080/00029890.2007.11920458 . S2CID 7213930 . 
• Schwartz, Rich (2010). "El teorema de Dehn-Sydler explicado" (PDF) .
• Koji, Shiga; Toshikazu Sunada (2005). Un don matemático, III: la interacción entre topología, funciones, geometría y álgebra . Sociedad Matemática Estadounidense.

• Demostración del teorema de Dehn en Everything2
• Weisstein, Eric W. "Invariante de Dehn" . MathWorld .
• Invariante de Dehn en Everything2
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Invariante de Dehn" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press