Teorema de Hille-Yosida

En el análisis funcional matemático, el teorema de Hille-Yosida caracteriza los generadores de semigrupos monoparamétricos fuertemente continuos de operadores lineales en espacios de Banach . A veces se enuncia para el caso especial de semigrupos de contracción , mientras que el caso general se conoce como el teorema de Feller-Miyadera-Phillips (en honor a William Feller , Isao Miyadera y Ralph Phillips ). El caso de los semigrupos de contracción se utiliza ampliamente en la teoría de procesos de Markov . En otros escenarios, el teorema de Lumer-Phillips, estrechamente relacionado, suele ser más útil para determinar si un operador dado genera un semigrupo de contracción fuertemente continuo . El teorema de Hille-Yosida recibe su nombre de los matemáticos Einar Hille y Kōsaku Yosida , quienes lo demostraron independientemente alrededor de 1948.

Si X es un espacio de Banach, un semigrupo uniparamétrico de operadores en X es una familia de operadores indexados en los números reales no negativos { T ( t )} _{t ∈ [0, ∞ )} tales que

• ${\displaystyle T(0)=I\quad }$
• ${\displaystyle T(s+t)=T(s)\circ T(t),\quad \forall t,s\geq 0.}$

Se dice que un semigrupo es fuertemente continuo , también llamado semigrupo ( C0 ₎ , si y solo si la aplicación

${\displaystyle t\mapsto T(t)x}$

es continua para todo x ∈ X , donde [0, ∞ ) tiene la topología usual y X tiene la topología de norma.

El generador infinitesimal de un semigrupo uniparamétrico T es un operador A definido en un subespacio posiblemente propio de X de la siguiente manera:

• El dominio de A es el conjunto de x ∈ X tales que

${\displaystyle h^{-1}{\bigg (}T(h)xx{\bigg )}}$

tiene un límite cuando h se aproxima a 0 desde la derecha.

• El valor de Ax es el valor del límite anterior. En otras palabras, Ax es la derivada derecha en 0 de la función.

${\displaystyle t\mapsto T(t)x.}$

El generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de un parámetro es un operador lineal cerrado definido en un subespacio lineal denso de X.

El teorema de Hille-Yosida proporciona una condición necesaria y suficiente para que un operador lineal cerrado A en un espacio de Banach sea el generador infinitesimal de un semigrupo uniparamétrico fuertemente continuo.

Sea A un operador lineal definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X , ω un número real y M  >  0. Entonces A genera un semigrupo fuertemente continuo T que satisface${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{\omega t}}$si y solo si ^{[ 1 ]}

1. A es cerrado y D ( A ) es denso en X ,
2. todo λ real  > ω pertenece al conjunto resolvente de A y para tal λ y para todos los enteros positivos n , 

${\displaystyle \|(\lambda IA)^{-n}\|\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}.}$

En el caso general, el teorema de Hille-Yosida tiene principalmente importancia teórica, ya que las estimaciones sobre las potencias del operador resolvente que aparecen en el enunciado del teorema generalmente no pueden verificarse en ejemplos concretos. En el caso especial de semigrupos de contracción ( M  =  1 y ω  =  0 en el teorema anterior), solo es necesario verificar el caso n  =  1, y el teorema adquiere también cierta importancia práctica. El enunciado explícito del teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción es:

Sea A un operador lineal definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X . Entonces A genera un semigrupo de contracción si y solo si ^{[ 2 ]}

1. A es cerrado y D ( A ) es denso en X ,
2. todo λ real  >  0 pertenece al conjunto resolvente de A y para tal λ ,

${\displaystyle \|(\lambda IA)^{-1}\|\leq {\frac {1}{\lambda }}.}$

• Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro

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