Historia de la aleatoriedad

En la historia antigua , los conceptos de azar y aleatoriedad estaban entrelazados con el del destino. Muchos pueblos antiguos lanzaban dados para determinar el destino, y esto evolucionó posteriormente hacia juegos de azar . Al mismo tiempo, la mayoría de las culturas antiguas utilizaban diversos métodos de adivinación para intentar eludir el azar y el destino. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Más allá de la religión y los juegos de azar , la aleatoriedad se ha documentado en la sortigrafía desde al menos la antigua democracia ateniense en forma de kleroterion . ^{[ 3 ]}

La formalización de las probabilidades y el azar fue quizás iniciada por los chinos hace 3000 años. Los filósofos griegos discutieron extensamente sobre la aleatoriedad, pero solo en formas no cuantitativas. No fue hasta el siglo XVI que los matemáticos italianos comenzaron a formalizar las probabilidades asociadas con diversos juegos de azar. La invención del cálculo moderno tuvo un impacto positivo en el estudio formal de la aleatoriedad. En el siglo XIX se introdujo el concepto de entropía en la física.

A principios del siglo XX se produjo un rápido crecimiento en el análisis formal de la aleatoriedad, y se introdujeron los fundamentos matemáticos de la probabilidad, lo que condujo a su axiomatización en 1933. Al mismo tiempo, el advenimiento de la mecánica cuántica cambió la perspectiva científica sobre la determinismo . Entre mediados y finales del siglo XX, las ideas de la teoría de la información algorítmica introdujeron nuevas dimensiones en el campo a través del concepto de aleatoriedad algorítmica .

Si bien durante muchos siglos la aleatoriedad se consideró un obstáculo y una molestia, en el siglo XX los informáticos comenzaron a comprender que su introducción deliberada en los cálculos puede ser una herramienta eficaz para diseñar mejores algoritmos. En algunos casos, estos algoritmos aleatorios superan a los mejores métodos deterministas.

Los pueblos precristianos del Mediterráneo lanzaban dados para determinar el destino, y esto evolucionó posteriormente hacia juegos de azar. ^{[ 4 ]} También hay evidencia de juegos de azar practicados por los antiguos egipcios, hindúes y chinos, que datan del 2100 a. C. ^{[ 5 ]} Los chinos usaban dados antes que los europeos y tienen una larga tradición de juegos de azar. ^{[ 6 ]}

Hace más de 3000 años, los problemas relacionados con el lanzamiento de varias monedas se consideraron en el I Ching , uno de los textos matemáticos chinos más antiguos, que probablemente data del 1150 a. C. Los dos elementos principales, yin y yang, se combinaron en el I Ching de diversas formas para producir permutaciones de cara y cruz del tipo HH, TH, HT, etc., y los chinos parecen haber conocido el triángulo de Pascal mucho antes de que los europeos lo formalizaran en el siglo XVII. ^{[ 7 ]} Sin embargo, la filosofía occidental se centró en los aspectos no matemáticos del azar y la aleatoriedad hasta el siglo XVI.

El desarrollo del concepto de azar a lo largo de la historia ha sido muy gradual. Los historiadores se han preguntado por qué el progreso en el campo de la aleatoriedad fue tan lento, dado que los humanos han tenido contacto con el azar desde la antigüedad. Deborah J. Bennett sugiere que las personas comunes enfrentan una dificultad inherente para comprender la aleatoriedad, aunque el concepto a menudo se da por sentado y evidente. Cita estudios de Kahneman y Tversky , quienes concluyeron que los principios estadísticos no se aprenden de la experiencia cotidiana porque las personas no prestan atención a los detalles necesarios para adquirir dicho conocimiento. ^{[ 8 ]}

Los filósofos griegos fueron los primeros pensadores occidentales en abordar el azar y la aleatoriedad. Alrededor del año 400 a. C., Demócrito presentó una visión del mundo regida por leyes inequívocas del orden y consideró la aleatoriedad como un concepto subjetivo que solo se originaba en la incapacidad de los seres humanos para comprender la naturaleza de los acontecimientos. Utilizó el ejemplo de dos hombres que enviarían a sus sirvientes a traer agua al mismo tiempo para que se encontraran. Los sirvientes, sin saber del plan, considerarían el encuentro como algo fortuito. ^{[ 9 ]}

Aristóteles consideraba el azar y la necesidad como fuerzas opuestas. Sostenía que la naturaleza poseía patrones ricos y constantes que no podían ser resultado únicamente del azar, pero que estos patrones nunca mostraban la uniformidad mecánica del determinismo necesario. Consideraba la aleatoriedad como una parte genuina y generalizada del mundo, pero subordinada a la necesidad y al orden. ^{[ 10 ]} Aristóteles clasificó los eventos en tres tipos: eventos ciertos que ocurren necesariamente; eventos probables que ocurren en la mayoría de los casos; y eventos incognoscibles que ocurren por pura casualidad. Consideraba el resultado de los juegos de azar como incognoscible. ^{[ 11 ]}

Hacia el año 300 a. C., Epicuro propuso el concepto de que la aleatoriedad existe por sí misma, independientemente del conocimiento humano. Creía que, en el mundo atómico, los átomos se desviarían aleatoriamente a lo largo de sus trayectorias, generando aleatoriedad en niveles superiores. ^{[ 12 ]}

Durante varios siglos, la idea del azar siguió entrelazada con el destino. La adivinación se practicaba en muchas culturas, utilizando diversos métodos. Los chinos analizaban las grietas en los caparazones de las tortugas, mientras que los germanos, quienes según Tácito tenían gran respeto por la suerte y los presagios, utilizaban tiras de corteza. ^{[ 13 ]} En el Imperio Romano , el azar estaba personificado por la diosa Fortuna . Los romanos participaban en juegos de azar para simular lo que Fortuna habría decidido. En el 49 a. C., se dice que Julio César tomó su fatídica decisión de cruzar el Rubicón tras lanzar los dados. ^{[ 14 ]}

La clasificación aristotélica de los eventos en tres clases: ciertos , probables e incognoscibles, fue adoptada por los filósofos romanos, pero tuvieron que conciliarla con las enseñanzas cristianas deterministas , en las que incluso los eventos incognoscibles para el hombre se consideraban predeterminados por Dios. Alrededor del año 960, el obispo Wibold de Cambrai enumeró correctamente los 56 resultados diferentes (sin permutaciones) de jugar con tres dados. No se ha encontrado ninguna referencia a los juegos de cartas en Europa antes de 1350. La Iglesia predicaba en contra de los juegos de cartas, y estos se difundieron mucho más lentamente que los juegos basados ​​en dados. ^{[ 15 ]} La Iglesia cristiana prohibía específicamente la adivinación ; y dondequiera que llegó el cristianismo, la adivinación perdió gran parte de su antiguo poder. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

A lo largo de los siglos, muchos eruditos cristianos lidiaron con el conflicto entre la creencia en el libre albedrío y su aleatoriedad implícita, y la idea de que Dios lo sabe todo. San Agustín y Santo Tomás de Aquino intentaron conciliar la presciencia y el libre albedrío, pero Martín Lutero argumentó en contra de la aleatoriedad y sostuvo que la omnisciencia de Dios hace que las acciones humanas sean inevitables y determinadas. ^{[ 18 ]} En el siglo XIII, Tomás de Aquino consideró la aleatoriedad no como el resultado de una sola causa, sino de varias causas que confluyen por casualidad. Si bien creía en la existencia de la aleatoriedad, la rechazó como explicación de la orientación hacia un fin de la naturaleza, pues veía demasiados patrones en la naturaleza como para que se hubieran obtenido por azar. ^{[ 19 ]}

Los griegos y los romanos no se percataron de la magnitud de las frecuencias relativas de los juegos de azar. Durante siglos, el azar se discutió en Europa sin fundamento matemático, y no fue hasta el siglo XVI que los matemáticos italianos comenzaron a analizar los resultados de los juegos de azar como proporciones. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} En su Liber de Lude Aleae de 1565 (un manual para jugadores publicado después de su muerte), Gerolamo Cardano escribió uno de los primeros tratados formales para analizar las probabilidades de ganar en diversos juegos. ^{[ 23 ]}

Hacia 1620, Galileo escribió un artículo titulado Sobre un descubrimiento acerca de los dados, en el que utilizó un modelo probabilístico temprano para abordar cuestiones específicas. ^{[ 24 ]} En 1654, impulsado por el interés del Caballero de Méré en el juego, Blaise Pascal se carteó con Pierre de Fermat , y se sentaron gran parte de las bases de la teoría de la probabilidad. La Apuesta de Pascal se destacó por su uso temprano del concepto de infinito y el primer uso formal de la teoría de la decisión . El trabajo de Pascal y Fermat influyó en el trabajo de Leibniz sobre el cálculo infinitesimal , lo que a su vez impulsó aún más el análisis formal de la probabilidad y la aleatoriedad.

La primera sugerencia conocida para considerar la aleatoriedad en términos de complejidad fue formulada por Leibniz en un documento poco conocido del siglo XVII, descubierto tras su muerte. Leibniz se preguntaba cómo se podía saber si un conjunto de puntos en un papel se había seleccionado al azar (por ejemplo, salpicando tinta) o no. Dado que para cualquier conjunto finito de puntos siempre existe una ecuación matemática que puede describirlos (por ejemplo, mediante interpolación lagrangiana ), la pregunta se centra en la forma en que se expresan matemáticamente los puntos. Leibniz consideraba que los puntos eran aleatorios si la función que los describía debía ser extremadamente compleja. Tres siglos después, este mismo concepto fue formalizado como aleatoriedad algorítmica por A. N. Kolmogorov y Gregory Chaitin, como la longitud mínima de un programa informático necesaria para describir una cadena finita como aleatoria. ^{[ 25 ]}

La Doctrina de las Probabilidades , el primer libro de texto sobre teoría de la probabilidad, se publicó en 1718 y el campo continuó creciendo a partir de entonces. ^{[ 26 ]} El enfoque de la teoría de la frecuencia a la probabilidad fue desarrollado por primera vez por Robert Ellis y John Venn a finales del siglo XIX.

Mientras la élite matemática progresaba en la comprensión de la aleatoriedad entre los siglos XVII y XIX, el público en general seguía recurriendo a prácticas como la adivinación con la esperanza de dominar el azar. La adivinación se realizaba de múltiples maneras tanto en Oriente (donde posteriormente se la denominó adicción) como en Europa por los romaníes y otros. ^{[ 27 ] [ 28 ]} Prácticas inglesas como la lectura de huevos arrojados a un vaso se exportaron a las comunidades puritanas de Norteamérica. ^{[ 29 ]}

El término entropía , que ahora es un elemento clave en el estudio de la aleatoriedad, fue acuñado por Rudolf Clausius en 1865 mientras estudiaba las máquinas térmicas en el contexto de la segunda ley de la termodinámica . Clausius fue el primero en afirmar que "la entropía siempre aumenta". ^{[ 31 ]}

Desde la época de Newton hasta aproximadamente 1890, se creía generalmente que si se conocía el estado inicial de un sistema con gran precisión, y si todas las fuerzas que actuaban sobre él podían formularse con igual exactitud, sería posible, en principio, predecir el estado del universo durante un tiempo infinitamente largo. Los límites de tales predicciones en sistemas físicos se hicieron evidentes ya en 1893, cuando Henri Poincaré demostró que, en el problema de los tres cuerpos en astronomía, pequeños cambios en el estado inicial podían provocar grandes cambios en las trayectorias durante la integración numérica de las ecuaciones. ^{[ 32 ]}

Durante el siglo XIX, a medida que la teoría de la probabilidad se formalizó y se comprendió mejor, la actitud hacia la "aleatoriedad como molestia" comenzó a ser cuestionada. Goethe escribió:

El tejido del mundo se construye a partir de necesidades y azar; el intelecto humano se sitúa entre ambos y puede controlarlos; considera la necesidad y la razón de su existencia; sabe cómo gestionar, controlar y utilizar el azar.

Las palabras de Goethe resultaron proféticas, cuando en el siglo XX se descubrieron los algoritmos aleatorios como herramientas poderosas. ^{[ 33 ]} A finales del siglo XIX, el modelo de Newton de un universo mecánico se estaba desvaneciendo a medida que Maxwell y Boltzmann estudiaban la visión estadística de la colisión de moléculas en gases . ^{[ 34 ]} La ecuación de Boltzmann S  = k log _e W (inscrita en su lápida) relacionó por primera vez la entropía con los logaritmos .   

Durante el siglo XX, las cinco interpretaciones principales de la teoría de la probabilidad (p. ej., clásica , lógica , de frecuencia , de propensión y subjetiva ) se comprendieron mejor, se discutieron, compararon y contrastaron. ^{[ 35 ]} En este siglo se desarrollaron numerosas áreas de aplicación, desde las finanzas hasta la física. En 1900, Louis Bachelier aplicó el movimiento browniano para evaluar opciones sobre acciones , impulsando así los campos de las matemáticas financieras y los procesos estocásticos .

Émile Borel fue uno de los primeros matemáticos en abordar formalmente la aleatoriedad en 1909 e introdujo los números normales . ^{[ 36 ]} En 1919, Richard von Mises dio la primera definición de aleatoriedad algorítmica a través de la imposibilidad de un sistema de juego . Desarrolló la teoría de la frecuencia de la aleatoriedad en términos de lo que llamó el colectivo , es decir, una secuencia aleatoria . ^{[ 37 ]} Von Mises consideró la aleatoriedad de un colectivo como una ley empírica, establecida por la experiencia. Relacionó el "desorden" o aleatoriedad de un colectivo con la falta de éxito de los sistemas de juego intentados. Este enfoque lo llevó a sugerir una definición de aleatoriedad que posteriormente fue refinada y hecha matemáticamente rigurosa por Alonzo Church mediante el uso de funciones computables en 1940. ^{[ 38 ]} Von Mises comparó el principio de la imposibilidad de un sistema de juego con el principio de conservación de la energía , una ley que no se puede probar, pero que se ha mantenido verdadera en experimentos repetidos. ^{[ 39 ]}

Von Mises nunca formalizó completamente sus reglas para la selección de subsecuencias, pero en su artículo de 1940 "Sobre el concepto de secuencia aleatoria", Alonzo Church sugirió que las funciones utilizadas para la asignación de posiciones en el formalismo de von Mises fueran funciones computables en lugar de funciones arbitrarias de los segmentos iniciales de la secuencia, apelando a la tesis de Church-Turing sobre la efectividad. ^{[ 40 ] [ 41 ]}

El advenimiento de la mecánica cuántica a principios del siglo XX y la formulación del principio de incertidumbre de Heisenberg en 1927 pusieron fin a la mentalidad newtoniana entre los físicos respecto a la determinación de la naturaleza . En mecánica cuántica, ni siquiera es posible considerar todos los elementos observables de un sistema como variables aleatorias a la vez , puesto que muchos observables no conmutan. ^{[ 42 ]}

A principios de la década de 1940, el enfoque de la teoría de la frecuencia para la probabilidad era bien aceptado dentro del círculo de Viena , pero en la década de 1950 Karl Popper propuso la teoría de la propensión . ^{[ 43 ] [ 44 ]} Dado que el enfoque de la frecuencia no puede abordar "un solo lanzamiento" de una moneda, y solo puede tratar grandes conjuntos o colectivos, las probabilidades de casos individuales se trataron como propensiones o posibilidades. El concepto de propensión también fue impulsado por el deseo de manejar configuraciones de probabilidad de casos individuales en mecánica cuántica, por ejemplo, la probabilidad de desintegración de un átomo específico en un momento específico. En términos más generales, el enfoque de la frecuencia no puede abordar la probabilidad de la muerte de una persona específica dado que la muerte no puede repetirse múltiples veces para esa persona. Karl Popper se hizo eco del mismo sentimiento que Aristóteles al considerar la aleatoriedad como subordinada al orden cuando escribió que "el concepto de probabilidad no se opone al concepto de ley" en la naturaleza, siempre que se consideren las leyes de la probabilidad. ^{[ 45 ]}

El desarrollo de la teoría de la información por Claude Shannon en 1948 dio origen a la concepción entrópica de la aleatoriedad. Según esta concepción, la aleatoriedad es lo opuesto al determinismo en un proceso estocástico . Por lo tanto, si un sistema estocástico tiene entropía cero, no presenta aleatoriedad, y cualquier aumento de entropía incrementa la aleatoriedad. La formulación de Shannon se basa por defecto en la formulación de Boltzmann del siglo XIX sobre la entropía en el caso de que todas las probabilidades sean iguales. ^{[ 46 ] [ 47 ]} La entropía se utiliza actualmente de forma generalizada en diversos campos de la ciencia, desde la termodinámica hasta la química cuántica . ^{[ 48 ]}

Las martingalas para el estudio del azar y las estrategias de apuestas fueron introducidas por Paul Lévy en la década de 1930 y formalizadas por Joseph L. Doob en la década de 1950. ^{[ 49 ]} La aplicación de la hipótesis del paseo aleatorio en la teoría financiera fue propuesta por primera vez por Maurice Kendall en 1953. ^{[ 50 ]} Posteriormente fue promovida por Eugene Fama y Burton Malkiel .

Las cadenas aleatorias fueron estudiadas por primera vez en la década de 1960 por A. N. Kolmogorov (quien había proporcionado la primera definición axiomática de la teoría de la probabilidad en 1933), ^{[ 51 ]} Chaitin y Martin-Löf . ^{[ 52 ]} La aleatoriedad algorítmica de una cadena se definió como el tamaño mínimo de un programa (por ejemplo, en bits) ejecutado en una computadora universal que produce la cadena. El número Omega de Chaitin relacionó posteriormente la aleatoriedad y la probabilidad de parada de los programas. ^{[ 53 ]}

En 1964, Benoît Mandelbrot sugirió que la mayoría de los modelos estadísticos solo abordaban una primera etapa del indeterminismo y que ignoraban muchos aspectos de la turbulencia del mundo real. ^{[ 54 ] [ 55 ]} En 1997 definió siete estados de aleatoriedad que van desde "leve hasta salvaje", con la aleatoriedad tradicional en el extremo leve de la escala. ^{[ 56 ]}

A pesar de los avances matemáticos, la dependencia de otros métodos para lidiar con el azar, como la adivinación y la astrología, continuó en el siglo XX. Según informes, el gobierno de Myanmar moldeó la política económica del siglo XX basándose en la adivinación y planeó el traslado de la capital del país siguiendo el consejo de astrólogos. ^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]} El jefe de gabinete de la Casa Blanca, Donald Regan, criticó la participación de la astróloga Joan Quigley en las decisiones tomadas durante la presidencia de Ronald Reagan en la década de 1980. ^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]} Quigley afirma haber sido la astróloga de la Casa Blanca durante siete años. ^{[ 63 ]}

Durante el siglo XX, se comprendieron mejor los límites en el manejo de la aleatoriedad. El ejemplo más conocido de límites teóricos y operativos en la predictibilidad es la predicción meteorológica, simplemente porque se han utilizado modelos en este campo desde la década de 1950. Las predicciones del tiempo y el clima son necesariamente inciertas. Las observaciones del tiempo y el clima son inciertas e incompletas, y los modelos en los que se introducen los datos también son inciertos. ^{[ 64 ]} En 1961, Edward Lorenz observó que un cambio muy pequeño en los datos iniciales introducidos en un programa informático para la simulación del tiempo podía dar lugar a un escenario meteorológico completamente diferente. Esto se conoció posteriormente como el efecto mariposa , a menudo parafraseado como la pregunta: "¿ El aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas? ". ^{[ 65 ]} Un ejemplo clave de serios límites prácticos en la predictibilidad se encuentra en la geología, donde la capacidad de predecir terremotos, ya sea de forma individual o estadística, sigue siendo una perspectiva remota. ^{[ 66 ]}

A finales de la década de 1970 y principios de la de 1980, los informáticos comenzaron a darse cuenta de que la introducción deliberada de aleatoriedad en los cálculos puede ser una herramienta eficaz para diseñar mejores algoritmos. En algunos casos, estos algoritmos aleatorios superan a los mejores métodos deterministas. ^{[ 33 ]}

Chaparro, Luis F. (abril de 2020). "Una breve historia de la aleatoriedad" .

Sheynin, OB (1991). «La noción de aleatoriedad desde Aristóteles hasta Poincaré» (PDF) . Matemáticas y ciencias humanas . 114 : 41-55 .