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Historia de los principios variacionales en física

Los principios variacionales de la mecánica clásica se desarrollaron en paralelo con la mecánica newtoniana. En física , un principio variacional es un método para describir el ...

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Los principios variacionales de la mecánica clásica se desarrollaron en paralelo con la mecánica newtoniana.

En física , un principio variacional es un método para describir el estado o la dinámica de un sistema físico, identificándolo como un extremo (mínimo, máximo o punto de silla) de una función. Los métodos variacionales se utilizan en muchas aplicaciones de software modernas para simular la materia y la luz.

Desde el desarrollo de la mecánica analítica en el siglo XVIII, las ecuaciones fundamentales de la física pueden expresarse en términos de principios de acción , donde el principio variacional se aplica a la acción de un sistema para recuperar la ecuación fundamental del movimiento. Intuitivamente, en lugar de escribir las leyes del movimiento en términos de relaciones locales e instantáneas mediante una ecuación diferencial , los mismos movimientos pueden describirse como la minimización de un coste total .

Este artículo describe el desarrollo histórico de dichos principios de acción y otros métodos variacionales aplicados en física. Consulte la Historia de la física para obtener una visión general y el Esquema de la historia de la física para consultar historias relacionadas.

Antigüedad

Los principios variacionales se encuentran entre las ideas más antiguas de la topografía y la óptica . Los tensores de cuerdas del antiguo Egipto extendían cuerdas entre dos puntos para medir la trayectoria que minimizaba la distancia de separación, y Claudio Ptolomeo , en su Geografía (Libro 1, Cap. 2), enfatizó que se deben corregir las "desviaciones de una trayectoria recta"; en la antigua Grecia, Euclides afirma en su Catóptrica que, para la trayectoria de la luz que se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ; y Herón de Alejandría demostró posteriormente que esta trayectoria era la más corta en longitud y tiempo. [ 1 ] : 580

Principios variacionales tempranos

Principio del tiempo mínimo

Las ideas geométricas iniciales en óptica fueron generalizadas por Pierre de Fermat , quien en la década de 1660 refinó el principio a "la luz viaja entre dos puntos dados siguiendo el camino de menor tiempo "; ahora conocido como el principio del tiempo mínimo o principio de Fermat . Fermat demostró que este principio predice la ley de refracción observada . Su enfoque era metafísico, argumentando que la naturaleza actúa de forma simple y económica. [ 1 ] : 580

Principio del trabajo virtual

En el análisis estático de objetos sometidos a fuerzas pero fijos en equilibrio mecánico , el principio del trabajo virtual imagina pequeños desplazamientos matemáticos respecto al equilibrio. Cada desplazamiento realiza trabajo —energía perdida o ganada— contra las fuerzas, pero la suma de todos estos trabajos virtuales debe ser cero. Este principio fue desarrollado por Johann Bernoulli en una carta a Pierre Varignon en 1715, pero nunca se publicó por separado. [ 2 ] : 23 Cornelius Lanczos utiliza una definición ligeramente diferente como postulado único para toda la mecánica analítica, demostrando así la superioridad de los principios variacionales basados ​​en la energía sobre la mecánica newtoniana. [ 2 ] : 87

Principio de D'Alembert

En 1743 Jean le Rond d'Alembert generalizó el concepto que ahora llamamos trabajo virtual a sistemas dinámicos con restricciones rígidas, como varillas o cuerdas bajo tensión, una forma que se conoció como el principio de d'Alembert . [ 3 ] : 190 En el caso de cuerpos rígidos estáticos (en equilibrio) sin fricción, el principio del trabajo virtual dice que el trabajo neto de todas las fuerzas aplicadas (Fi(a){\displaystyle F_{i}^{(a)}}) bajo variación de posiciones (ri{\displaystyle r_{i}}) es cero:

ΣiFi(a)⋅δri=0{\displaystyle \Sigma _{i}F_{i}^{(a)}\cdot \delta r_{i}=0}

Una condición similar, pero válida para la dinámica (sistemas en movimiento), introduce, para cada fuerza, el cambio en el momento.pag˙i{\displaystyle {\dot {p}}_{i}}:

Σi(Fi−pag˙i)⋅δri=0{\displaystyle \Sigma _{i}(F_{i}-{\dot {p}}_{i})\cdot \delta r_{i}=0}

que es el principio de d'Alembert. [ 4 ] : 17

Problema de la braquistócrona

El problema de la braquistócrona. La trayectoria de menor tiempo se muestra en rojo.
Las técnicas basadas en pequeñas variaciones en la trayectoria del movimiento surgieron del análisis del problema de la braquistócrona.

En 1696, Johann Bernoulli planteó un enigma a los matemáticos europeos: derivar una curva para el movimiento de una cuenta sin fricción que cae entre un punto más alto y uno más bajo en el menor tiempo posible. Llamó a la curva " braquistócrona " (de brachystos , "más corto", y chronos , "tiempo") [ 5 ] : 31. Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz y otros contribuyeron con soluciones, y en 1718 Johann Bernoulli publicó un análisis basado en la solución creada por su hermano James Bernoulli . Todos estos trabajos, especialmente el enfoque adoptado por los Bernoulli, implicaban razonamientos sobre pequeñas desviaciones en la trayectoria de la cuenta que cae. Así, esta se convirtió en la primera aplicación de la técnica variacional, aunque como un caso particular más que como un principio general. [ 5 ] : 68

Principio de mínima acción

En 1744 [ 6 ] y 1746, [ 7 ] Pierre Louis Maupertuis generalizó el concepto de Fermat a la mecánica, [ 8 ] : 97 en forma de un principio de mínima acción . Maupertuis argumentó metafísicamente que sentía que "la naturaleza es frugal en todas sus acciones" y aplicó el principio ampliamente:

Dado que las leyes del movimiento y del reposo deducidas de este principio son precisamente las mismas que se observan en la naturaleza, podemos admirar su aplicación a todos los fenómenos. El movimiento de los animales, el crecimiento vegetativo de las plantas... son solo sus consecuencias; y el espectáculo del universo se vuelve mucho más grandioso, mucho más bello, más digno de su Creador, cuando uno sabe que un pequeño número de leyes, establecidas con gran sabiduría, bastan para todos los movimientos.

— Pierre Louis Maupertuis [ 9 ]

Esta noción de Maupertuis, aunque hoy en día resulta algo determinista, capta gran parte de la esencia de la mecánica variacional.

En aplicación a la física, Maupertuis sugirió que la cantidad a minimizar era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la acción ; sus definiciones de acción variaban con los problemas que discutía. [ 1 ] : 581 Una forma que utilizó se denominó " vis viva ",

Principio de Maupertuis

δ∫2T(t)dt=0{\displaystyle \delta \int 2T(t)dt=0}

que es la integral del doble de lo que ahora llamamos la energía cinética T del sistema.

El refinamiento de Euler

Leonhard Euler mantuvo correspondencia con Maupertuis desde 1740 hasta 1744; [ 1 ] : 582 En 1744, Euler propuso una formulación refinada del principio de mínima acción. [ 10 ] En notación moderna, Euler propuso un principio basado en la acción abreviada : [ 4 ] : 359

Principio de Euler

δ∫pagdq=0{\displaystyle \delta \int p\,dq=0}

En términos bastante generales, escribió que "Dado que la estructura del Universo es sumamente perfecta y es obra de un Creador sumamente sabio, nada ocurre en el Universo en el que no aparezca alguna relación entre máximo y mínimo".

Euler continuó escribiendo sobre el tema; en sus Reflexiones sobre algunas leyes generales de la naturaleza (1748), denominó a esta magnitud "esfuerzo". Su expresión corresponde a lo que hoy llamaríamos energía potencial , de modo que su enunciado de mínima acción en estática es equivalente al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que minimice la energía potencial total.

mecánica lagrangiana

El primer uso del término "método de variaciones" se produjo en 1755 a través del trabajo de un joven Joseph Louis Lagrange ; Euler presentó el enfoque de Lagrange a la Academia de Berlín en 1756 como el " cálculo de variaciones ". A diferencia de Euler, el enfoque de Lagrange era puramente analítico en lugar de geométrico. Lagrange introdujo la idea de variación de curvas o trayectorias completas entre los puntos extremos, en lugar de coordenadas individuales. Para ello, introdujo una nueva forma de diferencial, escritaδ{\displaystyle \delta }, que actúa sobre integrales en lugar ded{\displaystyle d}actuando sobre coordenadas. [ 5 ] : 111 Su notación se sigue utilizando hoy en día. [ 1 ] : 583

Mecánica de Hamilton-Jacobi

El principio variacional no se utilizó para derivar las ecuaciones de movimiento hasta casi 75 años después, cuando William Rowan Hamilton, en 1834 y 1835 [ 11 ], aplicó el principio variacional a la función lagrangiana.L=T−V{\displaystyle L=TV}(donde T es la energía cinética y V la energía potencial de un objeto) para obtener lo que ahora se denominan ecuaciones de Euler-Lagrange . Hamilton creía que sus resultados estaban limitados por la conservación de la energía, a la que llamó conservación de la fuerza vital. [ 12 ] : 163

Si bien pocos científicos alemanes leían artículos en inglés en esta época, en 1836 el matemático alemán Carl Gustav Jacobi leyó el trabajo de Hamilton e inmediatamente comenzó un nuevo trabajo matemático, publicando al año siguiente un trabajo innovador sobre el principio variacional. [ 13 ] Entre los resultados de Jacobi se encontraba la extensión del método de Hamilton a potenciales dependientes del tiempo (o "funciones de fuerza", como se las conocía entonces). [ 12 ] : 201

Extensiones de Gauss y Hertz

Se formularon otros principios extremos de la mecánica clásica , como el principio de mínima restricción de Carl Friedrich Gauss de 1829 y su corolario, el principio de mínima curvatura de Heinrich Hertz de 1896 .

Nombres de los principios de acción

Los principios de acción se desarrollaron por ensayo y error a lo largo de tres siglos; los nombres de los principios no son autoexplicativos. [ 14 ] Richard Feynman , a través de su tesis doctoral [ 15 ] y posteriormente mediante su reinvención del curso de física de pregrado, revitalizó el campo de los principios variacionales en física. [ 14 ] En el proceso, revolucionó la terminología. Feynman llamó a la función principal de Hamilton simplemente «acción» y al principio de Hamilton lo llamó «el principio de mínima acción». [ 16 ] La tabla a continuación resume la terminología clave que se encuentra en la literatura de física moderna.

La notación(δS)T=0{\displaystyle (\delta S)_{T}=0}significa variaciones enS{\displaystyle S}conT=t2−t1{\displaystyle T=t_{2}-t_{1}}fijado; (δW)mi{\displaystyle (\delta W)_{E}}significa variación con energía constante. [ 17 ] La acción abreviada a veces se etiquetaS0{\displaystyle S_{0}}. [ 14 ] Algunos autores utilizan "acción estacionaria" o "acción mínima" para referirse a cualquier principio variacional que involucre acción. [ 2 ] : viii [ 20 ] : 92

Principios de acción modernos

En relatividad

En 1915, David Hilbert aplicó principios variacionales para derivar las ecuaciones del campo gravitatorio de la relatividad general, en concordancia con la derivación de Albert Einstein . [ 21 ] (Einstein e Hilbert discutieron el trabajo de Einstein sobre la relatividad general en persona y por carta a lo largo de 1915. [ 22 ] ) El enfoque de Hilbert requería aceptar el principio variacional como "axiomático", un requisito ampliamente aceptado hoy en día, pero cuestionable para los físicos de 1915. Las variaciones de Hilbert se basaron en lo que se conoció como la acción de Einstein-Hilbert , dada por

S[gramo]=12κ∫R−gramod4incógnita{\displaystyle {\mathcal {S}}[g]={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x},

donde κ es la constante gravitacional de Einstein ,gramo=det(gramoαβ){\displaystyle g=\det(g_{\alpha \beta })}es el determinante de una métrica de Lorentz espaciotemporal yR{\displaystyle R}es la curvatura escalar .

En mecánica cuántica

Los principios variacionales desempeñaron un papel decisivo en momentos críticos del desarrollo de la mecánica cuántica.

El átomo de Sommerfeld

Siguiendo la propuesta de Max Planck de que los radiadores cuánticos explican el espectro de radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Albert Einstein sobre la radiación cuántica para explicar el efecto fotoeléctrico , Niels Bohr propuso niveles de energía cuantizados para las órbitas en su modelo atómico, explicando así la serie de Balmer para la absorción de radiación por los átomos. Sin embargo, esta hipótesis no incluía ningún modelo mecánico. Arnold Sommerfeld demostró entonces que la cuantización de la acción de las órbitas para el hidrógeno predecía la serie de Balmer, con correcciones relativistas que daban lugar a una estructura fina en las líneas espectrales. Sin embargo, este enfoque no podía extenderse a átomos con más electrones y, más fundamentalmente, la propia hipótesis cuántica no tenía explicación a partir de esta solución de la mecánica clásica. [ 20 ] : 97

La ecuación de Schrödinger

Combinando la relatividad de Einstein y los resultados del efecto fotoeléctrico, De Broglie sugirió que la acción cuantizada de Sommerfeld podría relacionarse con los efectos de las ondas cuantizadas; Erwin Schrödinger retomó esta idea, aplicando la analogía óptico-mecánica de Hamilton para conectar la acción cuantizada con las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para la acción. La conexión de Hamilton entre rayos de luz y ondas de luz se convirtió entonces en una conexión entre trayectorias de materia y ondas de materia de De Broglie . [ 20 ] : 119 La ecuación de Schrödinger resultante se convirtió en la primera mecánica cuántica exitosa.

acción cuántica de Dirac

El trabajo que se basó en la ecuación de Schrödinger se fundamentó en analogías con la mecánica hamiltoniana . En 1933, Paul Dirac publicó un artículo en el que buscaba una formulación alternativa basada en la mecánica lagrangiana . Estaba motivado por el poder del principio de acción y la invariancia relativista de la acción misma. [ 23 ] Dirac pudo demostrar que la amplitud de probabilidad de las funciones de onda enincógnita1,t2{\displaystyle x_{1},t_{2}}estaba relacionado con la amplitud enincógnita2,t2{\displaystyle x_{2},t_{2}}a través de una función exponencial compleja de la acción. [ 24 ] : 1025

Mecánicas de acción mínimas de Feynman

En 1942, casi una década después del trabajo de Dirac, Richard Feynman construyó una nueva formulación de mecánica cuántica basada en el principio de acción. Feynman interpretó la fórmula de Dirac como una receta física para las contribuciones de amplitud de probabilidad de cada posible camino entreincógnita1,t2{\displaystyle x_{1},t_{2}}yincógnita2,t2{\displaystyle x_{2},t_{2}}Estas posibilidades interfieren ; la interferencia constructiva da las trayectorias con mayor amplitud. En el límite clásico con grandes valores de acción comparados conh{\displaystyle h}, el único camino clásico dado por el principio de acción resulta. [ 24 ] : 1027

Principio de acción cuántica de Schwinger

En 1950, Julian Schwinger revisó el artículo de Dirac sobre el lagrangiano para desarrollar el principio de acción en una dirección diferente. [ 24 ] : 1082 A diferencia del enfoque de Feynman en las trayectorias, el enfoque de Schwinger fue "diferencial" o local.

En física de partículas

El Modelo Estándar se define en términos de una densidad lagrangiana que incluye todas las partículas elementales conocidas , el campo de Higgs y tres de las interacciones fundamentales ( electromagnetismo , interacción débil e interacción fuerte , sin incluir la interacción gravitatoria). Su formulación comenzó en la década de 1970 y ha explicado con éxito casi todos los resultados experimentales relacionados con la física microscópica. [ 25 ]

Principios de la teleología en acción

La amplitud de los fenómenos físicos sujetos a estudio mediante principios de acción lleva a científicos de todos los siglos a considerar estos conceptos como especialmente fundamentales; la conexión de dos puntos mediante trayectorias lleva a algunos a sugerir un «propósito» en la selección de una trayectoria en particular. [ 26 ] Este punto de vista teleológico se extiende desde los inicios de la física, pasando por Fermat, Maupertuis y hasta Max Planck , sin embargo, sin ningún respaldo científico. [ 20 ] : 162 El uso de un lenguaje pintoresco continúa en la era moderna con frases como «¡El mandato de la naturaleza es explorar todas las trayectorias! » [ 27 ] o «No es que una partícula tome la trayectoria de menor acción, sino que olfatea todas las trayectorias de la vecindad…». [ 16 ] : II:19

Métodos variacionales

El trabajo de Ritz sobre elasticidad y ondas.

Lord Rayleigh fue el primero en adaptar popularmente los principios variacionales para la búsqueda de autovalores y autovectores para el estudio de la elasticidad y las ondas clásicas en su Teoría del Sonido de 1877. [ 28 ] El método de Rayleigh permite aproximar las frecuencias fundamentales sin un conocimiento completo de la composición del material y sin requerir una gran capacidad de cálculo. [ 28 ] Entre 1903 y 1908, Walther Ritz introdujo una serie de métodos mejorados para problemas de vibración estática y libre basados ​​en la optimización de una función de prueba o ansatz . Ritz demostró su utilidad en la teoría de vigas de Euler-Bernoulli y en la determinación de figuras de Chladni . [ 28 ]

Durante años, los trabajos de Ritz fueron poco citados en Europa Occidental y solo se popularizaron tras su muerte en 1909. [ 29 ] En Rusia, físicos como Ivan Bubnov (en 1913) y Boris Galerkin (en 1915) redescubrieron y popularizaron algunos de los métodos de Ritz de 1908. En 1940, Georgii I. Petrov mejoró estas aproximaciones. [ 29 ] Estos métodos se conocen ahora con diferentes nombres, como métodos de Bubnov-Galerkin, Petrov-Galerkin y Ritz-Galerkin. [ 28 ]

En 1911, Rayleigh felicitó a Ritz por su método para resolver el problema de Chladni, pero se quejó de la falta de citación de su trabajo anterior. Sin embargo, la similitud entre el método de Rayleigh y el de Ritz ha sido cuestionada en ocasiones. [ 28 ] [ 30 ] [ 29 ] Los métodos de Ritz a veces se denominan método de Rayleigh-Ritz o simplemente método de Ritz , según el procedimiento. [ 28 ] [ 29 ] El método de Ritz condujo al desarrollo del método de elementos finitos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales en física. [ 29 ]

Para sistemas cuánticos

El método variacional de Ritz fundaría su aplicación en la mecánica cuántica con el desarrollo del teorema de Hellmann-Feynman . El teorema fue discutido por primera vez por Schrödinger en 1926, la primera demostración la dio Paul Güttinger en 1932, y posteriormente redescubierto independientemente por Wolfgang Pauli y Hans Hellmann en 1933, y por Feynman en 1939.

En química cuántica y física de la materia condensada , se desarrollaron métodos variacionales para estudiar átomos, moléculas, núcleos y sólidos dentro de un marco de mecánica cuántica. Algunos ejemplos incluyen el uso de métodos de Ritz para la determinación de los espectros del átomo de helio , el método de Hartree-Fock de 1930 , la teoría del funcional de la densidad y el método de Monte Carlo variacional de 1964, y el grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) de 1992 .

Algoritmos cuánticos

En 2014, los principios variacionales formaron parte de una estrategia híbrida, denominada computación cuántica de escala intermedia ruidosa (NISQ), para combinar computadoras cuánticas potentes pero imperfectas con computadoras clásicas. [ 31 ] Las primeras propuestas incluyeron un solucionador de valores propios cuántico variacional [ 32 ] para explotar fenómenos cuánticos y simular átomos y moléculas pequeñas utilizando métodos variacionales y un algoritmo de optimización aproximada. [ 33 ] [ 34 ]

Nota

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