Simetría especular homológica

La simetría especular homológica es una conjetura matemática formulada por Maxim Kontsevich . Busca una explicación matemática sistemática para un fenómeno llamado simetría especular, observado por primera vez por físicos que estudiaban la teoría de cuerdas .

En un discurso pronunciado en el Congreso Internacional de Matemáticos de Zúrich en 1994 , Kontsevich (1994) especuló que la simetría especular para un par de variedades de Calabi-Yau X e Y podría explicarse como una equivalencia de una categoría triangulada construida a partir de la geometría algebraica de X (la categoría derivada de haces coherentes en X ) y otra categoría triangulada construida a partir de la geometría simpléctica de Y (la categoría de Fukaya derivada ).

Edward Witten describió originalmente la torsión topológica de la teoría de campos supersimétricos N=(2,2) en lo que denominó teorías de cuerdas topológicas de los modelos A y B. Estos modelos se refieren a aplicaciones de superficies de Riemann a un objetivo fijo, generalmente una variedad de Calabi-Yau. La mayoría de las predicciones matemáticas de la simetría especular están integradas en la equivalencia física del modelo A en Y con el modelo B en su espejo X. Cuando las superficies de Riemann tienen frontera vacía, representan las hojas de mundo de cuerdas cerradas. Para cubrir el caso de cuerdas abiertas, se deben introducir condiciones de frontera para preservar la supersimetría. En el modelo A, estas condiciones de frontera se presentan en forma de subvariedades lagrangianas de Y con alguna estructura adicional (a menudo llamada estructura de brana). En el modelo B, las condiciones de frontera se presentan en forma de subvariedades holomorfas (o algebraicas) de X con haces vectoriales holomorfos (o algebraicos) sobre ellas. Estos son los objetos que se utilizan para construir las categorías relevantes . A menudo se las denomina branas A y B respectivamente. Los morfismos en las categorías vienen dados por el espectro sin masa de cuerdas abiertas que se extienden entre dos branas .

Los modelos de cuerdas cerradas A y B solo capturan el llamado sector topológico, una pequeña porción de la teoría de cuerdas completa. De manera similar, las branas en estos modelos son solo aproximaciones topológicas de los objetos dinámicos completos, que son las D-branas . Aun así, las matemáticas resultantes de esta pequeña parte de la teoría de cuerdas han sido profundas y complejas.

La Escuela de Matemáticas del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton dedicó un año completo a la simetría especular homológica durante el año académico 2016-17. Entre los participantes se encontraban Paul Seidel del MIT , Maxim Kontsevich del IHÉS y Denis Auroux de la UC Berkeley . ^{[ 1 ]}

Solo en unos pocos ejemplos los matemáticos han podido verificar la conjetura. En su discurso seminal, Kontsevich comentó que la conjetura podría probarse en el caso de curvas elípticas usando funciones theta . Siguiendo esta línea, Alexander Polishchuk y Eric Zaslow proporcionaron una prueba de una versión de la conjetura para curvas elípticas. Kenji Fukaya pudo establecer elementos de la conjetura para variedades abelianas . Más tarde, Kontsevich y Yan Soibelman proporcionaron una prueba de la mayor parte de la conjetura para haces de toros no singulares sobre variedades afines usando ideas de la conjetura SYZ . En 2003, Paul Seidel probó la conjetura en el caso de la superficie cuártica . En 2002 , Hausel y Thaddeus (2002) explicaron la conjetura SYZ en el contexto del sistema de Hitchin y la dualidad de Langlands.

Las dimensiones h ^{p , q} de los espacios de formas diferenciales armónicas ( p , q ) (equivalentemente, la cohomología, es decir, formas cerradas módulo formas exactas) se organizan convencionalmente en forma de diamante, denominado diamante de Hodge . Estos números de Betti (p,q) se pueden calcular para intersecciones completas utilizando una función generadora descrita por Friedrich Hirzebruch . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Para una variedad tridimensional, por ejemplo, el diamante de Hodge tiene p y q que varían de 0 a 3:

La simetría especular traslada la dimensión de la forma diferencial (p, q)-ésima h ^{p , q} de la variedad original a h ^{n-p , q} de la variedad del par opuesto. Es decir, para cualquier variedad de Calabi-Yau, el diamante de Hodge permanece inalterado por una rotación de π radianes, y los diamantes de Hodge de las variedades de Calabi-Yau especulares están relacionados por una rotación de π/2 radianes.

En el caso de una curva elíptica , que se considera una variedad de Calabi-Yau unidimensional, el diamante de Hodge es especialmente simple: es la siguiente figura.

En el caso de una superficie K3 , que se considera una variedad de Calabi-Yau bidimensional, dado que los números de Betti son {1, 0, 22, 0, 1}, su diamante de Hodge es la siguiente figura.

En el caso tridimensional, generalmente llamado variedad de Calabi-Yau , ocurre algo muy interesante. A veces hay pares de espejos, digamos M y W , que tienen diamantes de Hodge simétricos entre sí a lo largo de una línea diagonal.

El diamante de M :

El diamante de W :

M y W corresponden a los modelos A y B en la teoría de cuerdas. La simetría especular no solo reemplaza las dimensiones homológicas, sino también la estructura simpléctica y la estructura compleja en los pares especulares. Ese es el origen de la simetría especular homológica.

En 1990-1991, Candelas et al. (1991) tuvieron un gran impacto no solo en la geometría algebraica enumerativa sino en las matemáticas en general y motivaron a Kontsevich (1994) . El par de espejos de dos variedades quínticas tridimensionales en este artículo tienen los siguientes diamantes de Hodge.

• Conjetura de simetría especular : un artículo con mayor base matemática.
• Teoría cuántica de campos topológica
• Teoría de categorías
• Homología de Floer
• Categoría Fukaya
• Categoría derivada
• quíntico triple

• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991). "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconforme exactamente soluble". Nuclear Physics B . 359 (1): 21– 74. Bibcode : 1991NuPhB.359...21C . doi : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . MR 1115626 . 
• Kontsevich, Maxim (1994). "Álgebra homológica de simetría especular". arXiv : alg-geom/9411018 .
• Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000). "Simetría de espejo homológica y fibraciones de toro". arXiv : math.SG/0011041 .
• Seidel, Paul (2003). "Simetría especular homológica para la superficie cuártica". arXiv : math.SG/0310414 .
• Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002). "Simetría especular, dualidad de Langlands y el sistema de Hitchin". Inventiones Mathematicae . 153 (1): 197– 229. arXiv : math.DG/0205236 . Bibcode : 2003InMat.153..197H . doi : 10.1007/s00222-003-0286-7 . S2CID 11948225 .