secuencia espectral de Hodge-de Rham

En matemáticas, la sucesión espectral de Hodge-de Rham (nombrada en honor a WVD Hodge y Georges de Rham ) o sucesión espectral de Frölicher (nombrada en honor a Alfred Frölicher , quien la descubrió; Frölicher ( 1955 ) ) es una sucesión espectral que describe la relación precisa entre la cohomología de Dolbeault y la cohomología de de Rham de una variedad compleja general. En una variedad de Kähler compacta , la sucesión degenera, lo que conduce a la descomposición de Hodge de la cohomología de de Rham. 

Es una herramienta en la teoría de variedades complejas para expresar el posible fallo de los resultados de la teoría de la cohomología, que en general solo son válidos para variedades de Kähler . Se establece una sucesión espectral, cuya degeneración daría lugar a los resultados de la teoría de Hodge y del teorema de Dolbeault .

La secuencia espectral es la siguiente:

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbf {C} )}$

donde X es una variedad compleja ,${\displaystyle H^{p+q}(X,\mathbf {C} )}$es su cohomología con coeficientes complejos y el término de la izquierda, que es el${\displaystyle E_{1}}$-página de la sucesión espectral, es la cohomología con valores en el haz de formas diferenciales holomorfas . La existencia de la sucesión espectral como se indicó anteriormente se deduce del lema de Poincaré , que da un cuasi-isomorfismo de complejos de haces.

${\displaystyle \mathbf {C} \rightarrow \Omega ^{*}:=[\Omega ^{0}{\stackrel {d}{\to }}\Omega ^{1}{\stackrel {d}{\to }}\cdots \to \Omega ^{\dim X}],}$

junto con la secuencia espectral habitual resultante de un objeto filtrado, en este caso la filtración de Hodge.

${\displaystyle F^{p}\Omega ^{*}:=[\cdots \to 0\to \Omega ^{p}\to \Omega ^{p+1}\to \cdots ]}$

de${\displaystyle \Omega ^{*}}$.

El teorema central relacionado con esta sucesión espectral es que para una variedad de Kähler compacta X , por ejemplo una variedad proyectiva , la sucesión espectral anterior degenera en el${\displaystyle E_{1}}$-página. En particular, proporciona un isomorfismo conocido como descomposición de Hodge.

${\displaystyle \bigoplus _{p+q=n}H^{p}(X,\Omega ^{q})=H^{n}(X,\mathbf {C} ).}$

La degeneración de la secuencia espectral puede demostrarse utilizando la teoría de Hodge . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Una extensión de esta degeneración en una situación relativa, para un mapa suave adecuado${\displaystyle f:X\to S}$, también fue demostrado por Deligne. ^{[ 3 ]}

Para variedades propias suaves sobre un cuerpo de característica 0, la sucesión espectral también se puede escribir como

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\Omega ^{*}),}$

dónde${\displaystyle \Omega ^{p}}$denota el haz de formas diferenciales algebraicas (también conocidas como diferenciales de Kähler ) en X ,${\displaystyle \Omega ^{*}}$es el complejo de De Rham (algebraico) , que consta de${\displaystyle \Omega ^{q}}$donde el diferencial es la derivada exterior . En esta formulación, todos los términos de la sucesión espectral son de naturaleza puramente algebraica (en contraposición a analítica). En particular, la cuestión de la degeneración de esta sucesión espectral cobra sentido para variedades sobre un cuerpo de característica p > 0.

Deligne e Illusie (1987) demostraron que para un esquema propio suave X sobre un cuerpo perfecto k de característica positiva p , la sucesión espectral degenera, siempre que dim( _X ) < p y X admita una elevación propia suave sobre el anillo de vectores de Witt _W₂ ( k ) de longitud dos (por ejemplo, para k = Fp , este anillo sería Z / p² ). Su demostración utiliza el isomorfismo de Cartier , que solo existe en característica positiva. Este resultado de degeneración en característica p > 0 puede utilizarse para demostrar también la degeneración de la sucesión espectral para ^X sobre un cuerpo de característica 0.

El complejo de De Rham y también la cohomología de De Rham de una variedad admiten generalizaciones a la geometría no conmutativa. Esta configuración más general estudia las categorías dg . A una categoría dg se le puede asociar su homología de Hochschild y también su homología cíclica periódica . Cuando se aplican a la categoría de complejos perfectos sobre una variedad propia lisa X , estos invariantes devuelven formas diferenciales, respectivamente, la cohomología de De Rham de X. Kontsevich y Soibelman conjeturaron en 2009 que para cualquier categoría dg propia y lisa C sobre un cuerpo de característica 0, la secuencia espectral de Hodge-de Rham que comienza con la homología de Hochschild y colinda con la homología cíclica periódica, degenera:

${\displaystyle HH_{*}(C/k)[u^{\pm 1}]\Rightarrow HP_{*}(C/k).}$

Esta conjetura fue demostrada por Kaledin (2008) y Kaledin (2016) adaptando la idea anterior de Deligne e Illusie a la generalidad de las dg-categorías suaves y propias. Mathew (2020) ha dado una demostración de esta degeneración utilizando la homología de Hochschild topológica .

• teoría de Hodge
• Ideal jacobiano : útil para calcular la cohomología de la descomposición de Hodge.

• Frölicher, Alfred (1955), "Relaciones entre los grupos de cohomología de Dolbeault y los invariantes topológicos", Proceedings of the National Academy of Sciences , 41 (9): 641– 644, Bibcode : 1955PNAS...41..641F , doi : 10.1073/pnas.41.9.641 , JSTOR 89147 , MR 0073262 , PMC 528153 , PMID 16589720    
• Deligne, Pierre ; Illusie, Luc (1987), "Relèvements módulo p ² et décomposition du complexe de de Rham", Invent. Matemáticas. , 89 (2): 247– 270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007/bf01389078 , S2CID 119635574 
• Kaledin, D. (2008), "Degeneración de Hodge a de Rham no conmutativa mediante el método de Deligne-Illusie", Pure and Applied Mathematics Quarterly , 4 (3): 785–876 , arXiv : math/0611623 , doi : 10.4310/PAMQ.2008.v4.n3.a8 , MR 2435845 , S2CID 16703870  
• Kaledin, Dmitry (2016), Secuencias espectrales para homología cíclica , arXiv : 1601.00637 , Bibcode : 2016arXiv160100637K
• Mathew, Akhil (2020) [arXiv 2017], "Teorema de degeneración de Kaledin y homología topológica de Hochschild", Geometry & Topology , 24 (6): 2675– 2708, arXiv : 1710.09045 , Bibcode : 2017arXiv171009045M , doi : 10.2140/gt.2020.24.2675 , S2CID 119591893