Argumento del agujero

En relatividad general , el argumento del agujero es una aparente paradoja que preocupó mucho a Albert Einstein mientras desarrollaba sus ecuaciones de campo .

En una ecuación de campo habitual, conocer la fuente del campo y las condiciones de contorno determina el campo en todas partes. Por ejemplo, si se nos dan la densidad de corriente y de carga y las condiciones de contorno adecuadas, las ecuaciones de Maxwell determinan los campos eléctrico y magnético. Sin embargo, no determinan el potencial vectorial, porque este depende de una elección arbitraria del calibre.

Einstein se dio cuenta de que si las ecuaciones de gravedad son generalmente covariantes , entonces la métrica no puede determinarse únicamente por sus fuentes como una función de las coordenadas del espacio-tiempo. Como ejemplo: considere una fuente gravitatoria, como el Sol . Entonces hay algún campo gravitatorio descrito por una métrica g(r). Ahora realice una transformación de coordenadas r r' donde r' es lo mismo que r para los puntos que están dentro del Sol pero r' es diferente de r fuera del Sol. La descripción de coordenadas del interior del Sol no se ve afectada por la transformación, pero la forma funcional de la métrica g' para los nuevos valores de coordenadas fuera del Sol cambia. Debido a la covarianza general de las ecuaciones de campo, esta métrica transformada g' también es una solución en el sistema de coordenadas no transformado. ${\displaystyle \to}$

Esto significa que una fuente, el Sol, puede ser la fuente de muchas métricas aparentemente diferentes. La resolución es inmediata: dos campos cualesquiera que sólo se diferencien por una transformación de "agujero" son físicamente equivalentes, al igual que dos potenciales vectoriales diferentes que se diferencian por una transformación de calibre son físicamente equivalentes. Entonces todas estas soluciones matemáticas distintas no son físicamente distinguibles: representan una y la misma solución física de las ecuaciones de campo.

Existen muchas variantes de esta aparente paradoja. En una versión, se considera una superficie de valor inicial con algunos datos y se encuentra la métrica como función del tiempo. Luego se realiza una transformación de coordenadas que mueve puntos en el futuro de la superficie de valor inicial, pero que no afecta a la superficie inicial ni a ningún punto en el infinito. La conclusión puede ser que las ecuaciones de campo generalmente covariantes no determinan el futuro de manera única, ya que esta nueva métrica transformada de coordenadas es una solución igualmente válida de las mismas ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas original. Por lo tanto, el problema del valor inicial no tiene una solución única en relatividad general. Esto también es cierto en electrodinámica, ya que se puede realizar una transformación de calibre que solo afectará al potencial vectorial mañana. La resolución en ambos casos es utilizar condiciones adicionales para fijar un calibre.

La derivación de Einstein de las ecuaciones del campo gravitatorio se retrasó debido al argumento del agujero que creó en 1913. ^[1] Sin embargo, el problema no era como el que se da en la sección anterior. En 1912, cuando Einstein comenzó lo que llamó su "lucha con el significado de las coordenadas", ^[2] ya sabía que debía buscar ecuaciones tensoriales, ya que estas no se ven afectadas por el cambio de coordenadas. Ya había encontrado la forma del campo gravitatorio (es decir, como una tétrada o campo de marco o métrica ), y las ecuaciones de movimiento de la materia en un campo gravitatorio dado (que se derivan de maximizar el tiempo propio dado por ). ^[3] Es evidente que esto es invariante bajo transformaciones de coordenadas. ${\displaystyle e_{\mu}^{I}(x)}$${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}$

Lo que le perturbaba era una consecuencia de su principio de covarianza general y surge de lo siguiente. ^[4] La covarianza general establece que las leyes de la física deben tomar la misma forma matemática en todos los marcos de referencia (acelerados o no) y, por lo tanto, en todos los sistemas de coordenadas, por lo que las ecuaciones diferenciales que son las ecuaciones de campo del campo gravitatorio deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas. En otras palabras, dados dos sistemas de coordenadas, digamos coordenadas y coordenadas, uno tiene exactamente la misma ecuación diferencial para resolver en ambos, excepto que en uno la variable independiente es y en el otro la variable independiente es . Esto implica que tan pronto como uno encuentra una función métrica en el sistema de coordenadas que resuelve las ecuaciones de campo, uno puede simplemente escribir la misma función pero reemplazar todas las " por ", lo que resuelve las ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas. Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional pero pertenecen a diferentes sistemas de coordenadas, imponen diferentes geometrías espacio-temporales. Nótese que esta segunda solución no está relacionada con la primera a través de una transformación de coordenadas, pero es una solución de todos modos. He aquí el problema que tanto inquietaba a Einstein: si estos sistemas de coordenadas difieren sólo después de que hay entonces dos soluciones; tienen las mismas condiciones iniciales pero imponen diferentes geometrías después de . Sobre la base de esta observación, Einstein pasó tres años buscando ecuaciones de campo no generalmente covariantes en una frenética carrera contra Hilbert . ^[5]${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización t=0}$${\estilo de visualización t=0}$

Para ser más precisos, Einstein concibió una situación en la que la distribución de la materia es conocida en todas partes fuera de una región cerrada del espacio-tiempo desprovista de materia, el agujero. Entonces las ecuaciones de campo junto con las condiciones de contorno supuestamente permiten determinar el campo métrico dentro del agujero. Se supone que las coordenadas y difieren dentro del agujero pero coinciden fuera de él. El argumento continúa entonces como en el párrafo anterior. ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional, asumen los mismos valores; solo los asumen en diferentes lugares. Por lo tanto, una solución se obtiene de la otra arrastrando activamente la función métrica sobre la variedad espacio-temporal hasta la nueva configuración. Esto se conoce como difeomorfismo , a veces llamado difeomorfismo activo por los físicos para distinguirlo de las transformaciones de coordenadas (difeomorfismos pasivos). Einstein no pudo encontrar ecuaciones de campo no generalmente covariantes solo para volver al argumento del agujero y resolverlo. Básicamente implicó aceptar que estas dos soluciones son físicamente equivalentes al afirmar que la forma en que se localiza la métrica sobre la variedad espacio-temporal es físicamente irrelevante y que los puntos individuales del espacio-tiempo definidos en términos de coordenadas espacio-temporales no tienen un significado físico en sí mismos (esta es la fuente del problema del sustancialismo de la variedad). Para dar significado a la "ubicación", Einstein generalizó la situación dada en los párrafos anteriores introduciendo dos partículas; luego, los puntos físicos (dentro del agujero) se pueden definir en términos de sus líneas de mundo coincidentes. Esto funciona porque la materia se arrastra junto con la métrica bajo difeomorfismos activos. Sin la introducción de estas partículas, no sería posible definir puntos físicos del espacio-tiempo (dentro del agujero); véanse las citas de Einstein que aparecen a continuación en la sección "La resolución de Einstein".

Para los que se inclinan por la filosofía, todavía hay cierta sutileza. Si los componentes métricos se consideran las variables dinámicas de la relatividad general , la condición de que las ecuaciones sean invariantes en cuanto a coordenadas no tiene contenido en sí misma. Todas las teorías físicas son invariantes ante transformaciones de coordenadas si se formulan correctamente. Es posible escribir las ecuaciones de Maxwell en cualquier sistema de coordenadas y predecir el futuro de la misma manera.

Pero para formular el electromagnetismo en un sistema de coordenadas arbitrario, hay que introducir una descripción de la geometría del espacio-tiempo que no esté ligada a un sistema de coordenadas especial. Esta descripción es un tensor métrico en cada punto, o una conexión que define qué vectores cercanos son paralelos. El objeto matemático introducido, la métrica de Minkowski, cambia de forma de un sistema de coordenadas a otro, pero no forma parte de la dinámica, no obedece a ecuaciones de movimiento. No importa lo que le pase al campo electromagnético, siempre es el mismo. Actúa sin que nadie actúe sobre él.

En la relatividad general, cada magnitud local separada que se utiliza para describir la geometría es en sí misma un campo dinámico local, con su propia ecuación de movimiento. Esto produce severas restricciones, porque la ecuación de movimiento tiene que ser sensata. Debe determinar el futuro a partir de las condiciones iniciales, no debe tener inestabilidades descontroladas para pequeñas perturbaciones, debe definir una energía definida positiva para pequeñas desviaciones. Si uno adopta el punto de vista de que la invariancia de coordenadas es trivialmente cierta, el principio de invariancia de coordenadas simplemente establece que la métrica en sí es dinámica y su ecuación de movimiento no implica una geometría de fondo fija.

En 1915, Einstein se dio cuenta de que el argumento del agujero hace una suposición sobre la naturaleza del espacio-tiempo: presupone que tiene sentido hablar del valor del campo gravitatorio (salvo las meras transformaciones de coordenadas) en un punto del espacio-tiempo definido por una coordenada del espacio-tiempo; más precisamente, presupone que tiene sentido hablar de las propiedades físicas del campo gravitatorio, por ejemplo, si es plano o curvo (esta es una propiedad del campo gravitatorio independiente de las coordenadas), en un punto del espacio-tiempo. Al abandonar esta suposición, la covarianza general se volvió compatible con el determinismo. Si bien dos campos gravitatorios que difieren por un difeomorfismo activo parecen diferentes geométricamente, después de que se recalculan las trayectorias de todas las partículas, sus interacciones definen manifiestamente ubicaciones "físicas" con respecto a las cuales el campo gravitatorio toma el mismo valor bajo todos los difeomorfismos activos. ^[6] (Nótese que si las dos métricas estuvieran relacionadas entre sí por una mera transformación de coordenadas, las líneas del mundo de las partículas no se transpondrían; esto se debe a que ambas métricas imponen la misma geometría espaciotemporal y a que las líneas del mundo se definen geométricamente como trayectorias de máximo tiempo propio —es solo con un difeomorfismo activo que la geometría cambia y las trayectorias se alteran.) Esta fue la primera declaración clara del principio de invariancia de calibre en la ley física.

Einstein creía que el argumento del agujero implica que la única definición significativa de la ubicación y el tiempo es a través de la materia. Un punto en el espacio-tiempo no tiene sentido en sí mismo, porque la etiqueta que se le da a ese punto es indeterminada. Los puntos del espacio-tiempo solo adquieren su significado físico porque la materia se mueve a través de ellos. En sus palabras:

"Todas nuestras comprobaciones espacio-temporales se reducen invariablemente a la determinación de coincidencias espacio-temporales. Si, por ejemplo, los acontecimientos consistieran simplemente en el movimiento de puntos materiales, entonces en última instancia no sería observable nada más que el encuentro de dos o más de estos puntos." ^[7]

Consideraba que esta era la idea más profunda de la relatividad general. Según esta idea, el contenido físico de cualquier teoría se agota en el catálogo de coincidencias espacio-temporales que permite. John Stachel denominó este principio el argumento de la coincidencia puntual . ^[1]

En general, lo que permanece invariable bajo difeomorfismos activos, y por lo tanto invariante en términos de norma, son las coincidencias entre el valor que el campo gravitatorio y el valor que el campo de materia tienen en el mismo 'lugar', porque el campo gravitatorio y el campo de materia se arrastran juntos bajo un difeomorfismo activo. A partir de estas coincidencias, se puede formar una noción de que la materia se encuentra ubicada con respecto al campo gravitatorio. Como dice Carlo Rovelli : "Ya no hay campos en el espacio-tiempo: sólo campos sobre campos". ^[4] Este es el verdadero significado ^{[ necesita una aclaración ]} del dicho "El escenario desaparece y se convierte en uno de los actores"; el espacio-tiempo como un 'contenedor' sobre el que se desarrolla la física no tiene un significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitatoria se representa como sólo uno de los campos que forman el mundo.

Einstein calificó su resolución como "más allá de mis expectativas más salvajes".

La gravedad cuántica de bucles (LQG, por sus siglas en inglés) es un enfoque de la gravedad cuántica que intenta unir los principios fundamentales de la RG clásica con las características esenciales mínimas de la mecánica cuántica y sin exigir ninguna hipótesis nueva. Los físicos de la gravedad cuántica de bucles consideran la independencia del fondo como un principio central en su enfoque de la cuantificación de la gravedad, una simetría clásica que debería ser preservada por la teoría cuántica si realmente queremos cuantificar la geometría (= gravedad). Una consecuencia inmediata es que la LQG es UV-finita porque las distancias pequeñas y grandes son equivalentes de calibre ya que uno puede reemplazar una función métrica por otra relacionada con la primera por un difeomorfismo activo. Se puede dar un argumento más preciso. ^[8] La prueba directa de finitud de la LQG canónica en presencia de todas las formas de materia ha sido proporcionada por Thiemann. ^[9] Sin embargo, se ha sugerido ^{[ ¿quién? ]} que la gravedad cuántica de bucles viola la independencia del fondo al introducir un marco de referencia preferido (' espumas de espín '). ^{[ cita requerida ]}

La teoría de cuerdas perturbativa (además de una serie de formulaciones no perturbativas) no es "obviamente" independiente del fondo, porque depende de las condiciones de contorno en el infinito, de manera similar a cómo la relatividad general perturbativa no es "obviamente" dependiente del fondo. Sin embargo, algunos sectores de la teoría de cuerdas admiten formulaciones en las que la independencia del fondo es manifiesta, incluyendo más notablemente la AdS/CFT . Se cree que la teoría de cuerdas es independiente del fondo en general, incluso si muchas formulaciones útiles no lo hacen manifiesto. ^[10] Para una visión contraria, véase Smolin. ^[11]

• Erich Kretschmann
• Filosofía del espacio y del tiempo

• Albert Einstein , HA Lorentz, H. Weyl y H. Minkowski, El principio de la relatividad (1952): Einstein, Albert (1916) "El fundamento de la teoría general de la relatividad", págs. 111–164.
• Carlo Rovelli , Quantum Gravity , publicado por Cambridge University Press (2004) ISBN  0-521-83733-2 . Se puede descargar una versión preliminar gratuita en http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf.
• Norton, John, The Hole Argument, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2004), Edward N. Zalta (ed.)
• d'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. Véase la sección 13.6 .
• La física se encuentra con la filosofía en la escala de Planck (Cambridge University Press).
• Joy Christian, Por qué la teoría cuántica debe ceder ante la gravedad , versión impresa disponible como gr-qc/9810078. Aparece en Physics Meets Philosophy at the Planck Scale (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli y Marcus Gaul, Gravedad cuántica de bucles y el significado de la invariancia del difeomorfismo , versión impresa disponible como gr-qc/9910079.
• Robert Rynasiewicz : Las lecciones del argumento del agujero , Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, no. 2 (1994), págs. 407–437.
• Alan Macdonald, El argumento del agujero de Einstein, American Journal of Physics (febrero de 2001), vol. 69, número 2, págs. 223-225.

• Stachel, John, "El argumento del agujero y algunas implicaciones físicas y filosóficas", Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014).