Desigualdad de FKG

En matemáticas, la desigualdad de Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) es una desigualdad de correlación , una herramienta fundamental en mecánica estadística y combinatoria probabilística (especialmente en grafos aleatorios y el método probabilístico ), debida a Cees M. Fortuin , Pieter W. Kasteleyn y Jean Ginibre ( 1971 ) . De manera informal, indica que en muchos sistemas aleatorios, los eventos de aumento están correlacionados positivamente, mientras que un evento de aumento y uno de disminución están correlacionados negativamente. Se obtuvo mediante el estudio del modelo de clúster aleatorio . 

Una versión anterior, para el caso especial de variables i.i.d. , denominada desigualdad de Harris , se debe a Theodore Edward Harris ( 1960 ) , véase más adelante . Una generalización de la desigualdad de FKG es la desigualdad de Holley (1974), que se presenta a continuación, y una generalización aún mayor es el teorema de las "cuatro funciones" de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, llega a la misma conclusión que las desigualdades de Griffiths , pero las hipótesis son diferentes. 

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​una red distributiva finita , y μ una función no negativa en ella, que se supone que satisface la condición de red ( FKG ) (a veces una función que satisface esta condición se llama supermodular logarítmica ), es decir,

${\displaystyle \mu (x\wedge y)\mu (x\vee y)\geq \mu (x)\mu (y)}$

para todos los x , y en la red${\displaystyle X}$.

La desigualdad de FKG entonces dice que para cualesquiera dos funciones monótonamente crecientes ƒ y g en${\displaystyle X}$Se cumple la siguiente desigualdad de correlación positiva :

${\displaystyle \left(\sum _{x\in X}f(x)g(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}\mu (x)\right)\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right).}$

La misma desigualdad (correlación positiva) se cumple cuando tanto ƒ como g son decrecientes. Si una es creciente y la otra decreciente, entonces están correlacionadas negativamente y la desigualdad anterior se invierte.

Afirmaciones similares son válidas de forma más general, incluso cuando el conjunto subyacente${\displaystyle X}$no es necesariamente finito o contable (aunque debe ser acotado y totalmente ordenado). En ese caso, μ tiene que ser una medida finita, y la condición de retículo tiene que definirse utilizando eventos de cilindro ; véase, por ejemplo, la Sección 2.2 de Grimmett (1999) .

Para demostraciones, véase Fortuin, Kasteleyn y Ginibre (1971) o la desigualdad de Ahlswede-Daykin (1978) . Asimismo, a continuación se presenta un esbozo, cortesía de Holley (1974) , que utiliza un argumento de acoplamiento de cadenas de Markov .

La condición de retículo para μ también se denomina positividad total multivariada y, a veces, condición FKG fuerte ; el término condición FKG ( multiplicativa ) también se utiliza en la literatura más antigua.

La propiedad de μ de que las funciones crecientes están correlacionadas positivamente también se denomina tener asociaciones positivas o condición FKG débil .

Por lo tanto, el teorema FKG puede reformularse como "la condición FKG fuerte implica la condición FKG débil".

Si la red${\displaystyle X}$es totalmente ordenado , entonces la condición de retículo se satisface trivialmente para cualquier medida μ . En caso de que la medida μ sea uniforme, la desigualdad de FKG es la desigualdad de suma de Chebyshev : si las dos funciones crecientes toman valores${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}$y${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}$, entonces

${\displaystyle {\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.}$

De manera más general, para cualquier medida de probabilidad μ en${\displaystyle \mathbb {R} }$y funciones crecientes ƒ y g ,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),}$

lo cual se deduce inmediatamente de

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\geq 0.}$

La condición de red se satisface trivialmente también cuando la red es el producto de redes totalmente ordenadas,${\displaystyle X=X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$, y${\displaystyle \mu =\mu _ {1}\otimes \cdots \otimes \mu _ {n}}$es una medida de producto. A menudo todos los factores (tanto las redes como las medidas) son idénticos, es decir, μ es la distribución de probabilidad de variables aleatorias i.i.d.

La desigualdad de FKG para el caso de una medida de producto también se conoce como la desigualdad de Harris, en honor a Harris ( Harris 1960 ) , quien la descubrió y utilizó en su estudio de la percolación en el plano. Una demostración de la desigualdad de Harris que utiliza el truco de la doble integral anterior en${\displaystyle \mathbb {R} }$se puede encontrar, por ejemplo, en la Sección 2.2 de Grimmett (1999) .

En mecánica estadística, la fuente habitual de medidas que satisfacen la condición de red (y por lo tanto la desigualdad de FKG) es la siguiente:

Si${\displaystyle S}$es un conjunto ordenado (como por ejemplo${\displaystyle \{-1,+1\}}$), y${\displaystyle \Gamma }$es un grafo finito o infinito , entonces el conjunto${\displaystyle S^{\Gamma }}$de${\displaystyle S}$Las configuraciones con valores en son un poset que es un retículo distributivo.

Ahora bien, si${\displaystyle \Phi }$es un potencial submodular (es decir, una familia de funciones)

${\displaystyle \Phi _{\Lambda }:S^{\Lambda }\longrightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$

uno para cada finito${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$, de tal manera que cada${\displaystyle \Phi _{\Lambda }}$es submodular ), entonces se definen los hamiltonianos correspondientes como

${\displaystyle H_{\Lambda }(\varphi ):=\sum _{\Delta \cap \Lambda \not =\emptyset }\Phi _{\Delta }(\varphi ).}$

Si μ es una medida de Gibbs extremal para este hamiltoniano en el conjunto de configuraciones${\displaystyle \varphi }$, entonces es fácil demostrar que μ satisface la condición de red, véase Sheffield (2005) .

Un ejemplo clave es el modelo de Ising en un grafo.${\displaystyle \Gamma }$. Dejar${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$, llamados giros, y${\displaystyle \beta \in [0,\infty ]}$Consideremos el siguiente potencial:

${\displaystyle \Phi _{\Lambda }(\varphi )={\begin{cases}\beta 1_{\{\varphi (x)\not =\varphi (y)\}}&{\text{if }}\Lambda =\{x,y\}{\text{ is a pair of adjacent vertices of }}\Gamma$ ;\\0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}

La submodularidad es fácil de comprobar; intuitivamente, tomar el mínimo o el máximo de dos configuraciones tiende a disminuir el número de espines discordantes. Luego, dependiendo del gráfico${\displaystyle \Gamma }$y el valor de${\displaystyle \beta }$, podría haber una o más medidas de Gibbs extremas, véase, por ejemplo, Georgii, Häggström y Maes (2001) y Lyons (2000) .

La desigualdad de Holley , debida a Richard Holley ( 1974 ) , establece que las expectativas 

${\displaystyle \langle f\rangle _{i}={\frac {\sum _{x\in X}f(x)\mu _{i}(x)}{\sum _{x\in X}\mu _{i}(x)}}}$

de una función monótonamente creciente ƒ en una red distributiva finita${\displaystyle X}$Con respecto a dos funciones positivas μ ₁ , μ ₂ en la red, satisfacen la condición

${\displaystyle \langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2},}$

siempre que las funciones satisfagan la condición de Holley ( criterio )

${\displaystyle \mu _{2}(x\wedge y)\mu _{1}(x\vee y)\geq \mu _{1}(x)\mu _{2}(y)}$

para todos los x , y en la red.

Para recuperar la desigualdad de FKG : Si μ satisface la condición de red y ƒ y g son funciones crecientes en${\displaystyle X}$, entonces μ ₁ ( x )  = g ( x ) μ ( x ) y μ ₂ ( x ) = μ ( x ) satisfarán la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley. Entonces la desigualdad de Holley establece que   

${\displaystyle {\frac {\langle fg\rangle _{\mu }}{\langle g\rangle _{\mu }}}=\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}=\langle f\rangle _{\mu },}$

que es simplemente la desigualdad FKG.

En cuanto a FKG, la desigualdad de Holley se deriva de la desigualdad de Ahlswede-Daykin .

Consideremos el caso habitual de${\displaystyle X}$ser un producto${\displaystyle \mathbb {R} ^{V}}$para algún conjunto finito${\displaystyle V}$. Es fácil ver que la condición de red sobre μ implica la siguiente monotonicidad , que tiene la ventaja de que a menudo es más fácil de comprobar que la condición de red:

Siempre que uno fija un vértice${\displaystyle v\in V}$y dos configuraciones φ y ψ fuera de v tales que${\displaystyle \varphi (w)\geq \psi (w)}$a pesar de${\displaystyle w\not =v}$, la distribución μ -condicional de φ ( v ) dada${\displaystyle \{\varphi (w):w\not =v\}}$domina estocásticamente la distribución μ -condicional de ψ ( v ) dado${\displaystyle \{\psi (w):w\not =v\}}$.

Ahora bien, si μ satisface esta propiedad de monotonicidad, eso ya es suficiente para que se cumpla la desigualdad de FKG (asociaciones positivas).

Aquí hay un esbozo aproximado de la demostración, debido a Holley (1974) : partiendo de cualquier configuración inicial en${\displaystyle V}$Se puede ejecutar una cadena de Markov simple (el algoritmo de Metropolis ) que utiliza variables aleatorias uniformes independientes [0,1] para actualizar la configuración en cada paso, de modo que la cadena tenga una medida estacionaria única, la μ dada . La monotonicidad de μ implica que la configuración en cada paso es una función monótona de variables independientes; por lo tanto, la versión de la medida producto de Harris implica que tiene asociaciones positivas. En consecuencia, la medida estacionaria límite μ también posee esta propiedad.

La propiedad de monotonicidad tiene una versión natural para dos medidas, que dice que μ ₁ domina puntualmente a μ ₂ de forma condicional . Es fácil ver de nuevo que si μ ₁ y μ ₂ satisfacen la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley , entonces μ ₁ domina puntualmente a μ ₂ de forma condicional . Por otro lado, un argumento de acoplamiento de cadena de Markov similar al anterior, pero ahora sin invocar la desigualdad de Harris, muestra que la dominación puntual condicional, de hecho, implica la dominación estocástica . La dominación estocástica es equivalente a decir que${\displaystyle \langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}}$Para todo ƒ creciente , obtenemos así una demostración de la desigualdad de Holley. (Y, por lo tanto, también una demostración de la desigualdad de FKG, sin utilizar la desigualdad de Harris).

Véase Holley (1974) y Georgii, Häggström & Maes (2001) para más detalles.

• Desigualdad entre los Ahlswede y los Daykin
• Desigualdad XYZ
• Desigualdad BK

• Eaton, Morris L. (1987), "La desigualdad y asociación de FKG", Lecciones sobre temas de desigualdades de probabilidad , Ámsterdam, pp. 111–151 , ISBN  90-6196-316-8{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
• Fishburn, PC (2001) [1994], "Desigualdad FKG" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Fortuin, CM; Kasteleyn, PW; Ginibre, J. (1971), "Desigualdades de correlación en algunos conjuntos parcialmente ordenados" , Communications in Mathematical Physics , 22 (2): 89– 103, Bibcode : 1971CMaPh..22...89F , doi : 10.1007/BF01651330 , MR 0309498 , S2CID 1011815  
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas reticulares: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
• Georgii, HO.; Häggström, O.; Maes, C. (2001), "La geometría aleatoria de las fases de equilibrio", Phase Transitions and Critical Phenomena , vol.  18, Academic Press, San Diego, CA, pp. 1–142 , arXiv : math/9905031 , doi : 10.1016/S1062-7901(01)80008-2 , ISBN  9780122203183, MR 2014387 , S2CID 119137791  
• Grimmett, GR (1999), Percolación. Segunda edición , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol.  321, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03981-6 , ISBN 3-540-64902-6, MR 1707339 
• Harris, TE (1960), "Un límite inferior para la probabilidad crítica en un cierto proceso de percolación", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 56 (1): 13– 20, Bibcode : 1960PCPS...56...13H , doi : 10.1017/S0305004100034241 , MR 0115221 , S2CID 122724783  
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• Lyons, R. (2000), "Transiciones de fase en grafos no amenables", J. Math. Phys. , 41 (3): 1099– 1126, arXiv : math/9908177 , Bibcode : 2000JMP....41.1099L , doi : 10.1063/1.533179 , MR 1757952 , S2CID 10350129  
• Sheffield, S. (2005), "Superficies aleatorias", Astérisque , 304 , arXiv : math/0304049 , Bibcode : 2003math......4049S , MR 2251117