Conjeturas homológicas en el álgebra conmutativa

En matemáticas , las conjeturas homológicas han sido un foco de actividad de investigación en álgebra conmutativa desde principios de la década de 1960. Se refieren a una serie de conjeturas interrelacionadas (a veces sorprendentemente) que relacionan varias propiedades homológicas de un anillo conmutativo con su estructura de anillo interna, particularmente su dimensión de Krull y profundidad .

La siguiente lista dada por Melvin Hochster se considera definitiva para esta área. En la secuela, , y se refieren a anillos conmutativos noetherianos ; será un anillo local con ideal máximo , y y son módulos finitamente generados .${\estilo de visualización A,R}$${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización R}$$Estilo de visualización mR$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$ ${\estilo de visualización R}$

1. Teorema del divisor cero. Si tiene dimensión proyectiva finita y no es divisor de cero en , entonces no es divisor de cero en .${\displaystyle M\neq 0}$${\displaystyle r\en R}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización R}$
2. Pregunta de Bass. Si tiene una resolución inyectiva finita , entonces es un anillo de Cohen-Macaulay .${\displaystyle M\neq 0}$${\estilo de visualización R}$
3. Teorema de intersección. Si tiene longitud finita, entonces la dimensión de Krull de N ( es decir, la dimensión de R módulo el aniquilador de N ) es como máximo la dimensión proyectiva de M.${\displaystyle M\o veces _{R}N\neq 0}$
4. El nuevo teorema de intersección. Sea un complejo finito de R -módulos libres tal que tiene longitud finita pero no es 0. Entonces, la (dimensión de Krull) .${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })}$${\displaystyle \dim R\leq n}$
5. La nueva conjetura de intersección mejorada. Sea α un complejo finito de R -módulos libres tales que tiene una longitud finita para y tiene un generador mínimo que es eliminado por una potencia del ideal máximo de R . Entonces .${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$${\displaystyle H_{i}(G_{\bullet })}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle H_{0}(G_{\bullet })}$${\displaystyle \dim R\leq n}$
6. La conjetura del sumando directo. Si R es una extensión de anillo de módulo finito con R regular (aquí, R no necesita ser local pero el problema se reduce inmediatamente al caso local), entonces R es un sumando directo de S como un R -módulo. La conjetura fue demostrada por Yves André usando una teoría de espacios perfumistas . ^[1]${\displaystyle R\subseteq S}$
7. La conjetura del elemento canónico. Sea un sistema de parámetros para R , sea una R -resolución libre del campo de residuos de R con , y sea el complejo de Koszul de R con respecto a . Elevemos la función identidad a una función de complejos. Entonces, sin importar cuál sea la elección del sistema de parámetros o de la elevación, la última función de no es 0.${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$${\displaystyle F_{\bullet}}$$Estilo de visualización F_{0}=R$${\displaystyle K_{\bullet}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$${\displaystyle R=K_{0}\to F_{0}=R}$${\displaystyle R=K_{d}\to F_{d}}$
8. Conjetura sobre la existencia de grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados. Existe un módulo R W (no necesariamente finitamente generado) tal que m _R W ≠ W y cada sistema de parámetros para R es una secuencia regular en W .
9. Conjetura de Cohen-Macaulayness de sumandos directos. Si R es un sumando directo de un anillo regular S como R -módulo, entonces R es Cohen-Macaulay ( R no necesita ser local, pero el resultado se reduce inmediatamente al caso en que R es local).
10. La conjetura de desaparición para las funciones de Tor. Sean homomorfismos donde R no es necesariamente local (sin embargo, se puede reducir a ese caso), con A, S regular y R finitamente generado como un módulo A. Sea W cualquier módulo A. Entonces la función es cero para todo .${\displaystyle A\subseteq R\to S}$${\displaystyle \nombreoperador {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \nombreoperador {Tor} _{i}^{A}(W,S)}$${\displaystyle i\geq 1}$
11. La conjetura del sumando directo fuerte. Sea una función de dominios locales completos y sea Q un ideal primo de altura uno de S que se encuentra sobre , donde R y son ambos regulares. Entonces es un sumando directo de Q considerado como R -módulos.${\displaystyle R\subseteq S}$${\estilo de visualización xR}$${\estilo de visualización R/xR}$${\estilo de visualización xR}$
12. Conjetura sobre la existencia de álgebras de Cohen-Macaulay grandes débilmente funtoriales. Sea un homomorfismo local de dominios locales completos. Entonces existe una R -álgebra B _R que es una álgebra de Cohen-Macaulay grande balanceada para R , una S -álgebra que es una álgebra de Cohen-Macaulay grande balanceada para S , y un homomorfismo B _R → B _S tal que el cuadrado natural dado por estas funciones conmuta.${\displaystyle R\to S}$$Estilo de visualización B_{S}$
13. Conjetura de Serre sobre las multiplicidades. (cf. Conjeturas de Serre sobre la multiplicidad . ) Supóngase que R es regular de dimensión d y que tiene longitud finita. Entonces , , definida como la suma alternada de las longitudes de los módulos es 0 si , y es positiva si la suma es igual a d . (NB Jean-Pierre Serre demostró que la suma no puede ser mayor que d .)${\displaystyle M\o veces _{R}N}$${\displaystyle \chi(M,N)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$${\displaystyle \dim M+\dim N<d}$
14. Conjetura de los pequeños módulos de Cohen-Macaulay. Si R es completo, entonces existe un módulo R finitamente generado tal que algún (equivalentemente todo) sistema de parámetros para R es una secuencia regular en M .${\displaystyle M\neq 0}$

• Conjeturas homológicas, antiguas y nuevas, Melvin Hochster , Illinois Journal of Mathematics Volumen 51, Número 1 (2007), 151-169.
• Sobre la conjetura del sumando directo y su variante derivada de Bhargav Bhatt.