conectividad homológica

En topología algebraica , la conectividad homológica es una propiedad que describe un espacio topológico basado en sus grupos de homología . ^{[ 1 ]}

Definiciones

Fondo

X está conectado homológicamente si su grupo de homología 0 es igual a Z , es decir $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ , o equivalentemente, su grupo de homología reducido de grado 0 es trivial : ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong 0$ .

Por ejemplo, cuando X es un grafo y su conjunto de componentes conexas es C , $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|}$ y ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|-1}$ (véase homología de grafos ). Por lo tanto, la conectividad homológica es equivalente a que el grafo tenga un único componente conexo, lo cual es equivalente a la conectividad de grafos . Es similar a la noción de un espacio conexo .

X es homológicamente 1-conexo si es homológicamente conexo y, además, su 1-ésimo grupo de homología es trivial, es decir, $H_{1}(X)\cong 0$ . ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, cuando X es un grafo conexo con conjunto de vértices V y conjunto de aristas E , $H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+1}$ Por lo tanto, la 1-conectividad homológica es equivalente a que el grafo sea un árbol . De manera informal, corresponde a que X no tenga "agujeros" con un límite unidimensional, lo cual es similar a la noción de un espacio simplemente conexo .

En general, para cualquier entero k , X es k-conexo homológicamente si sus grupos de homología reducidos de orden 0, 1, ..., k son todos triviales. Cabe destacar que el grupo de homología reducido es igual al grupo de homología para 1, ..., k (solo el grupo de homología reducido de orden 0 es diferente).

Conectividad

La conectividad homológica de X , denotada conn _H (X) , es el mayor k ≥ 0 para el cual X es homológicamente k -conexo. Ejemplos:

Si todos los grupos de homología reducidos de X son triviales, entonces conn _H (X) = infinito . Esto se cumple, por ejemplo, para cualquier bola .
Si el grupo 0 es trivial pero el grupo 1 no lo es, entonces conn _H (X) = 0. Esto se cumple, por ejemplo, para un grafo conexo con un ciclo.
Si todos los grupos de homología reducidos no son triviales, entonces conn _H (X) = -1 . Esto se cumple para cualquier espacio disconexo.
La conectividad del espacio vacío es, por convención, conn _H (X) = -2 .

Algunos cálculos se simplifican si la conectividad se define con un desplazamiento de 2, es decir, $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ . ^{[ 2 ]} El eta del espacio vacío es 0, que es su valor más pequeño posible. El eta de cualquier espacio desconectado es 1.

Dependencia del campo de coeficientes

La definición básica considera grupos de homología con coeficientes enteros. Considerar grupos de homología con otros coeficientes conduce a otras definiciones de conectividad. Por ejemplo, X es F ₂ -homológicamente 1-conexo si su primer grupo de homología con coeficientes de F ₂ (el cuerpo cíclico de tamaño 2) es trivial, es decir: $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ .

Conectividad homológica en espacios específicos

Para la conectividad homológica de complejos simpliciales, véase homología simplicial . La conectividad homológica se calculó para varios espacios, entre ellos:

El complejo de independencia de un grafo; ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
Un complejo simplicial bidimensional aleatorio ; ^{[ 1 ]}
Un complejo simplicial aleatorio de k dimensiones; ^{[ 5 ]}
Un hipergrafo aleatorio ; ^{[ 6 ]}
Un complejo de Čech aleatorio . ^{[ 7 ]}

Relación con la conectividad homotópica

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homológica. ${\text{conn}}_{H}(X)$ a la conectividad homotópica , denotada por ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ .

Para cualquier X que sea simplemente conexo, es decir, ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$ , las conectividades son las mismas: ${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)$ Si X no es simplemente conexo ( ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0$ ), entonces se cumple la desigualdad: ${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$ pero puede ser estricto. Véase Conectividad homotópica .

Véase también

El juego de Meshulam es un juego que se juega en un grafo G , que se puede utilizar para calcular una cota inferior de la conectividad homológica del complejo de independenciade G.

Referencias

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[:0-1] 1 2 3 Linial*, Nathan; Meshulam*, Roy (2006-08-01). "Conectividad homológica de complejos aleatorios de 2 elementos". Combinatorica . 26 (4): 475– 487. doi : 10.1007/s00493-006-0027-9 . ISSN 1439-6912 . S2CID 10826092 .

[2] Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (1 de octubre de 2017). "Sobre una conjetura de Stein". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 87 (2): 203–211 . arXiv : 1605.01982 . doi : 10.1007/s12188-016-0160-3 . ISSN 1865-8784 . S2CID 119139740 .

[:02-3] Meshulam, Roy (1 de mayo de 2003). "Números de dominación y homología" . Journal of Combinatorial Theory, Series A. 102 ( 2): 321– 330. doi : 10.1016/s0097-3165(03)00045-1 . ISSN 0097-3165 .

[4] Adamaszek, Michał; Barmak, Jonathan Ariel (2011-11-06). "Sobre una cota inferior para la conectividad del complejo de independencia de un grafo" . Matemáticas Discretas . 311 (21): 2566– 2569. doi : 10.1016/j.disc.2011.06.010 . ISSN 0012-365X .

[5] Meshulam, R.; Wallach, N. (2009). "Conectividad homológica de complejos aleatorios k-dimensionales". Random Structures & Algorithms . 34 (3): 408– 417. arXiv : math/0609773 . doi : 10.1002/rsa.20238 . ISSN 1098-2418 . S2CID 8065082 .

[6] Cooley, Oliver; Haxell, Penny ; Kang, Mihyun ; Sprüssel, Philipp (2016-04-04). "Conectividad homológica de hipergrafos aleatorios". arXiv : 1604.00842 [ math.CO ].

[7] Bobrowski, Omer (2019-06-12). "Conectividad homológica en complejos Čech aleatorios". arXiv : 1906.04861 [ math.PR ].

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