Estabilidad homológica

En matemáticas, la estabilidad homológica es cualquiera de una serie de teoremas que afirman que la homología de grupo de una serie de grupos${\displaystyle G_{1}\subset G_{2}\subset \cdots }$es estable, es decir,

${\displaystyle H_{i}(G_{n})}$

es independiente de n cuando n es suficientemente grande (dependiendo de i ). El n más pequeño tal que los mapas${\displaystyle H_{i}(G_{n})\to H_{i}(G_{n+1})}$Un isomorfismo se denomina rango estable . El concepto de estabilidad homológica fue introducido por Daniel Quillen , cuya técnica de demostración se ha adaptado en diversas situaciones. ^{[ 1 ]}

Algunos ejemplos de este tipo de grupos son los siguientes:

En algunos casos, la homología del grupo

${\ Displaystyle G _ {\ infty} = \ bigcup _ {n} G_ {n}}$

puede calcularse por otros medios o está relacionado con otros datos. Por ejemplo, el teorema de Barratt-Priddy relaciona la homología del grupo simétrico infinito con los espacios de mapeo de esferas. Esto también puede enunciarse como una relación entre la construcción más de${\displaystyle \operatorname {BS} _ {\infty }}$y el espectro de la esfera . En una línea similar, la homología de${\displaystyle \operatorname {GL} _{\infty }(R)}$está relacionado, a través de la construcción +, con la K-teoría algebraica de R.