Categoría de homotopía de complejos de cadena

En álgebra homológica en matemáticas , la categoría de homotopía K(A) de complejos de cadena en una categoría aditiva A es un marco para trabajar con homotopías de cadena y equivalencias de homotopía. Se sitúa entre la categoría de complejos de cadena Kom(A) de A y la categoría derivada D(A) de A cuando A es abeliana ; a diferencia de la primera, es una categoría triangulada , y a diferencia de la segunda, su formación no requiere que A sea abeliana. Filosóficamente, mientras que D(A) convierte en isomorfismos cualquier aplicación de complejos que sean cuasi-isomorfismos en Kom(A) , K(A) lo hace solo para aquellos que son cuasi-isomorfismos por una "buena razón", a saber, tener realmente un inverso salvo equivalencia de homotopía. Por lo tanto, K(A) es más comprensible que D(A) .

Sea A una categoría aditiva . La categoría de homotopía K(A) se basa en la siguiente definición: si tenemos complejos A , B y aplicaciones f , g de A a B , una homotopía de cadena de f a g es una colección de aplicaciones.${\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}}$( no es un mapa de complejos) tal que $${\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$$o simplemente${\displaystyle fg=d_{B}h+hd_{A}.}$ Esto se puede representar de la siguiente manera:

También decimos que f y g son homotópicos en cadena , o que${\displaystyle fg}$es homotópico nulo u homotópico a 0. Es claro a partir de la definición que los mapas de complejos que son homotópicos nulos forman un grupo bajo la adición.

La categoría de homotopía de complejos de cadena K(A) se define entonces de la siguiente manera: sus objetos son los mismos que los objetos de Kom(A) , a saber, complejos de cadena . Sus morfismos son "mapas de complejos módulo homotopía": es decir, definimos una relación de equivalencia. $${\displaystyle f\sim g\ }$$si f es homotópico a g y definimos $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }$$ ser el cociente por esta relación. Es evidente que esto resulta en una categoría aditiva si se observa que esto es lo mismo que tomar el cociente por el subgrupo de aplicaciones homotópicas nulas.

También se utilizan ampliamente las siguientes variantes de la definición: si se toman solo complejos acotados inferiormente ( A ⁿ =0 para n<<0 ), acotados superiormente ( A ⁿ =0 para n>>0 ) o acotados ( A ⁿ =0 para |n|>>0 ) en lugar de los no acotados, se habla de la categoría de homotopía acotada inferiormente , etc. Se denotan por K ⁺ (A) , K ⁻ (A) y K ^b (A) , respectivamente.

Un morfismo${\displaystyle f:A\rightarrow B}$que es un isomorfismo en K(A) se llama equivalencia de homotopía (de cadena) . En detalle, esto significa que hay otro mapa ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$, de tal manera que las dos composiciones sean homotópicas a las identidades:${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}$y ${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$.

El nombre "homotopía" proviene del hecho de que los mapas homotópicos de espacios topológicos inducen mapas homotópicos (en el sentido anterior) de cadenas singulares .

Dos aplicaciones homotópicas en cadena f y g inducen las mismas aplicaciones en homología porque (f − g) envía ciclos a fronteras que son cero en homología. En particular, una equivalencia homotópica es un cuasi-isomorfismo . (Lo contrario es falso en general). Esto demuestra que existe un functor canónico.${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$a la categoría derivada (si A es abeliana ).

El desplazamiento A[1] de un complejo A es el siguiente complejo

${\displaystyle A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...}$(tenga en cuenta que${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$),

donde el diferencial es${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$.

Para el cono de un morfismo f tomamos el cono de mapeo . Hay mapeos naturales

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

Este diagrama se llama triángulo . La categoría de homotopía K(A) es una categoría triangulada , si se definen triángulos distinguidos como isomorfos (en K(A) , es decir ^, homotópicamente equivalentes) a los triángulos anteriores, para A , B y f arbitrarios . Lo mismo es cierto para las variantes acotadas K ⁺ (A) , K− (A) y Kb (A) ^. Aunque los triángulos también tienen sentido en Kom(A) , esa categoría no está triangulada con respecto a estos triángulos distinguidos; por ejemplo,

${\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to }$

no se distingue ya que el cono del mapa identidad no es isomorfo al complejo 0 (sin embargo, el mapa cero${\displaystyle C(id)\to 0}$es una equivalencia homotópica, por lo que este triángulo se distingue en K(A) ). Además, la rotación de un triángulo distinguido obviamente no se distingue en Kom(A) , pero (menos obviamente) sí se distingue en K(A) . Consulte las referencias para obtener más detalles.

De manera más general, la categoría de homotopía Ho(C) de una categoría graduada diferencial C se define para tener los mismos objetos que C , pero los morfismos se definen por ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$(Esto se reduce a la homotopía de los complejos de cadena si C es la categoría de complejos cuyos morfismos no tienen que respetar los diferenciales). Si C tiene conos y traslaciones en un sentido adecuado, entonces Ho(C) también es una categoría triangulada.

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259