Homología singular

En topología algebraica , la homología singular se refiere al estudio de un cierto conjunto de invariantes algebraicos de un espacio topológico.${\displaystyle X}$, los llamados grupos de homología${\displaystyle H_{n}(X).}$ Intuitivamente, la homología singular cuenta, para cada dimensión${\displaystyle n}$, el${\displaystyle n}$agujeros -dimensionales de un espacio. La homología singular es un ejemplo particular de una teoría de homología , que ahora se ha convertido en una colección bastante amplia de teorías. De las diversas teorías, es quizás una de las más sencillas de entender, ya que se basa en construcciones bastante concretas (véase también la teoría relacionada de la homología simplicial ).

En resumen, la homología singular se construye tomando mapas del n- símplex estándar a un espacio topológico y componiéndolos en sumas formales , llamadas cadenas singulares . La operación de frontera – mapear cada${\displaystyle n}$-simplex dimensional a su${\displaystyle (n-1)}$La frontera de dimensión induce el complejo de cadena singular . La homología singular es entonces la homología del complejo de cadena. Los grupos de homología resultantes son los mismos para todos los espacios homotópicamente equivalentes , razón por la cual se estudian. Estas construcciones pueden aplicarse a todos los espacios topológicos, por lo que la homología singular puede expresarse como un functor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos graduados .

Un n -símplex singular en un espacio topológico${\displaystyle X}$es una función continua (también llamada aplicación)${\displaystyle \sigma }$del estándar${\displaystyle n}$- simplex${\displaystyle \Delta ^{n}}$a${\displaystyle X}$, escrito${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{n}\to X.} Este mapa no tiene por qué ser inyectivo , y puede haber símplices singulares no equivalentes con la misma imagen en${\displaystyle X}$.

El límite de${\displaystyle \sigma ,}$denotado como${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$se define como la suma formal de los singulares${\displaystyle (n-1)}$-símplices representados por la restricción de${\displaystyle \sigma }$a los rostros del estándar${\displaystyle n}$-símplex, con un signo alterno para tener en cuenta la orientación. (Una suma formal es un elemento del grupo abeliano libre sobre los símplices. La base del grupo es el conjunto infinito de todos los símplices singulares posibles. La operación de grupo es "adición" y la suma de símplices${\displaystyle a}$con simplex${\displaystyle b}$Por lo general, se designa simplemente${\displaystyle a+b}$, pero${\displaystyle a+a=2a}$y así sucesivamente. Cada simplex${\displaystyle a}$tiene un efecto negativo${\displaystyle -a}$.) Por lo tanto, si designamos${\displaystyle \sigma }$por sus vértices

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

correspondientes a los vértices${\displaystyle e_{k}}$del estándar${\displaystyle n}$-simplex${\displaystyle \Delta ^{n}}$(que por supuesto no especifica completamente el simplex singular producido por${\displaystyle \sigma }$), entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n}\sigma &=\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{[e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}]}\end{aligned}}}$

es una suma formal de las caras de la imagen simplex designada de una manera específica. ^{[ 1 ]} (Es decir, una cara particular tiene que ser la restricción de${\displaystyle \sigma }$a un rostro de${\displaystyle \Delta ^{n}}$que depende del orden en que se enumeran sus vértices.) Así, por ejemplo, el límite de${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$(una curva que va desde${\displaystyle p_{0}}$a${\displaystyle p_{1}}$) es la suma formal (o "diferencia formal")${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$.

La construcción habitual de la homología singular procede definiendo sumas formales de símplices, que pueden entenderse como elementos de un grupo abeliano libre , y luego mostrando que podemos definir un cierto grupo, el grupo de homología del espacio topológico, que involucra al operador de frontera.

Consideremos primero el conjunto de todos los posibles singulares${\displaystyle n}$-símplices${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$Este conjunto puede utilizarse como base de un grupo abeliano libre , de modo que cada singular${\displaystyle n}$-símplex es un generador del grupo. Este conjunto de generadores es, por supuesto, generalmente infinito, frecuentemente no numerable , ya que hay muchas maneras de mapear un símplex en un espacio topológico típico. El grupo abeliano libre generado por esta base se denota comúnmente como${\displaystyle C_{n}(X)}$Elementos de${\displaystyle C_{n}(X)}$Se denominan n -cadenas singulares ; son sumas formales de símplices singulares con coeficientes enteros .

El límite${\displaystyle \partial }$se extiende fácilmente para actuar sobre singulares${\displaystyle n}$-cadenas. La extensión, llamada operador de frontera , escrita como

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

es un homomorfismo de grupos. El operador de frontera, junto con el${\displaystyle C_{n}}$, forman un complejo en cadena de grupos abelianos, llamado complejo singular . A menudo se denota como${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$o más simplemente${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$.

El núcleo del operador de frontera es${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$y se denomina grupo de n- ciclos singulares . La imagen del operador de frontera es${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$y se denomina grupo de n- fronteras singulares .

También se puede demostrar que${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$, lo que implica${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$. El${\displaystyle n}$-ésimo grupo de homología de${\displaystyle X}$entonces se define como el grupo de factores

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

Los elementos de${\displaystyle H_{n}(X)}$se denominan clases de homología . ^{[ 2 ]}

Si X e Y son dos espacios topológicos con el mismo tipo de homotopía (es decir, son homotópicamente equivalentes ), entonces

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

para todo n ≥ 0. Esto significa que los grupos de homología son invariantes homotópicos y, por lo tanto, invariantes topológicos .

En particular, si X es un espacio conexo y contraíble , entonces todos sus grupos de homología son 0, excepto${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$. En términos más generales,${\displaystyle H_{0}(X)}$cuenta los componentes de la ruta.

Una demostración de la invariancia homotópica de los grupos de homología singulares se puede esbozar de la siguiente manera. Una aplicación continua f : X → Y induce un homomorfismo

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

Se puede verificar inmediatamente que

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

es decir, f _# es un mapa en cadena , que desciende a homomorfismos en homología.

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

Ahora demostramos que si f y g son homotópicamente equivalentes, entonces f _* = g _* . De esto se deduce que si f es una equivalencia homotópica, entonces f _* es un isomorfismo.

Sea F  : X × [0, 1] → Y una homotopía que transforma f en g . En el nivel de cadenas, definamos un homomorfismo.

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

que, geométricamente hablando, toma un elemento base σ : Δ ⁿ → X de C _n ( X ) al "prisma" P ( σ ): Δ ⁿ × I → Y . El límite de P ( σ ) se puede expresar como

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

Entonces, si α en C _n ( X ) es un n -ciclo, entonces f _# ( α ) y g _# ( α ) difieren en un límite:

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

Es decir, son homólogos. Esto prueba la afirmación. ^{[ 3 ]}

La relación${\displaystyle \partial P+P\partial =f_{\sharp }-g_{\sharp }}$Lo observado anteriormente puede expresarse diciendo que P es una homotopía de cadena entre f _# y g _# , o que f _# y g _# son homotópicos de cadena. A partir del esquema de demostración anterior, podemos concluir que los mapas homotópicos de cadena inducen el mismo homomorfismo en homología. ^{[ 4 ]}

La tabla que aparece a continuación muestra los grupos de homología k-ésimos.${\displaystyle H_{k}(X)}$de espacios proyectivos reales n-dimensionales RP ⁿ , espacios proyectivos complejos, CP ⁿ , un punto, esferas S ⁿ (${\displaystyle n\geq 1}$), y un toro tridimensional T ³ con coeficientes enteros.

Como ejemplo de cómo calcular la homología de un espacio, calculamos la homología de un punto.${\displaystyle \star }$Para todos.${\displaystyle n}$, ya que todos los mapas de un${\displaystyle n}$-los simples hasta cierto punto son triviales,${\displaystyle C_{n}(\star )=\mathbf {Z} }$Calculamos .${\displaystyle \partial _{n}}$: para un${\displaystyle n}$-cadena${\displaystyle \sigma =[v_{0},\ldots ,v_{n}]}$,

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum \limits _{i=0}^{n}(-1)^{i}[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}],}$

donde el sombrero denota la omisión del vértice. Entonces${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )}$se simplifica a 0 si${\displaystyle n}$es extraño y${\displaystyle \sigma _{n-1}}$si${\displaystyle n}$es incluso donde${\displaystyle \sigma _{n-1}}$es un${\displaystyle (n-1)}$-cadena. Es decir,

${\displaystyle \partial _{n}={\begin{cases}0&\mathrm {if} \ n=0,n=2k-1,k\in \{1,2,3,\ldots \};\\\mathrm {id} &\mathrm {otherwise} .\end{cases}}}$

El núcleo y la imagen de la identidad son 0 y el objetivo, respectivamente, y el núcleo y la imagen del mapa 0 son la fuente y la imagen, respectivamente. Por lo tanto, tenemos el resultado en la tabla anterior, con las siguientes justificaciones. Cuando${\displaystyle n}$es extraño, el núcleo de la${\displaystyle n}$-mapa de límites y la imagen del${\displaystyle (n+1)}$-el mapa de límites son iguales. Cuando${\displaystyle n}$es uniforme y positivo, el núcleo de la${\displaystyle n}$-el mapa de límites es 0. Para${\displaystyle n=0}$, el núcleo de la${\displaystyle 0}$-el mapa de límites es${\displaystyle \mathbf {Z} }$y la imagen de la${\displaystyle 1}$-el límite es 0.

La construcción anterior puede definirse para cualquier espacio topológico y se conserva mediante la acción de aplicaciones continuas. Esta generalidad implica que la teoría de homología singular puede reformularse en el lenguaje de la teoría de categorías . En particular, el grupo de homología puede entenderse como un functor de la categoría de espacios topológicos Top a la categoría de grupos abelianos Ab .

Consideremos primero que${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$es un mapa de espacios topológicos a grupos abelianos libres. Esto sugiere que${\displaystyle C_{n}(X)}$podría tomarse como un functor, siempre que se pueda entender su acción sobre los morfismos de Top . Ahora bien, los morfismos de Top son funciones continuas, por lo que si${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa continuo de espacios topológicos, puede extenderse a un homomorfismo de grupos

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

definiendo

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

dónde${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$es un simplex singular, y${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$es una n -cadena singular, es decir, un elemento de${\displaystyle C_{n}(X)}$Esto demuestra que${\displaystyle C_{n}}$es un functor

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos .

El operador de frontera conmuta con las aplicaciones continuas, de modo que${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$Esto permite tratar todo el complejo de cadenas como un functor. En particular, esto muestra que el mapa${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$es un functor

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos. Por el axioma de homotopía, se tiene que${\displaystyle H_{n}}$También es un functor, llamado functor de homología, que actúa sobre hTop , la categoría de homotopía cociente :

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

Esto distingue la homología singular de otras teorías de homología, en las que${\displaystyle H_{n}}$sigue siendo un functor, pero no necesariamente está definido en todo Top . En cierto sentido, la homología singular es la teoría de homología "más grande", ya que toda teoría de homología en una subcategoría de Top coincide con la homología singular en esa subcategoría. Por otro lado, la homología singular no tiene las propiedades categóricas más limpias; esta limpieza motiva el desarrollo de otras teorías de homología, como la homología celular .

De forma más general, el functor de homología se define axiomáticamente como un functor en una categoría abeliana o, alternativamente, como un functor en complejos de cadenas , que satisface axiomas que requieren un morfismo de frontera que transforma secuencias exactas cortas en secuencias exactas largas . En el caso de homología singular, el functor de homología puede factorizarse en dos partes: una topológica y otra algebraica. La parte topológica viene dada por

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

que mapea espacios topológicos como${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$y funciones continuas como${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$. Aquí, pues,${\displaystyle C_{\bullet }}$Se entiende que es el functor de cadena singular, que mapea espacios topológicos a la categoría de complejos de cadena Comp (o Kom ). La categoría de complejos de cadena tiene complejos de cadena como sus objetos , y mapas de cadena como sus morfismos .

La segunda parte, la algebraica, es el functor de homología.

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

qué mapas

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

y transforma los mapas de cadenas en mapas de grupos abelianos. Es este functor de homología el que puede definirse axiomáticamente, de modo que se sostiene por sí mismo como un functor en la categoría de complejos de cadenas.

Los mapas de homotopía vuelven a entrar en escena al definir mapas de cadena homotópicamente equivalentes. Así, se puede definir la categoría cociente hComp o K , la categoría de homotopía de complejos de cadena .

Dado cualquier anillo unitario R , el conjunto de n -símplices singulares en un espacio topológico puede tomarse como los generadores de un R -módulo libre . Es decir, en lugar de realizar las construcciones anteriores partiendo de grupos abelianos libres, se utilizan R -módulos libres en su lugar. Todas las construcciones se llevan a cabo con pocos o ningún cambio. El resultado de esto es

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

que ahora es un R -módulo . Por supuesto, normalmente no es un módulo libre. El grupo de homología habitual se recupera al observar que

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

cuando se considera que el anillo es el anillo de los enteros. La notación H _n ( X ; R ) no debe confundirse con la notación casi idéntica H _n ( X , A ), que denota la homología relativa (abajo).

El teorema del coeficiente universal proporciona un mecanismo para calcular la homología con coeficientes R en términos de la homología con coeficientes enteros usuales utilizando la secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

donde Tor es el functor Tor . ^{[ 10 ]} Esta secuencia se divide, aunque no de forma natural, proporcionando una descripción de${\displaystyle H_{n}(X;R)}$en términos de su homología entera. Cabe destacar que, si R es libre de torsión, entonces${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0}$para cualquier G , por lo que la secuencia exacta corta anterior se reduce a un isomorfismo entre${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$y${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

Para un subespacio${\displaystyle A\subset X}$, la homología relativa H _n ( X , A ) se entiende como la homología del cociente de los complejos de cadena, es decir,

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

donde el cociente de complejos de cadena viene dado por la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^{[ 11 ]}

La homología reducida de un espacio X , anotada como${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$Se trata de una modificación menor de la homología habitual que simplifica las expresiones de algunas relaciones y satisface la intuición de que todos los grupos de homología de un punto deben ser cero.

Para la homología usual definida en un complejo de cadenas:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

Para definir la homología reducida, aumentamos el complejo de cadena con un elemento adicional.${\displaystyle \mathbb {Z} }$entre${\displaystyle C_{0}}$y cero:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

dónde${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$Esto se puede justificar interpretando el conjunto vacío como el "(−1)-símplex", lo que significa que${\displaystyle C_{-1}\cong \mathbb {Z} .}$

Los grupos de homología reducidos ahora se definen por${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$para n positivo y${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$. ^{[ 12 ]}

Para n > 0,${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$, mientras que para n = 0,${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

Al dualizar el complejo de cadena de homología (es decir, aplicando el functor Hom(-, R ), donde R es cualquier anillo) obtenemos un complejo de cocadena con mapa de cofrontera.${\displaystyle \delta }$. Los grupos de cohomología de X se definen como los grupos de homología de este complejo; en un juego de palabras, "la cohomología es la homología del co [el complejo dual]".

Los grupos de cohomología tienen una estructura algebraica más rica, o al menos más familiar, que los grupos de homología. En primer lugar, forman un álgebra diferencial graduada como sigue:

• El conjunto graduado de grupos forma un módulo R graduado ;
• Esto se puede estructurar mediante un álgebra R graduada utilizando el producto de copa ;
• El homomorfismo de Bockstein β da un diferencial.

Hay operaciones de cohomología adicionales , y el álgebra de cohomología tiene una estructura de adición módulo p (como antes, la cohomología módulo p es la cohomología del complejo de cocadenas módulo p , no la reducción módulo p de la cohomología), en particular la estructura del álgebra de Steenrod .

Dado que el número de teorías de homología se ha vuelto grande (ver Categoría:Teoría de homología ), los términos homología de Betti y cohomología de Betti se aplican a veces (particularmente por autores que escriben sobre geometría algebraica ) a la teoría singular, como la que da lugar a los números de Betti de los espacios más familiares, como los complejos simpliciales y las variedades cerradas .

Si se define una teoría de homología axiomáticamente (mediante los axiomas de Eilenberg-Steenrod ) y luego se relaja uno de los axiomas (el axioma de dimensión ), se obtiene una teoría generalizada, denominada teoría de homología extraordinaria . Estas teorías surgieron originalmente como teorías de cohomología extraordinaria , concretamente la teoría K y la teoría del cobordismo . En este contexto, la homología singular se denomina homología ordinaria.

• Categoría derivada
• Teorema de escisión
• Teorema de Hurewicz
• homología simplicial
• Homología celular

• Allen Hatcher, Topología algebraica. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-Xy ISBN 0-521-79540-0
• JP May, Un curso conciso de topología algebraica , Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
• Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1