Hispanopedia WikiEn álgebra , el álgebra de Hopf de permutaciones de Malvenuto-Poirier-Reutenauer o álgebra de Hopf MPR es un álgebra de Hopf con una base de todos los elementos de todos los grupos simétricos finitos S n , y es un análogo no conmutativo del álgebra de Hopf de funciones simétricas . Es libre como álgebra y colibre graduada como coálgebra graduada , por lo que en cierto sentido está lo más lejos posible de ser conmutativa o cocommutativa. Fue introducida por Malvenuto y Reutenauer (1995) y estudiada por Poirier y Reutenauer (1995) .
Definición
El grupo abeliano libre subyacente del álgebra MPR tiene una base que consiste en la unión disjunta de los grupos simétricos S n para n = 0, 1, 2, .... , que pueden pensarse como permutaciones.
La identidad 1 es la permutación vacía, y la counidad toma la permutación vacía a 1 y las demás a 0.
El producto de dos permutaciones ( a 1 ,..., a m ) y ( b 1 ,..., b n ) en MPR viene dado por el producto de mezcla ( a 1 ,..., a m ) ш ( m + b 1 ,..., m + b n ).
El coproducto de una permutación a en m puntos viene dado por Σ a = b * c st( b ) ⊗ st( c ), donde la suma es sobre las m + 1 formas de escribir a (considerada como una secuencia de m enteros) como una concatenación de dos secuencias b y c , y st( b ) es la estandarización de b , donde los elementos de la secuencia b se reducen a un conjunto de la forma {1, 2, ..., n } mientras se conserva su orden.
El antípoda tiene un orden infinito.
Relación con otras álgebras
El álgebra de Hopf de permutaciones relaciona los anillos de funciones simétricas , cuasisimétricas y simétricas no conmutativas (denominadas Sym, QSym y NSym, respectivamente), como se muestra en el siguiente diagrama conmutativo. La dualidad entre QSym y NSym se representa en la diagonal principal de este diagrama.
Referencias
- Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 168, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5262-0, MR 2724822 , Zbl 1211.16023
- Malvenuto, Claudia ; Reutenauer, Christophe (1995), "Dualidad entre funciones cuasi-simétricas y el álgebra de descenso de Salomón", J. Algebra , 177 (3): 967–982 , doi : 10.1006/jabr.1995.1336 , MR 1358493
- Poirier, Stéphane; Reutenauer, Christophe (1995), "Algèbres de Hopf de tableaux", Ann. Ciencia. Matemáticas. Québec , 19 (1): 79– 90, SEÑOR 1334836
- álgebras de Hopf
