Función simétrica no conmutativa

En matemáticas, las funciones simétricas no conmutativas forman un álgebra de Hopf NSymm análoga al álgebra de Hopf de funciones simétricas . El álgebra de Hopf NSymm fue introducida por Israel M. Gelfand , Daniel Krob, Alain Lascoux , Bernard Leclerc, Vladimir Retakh y Jean-Yves Thibon. ^{[ 1 ]} Es un álgebra de Hopf graduada no conmutativa pero coconmutativa. Tiene como cociente el álgebra de Hopf de funciones simétricas , es una subálgebra del álgebra de Hopf de permutaciones y es la dual graduada del álgebra de Hopf de funciones cuasisimétricas . Sobre los números racionales es isomorfa como álgebra de Hopf al álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre sobre una cantidad numerable de variables.

El álgebra subyacente del álgebra de Hopf de funciones simétricas no conmutativas es el anillo libre Z ⟨ Z ₁ , Z ₂ ,... ⟩ generado por variables no conmutativas Z ₁ , Z ₂ , ...   

El coproducto transforma Z _n en Σ Z _i ⊗ Z _{n – i} , donde Z ₀ = 1 es la identidad.     

La counidad toma Z _i a 0 para i  >  0 y toma Z ₀  =  1 a  1.

Michiel Hazewinkel demostró ^{[ 2 ]} que una derivación de Hasse-Schmidt

${\displaystyle D:A\to A[[t]]}$

en un anillo A es equivalente a una acción de NSymm sobre A : la parte${\displaystyle D_{i}:A\to A}$de D que elige el coeficiente de${\displaystyle t^{i}}$, es la acción de la indeterminada Z _i .