Construcción Hopf

En topología algebraica , la construcción de Hopf construye un mapa a partir de la unión.${\displaystyle X*Y}$de dos espacios${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$a la suspensión${\displaystyle SZ}$de un espacio${\displaystyle Z}$de un mapa de${\displaystyle X\times Y}$a${\displaystyle Z}$Fue introducido por Hopf ( 1935 ) en el caso cuando ${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son esferas. Whitehead (1942) lo utilizó para definir el J-homomorfismo .

La construcción de Hopf se puede obtener como la composición de un mapa.

${\displaystyle X*Y\rightarrow S(X\times Y)}$

y la suspensión

${\displaystyle S(X\times Y)\rightarrow SZ}$

del mapa de${\displaystyle X\times Y}$a${\displaystyle Z}$.

El mapa de${\displaystyle X*Y}$a${\displaystyle S(X\times Y)}$se puede obtener considerando ambos lados como un cociente de${\displaystyle X\times Y\times I}$dónde${\displaystyle I}$es el intervalo unitario. Para${\displaystyle X*Y}$uno identifica${\displaystyle (x,y,0)}$con${\displaystyle (z,y,0)}$y${\displaystyle (x,y,1)}$con${\displaystyle (x,z,1)}$, mientras que para${\displaystyle S(X\times Y)}$uno contrae todos los puntos de la forma${\displaystyle (x,y,0)}$hasta cierto punto y también contrae todos los puntos de la forma${\displaystyle (x,y,1)}$hasta cierto punto. Entonces el mapa de${\displaystyle X\times Y\times I}$a${\displaystyle S(X\times Y)}$factores a través de${\displaystyle X*Y}$.

• Hopf, H. (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension" , Fondo. Matemáticas. , 25 : 427-440​
• Whitehead, George W. (1942), "Sobre los grupos de homotopía de esferas y grupos de rotación", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 43 (4): 634– 640, doi : 10.2307/1968956 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968956 , MR 0007107