Teorema de Poincaré-Hopf

En matemáticas , el teorema de Poincaré-Hopf (también conocido como fórmula del índice de Poincaré-Hopf , teorema del índice de Poincaré-Hopf o teorema del índice de Hopf ) es un teorema importante que se utiliza en topología diferencial . Recibe su nombre de Henri Poincaré y Heinz Hopf .

El teorema de Poincaré-Hopf se ilustra a menudo con el caso especial del teorema de la bola peluda , que simplemente establece que no existe ningún campo vectorial suave en una n-esfera de dimensión par que no tenga fuentes ni sumideros.

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​una variedad diferenciable, de dimensión${\displaystyle n}$, y${\displaystyle v}$un campo vectorial en${\displaystyle M}$. Supongamos que${\displaystyle x}$es un cero aislado de${\displaystyle v}$y fijar algunas coordenadas locales cerca${\displaystyle x}$. Elige una bola cerrada${\displaystyle D}$centrado en${\displaystyle x}$, de modo que${\displaystyle x}$es el único cero de${\displaystyle v}$en${\displaystyle D}$. Entonces el índice de${\displaystyle v}$en${\displaystyle x}$,${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$, puede definirse como el grado del mapa${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$desde el límite de${\displaystyle D}$hacia${\displaystyle (n-1)}$-esfera dada por ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$.

Teorema. Sea${\displaystyle M}$Sea una variedad diferenciable compacta .${\displaystyle v}$sea ​​un campo vectorial en${\displaystyle M}$con ceros aislados. Si${\displaystyle M}$tiene límite , entonces insistimos en que${\displaystyle v}$apuntando en la dirección normal hacia afuera a lo largo del límite. Entonces tenemos la fórmula

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

donde la suma de los índices se extiende sobre todos los ceros aislados de${\displaystyle v}$y${\displaystyle \chi (M)}$es la característica de Euler de${\displaystyle M}$Un corolario particularmente útil se da cuando existe un campo vectorial no nulo que implica una característica de Euler de 0.

El teorema fue demostrado para dos dimensiones por Henri Poincaré ^{[ 1 ]} y posteriormente generalizado a dimensiones superiores por Heinz Hopf . ^{[ 2 ]}

La característica de Euler de una superficie cerrada es un concepto puramente topológico , mientras que el índice de un campo vectorial es puramente analítico . Por lo tanto, este teorema establece un vínculo profundo entre dos áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Resulta quizás igualmente interesante que la demostración de este teorema dependa en gran medida de la integración y, en particular, del teorema de Stokes , que establece que la integral de la derivada exterior de una forma diferencial es igual a la integral de dicha forma sobre la frontera. En el caso particular de una variedad sin frontera, esto equivale a decir que la integral es cero. Pero al examinar los campos vectoriales en un entorno suficientemente pequeño de una fuente o un sumidero, vemos que las fuentes y los sumideros contribuyen con cantidades enteras (conocidas como índice) al total, y que todas deben sumar cero. Este resultado puede considerarse uno de los primeros de toda una serie de teoremas (por ejemplo, el teorema del índice de Atiyah-Singer , el teorema de De Rham , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch ) que establecen relaciones profundas entre conceptos geométricos y analíticos o físicos . Estos teoremas desempeñan un papel importante en el estudio moderno de ambos campos.

1. Incruste M en algún espacio euclidiano de alta dimensión. (Utilice el teorema de incrustación de Whitney ).
2. Consideremos un entorno pequeño de M en el espacio euclidiano N _ε . Extendamos el campo vectorial a este entorno de manera que conserve los mismos ceros y estos tengan los mismos índices. Además, asegurémonos de que el campo vectorial extendido en el límite de N _ε esté dirigido hacia afuera.
3. La suma de los índices de los ceros del campo vectorial antiguo (y nuevo) es igual al grado del mapeo de Gauss desde el límite de N _ε a la esfera ( n –1)-dimensional . Por lo tanto , la suma de los índices es independiente del campo vectorial real y depende solo de la variedad M.
   Técnica: eliminar todos los ceros del campo vectorial con vecindarios pequeños. Luego, usar el hecho de que el grado de una aplicación desde el borde de una variedad n-dimensional a una esfera ( n -1)-dimensional , que se puede extender a toda la variedad n-dimensional, es cero.
4. Finalmente, identifique esta suma de índices como la característica de Euler de M. Para ello, construya un campo vectorial muy específico sobre M utilizando una triangulación de M para la cual sea evidente que la suma de índices es igual a la característica de Euler.

Todavía es posible definir el índice para un campo vectorial con ceros no aislados. La construcción de este índice y la extensión del teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales con ceros no aislados se describen en la Sección 1.1.2 de ( Brasselet, Seade y Suwa 2009 ) .

Otra generalización que utiliza únicamente espacios triangulables compactos y aplicaciones continuas con un número finito de puntos fijos es el teorema de Lefschetz-Hopf . Dado que todo campo vectorial induce un flujo en las variedades y los puntos fijos de flujos pequeños corresponden a los ceros de los campos vectoriales (y los índices de los ceros son iguales a los índices de los puntos fijos), el teorema de Poincaré-Hopf se deduce inmediatamente de esto.

• Fórmula exclusiva de Eisenbud–Levine–Khimshiashvili
• Teorema de Hopf

• "Teorema de Poincaré-Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). Campos vectoriales sobre variedades singulares . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.