invariante de Hopf

En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertas aplicaciones entre n -esferas .

En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf.

${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}$

y demostró que${\displaystyle \eta }$es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos

${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}$

es igual a 1, para cualquier${\displaystyle x\neq y\in S^{2}}$.

Posteriormente se demostró que el grupo de homotopía${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$es el grupo cíclico infinito generado por${\displaystyle \eta }$. En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racional ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

para una esfera de dimensión impar (${\displaystyle n}$impares) son cero a menos que${\displaystyle i}$ es igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión par ( n par), hay un bit más de homotopía cíclica infinita en grado${\displaystyle 2n-1}$.

Dejar${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ser un mapa continuo (supongamos)${\displaystyle n>1}$). Entonces podemos formar el complejo celular

${\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}$

dónde${\displaystyle D^{2n}}$es un${\displaystyle 2n}$-disco dimensional unido a${\displaystyle S^{n}}$a través de${\displaystyle \varphi }$Los grupos de cadenas celulares${\displaystyle C_{\mathrm {celda} }^{*}(C_{\varphi })}$son simplemente generados libremente en el${\displaystyle i}$-células en grado${\displaystyle i}$, así que lo son${\displaystyle \mathbb {Z} }$en grado 0,${\displaystyle n}$y${\displaystyle 2n}$y cero en todas partes. La (co)homología celular es la (co)homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de frontera deben ser cero (recordemos que${\displaystyle n>1}$), la cohomología es

${\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

Denotemos los generadores de los grupos de cohomología por

${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$y${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$

Por razones dimensionales, todos los productos de copa entre esas clases deben ser triviales, excepto${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$. Por lo tanto, como anillo , la cohomología es

${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}$

El entero${\displaystyle h(\varphi )}$es el invariante de Hopf del mapa${\displaystyle \varphi }$.

Teorema : El mapa${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$es un homomorfismo. Si${\displaystyle n}$es extraño,${\displaystyle h}$es trivial (ya que${\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})}$es torsión). Si${\displaystyle n}$es incluso, la imagen de${\displaystyle h}$contiene${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Además, la imagen del producto de Whitehead de mapas identidad es igual a 2, es decir${\displaystyle h([i_{n},i_{n}])=2}$, dónde${\displaystyle i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}}$es el mapa de identidad y${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]}$es el producto Whitehead .

El invariante de Hopf es${\displaystyle 1}$para los mapas de Hopf , donde${\displaystyle n=1,2,4,8}$, correspondientes a las álgebras de división reales${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$, respectivamente, y a la fibración${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$enviar una dirección en la esfera al subespacio que abarca. Es un teorema, demostrado primero por Frank Adams y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de la teoría K topológica , que estos son los únicos mapas con invariante de Hopf 1.

JHC Whitehead ha propuesto la siguiente fórmula integral para el invariante de Hopf. ^{[ 2 ] [ 3 ] : prop. 17.22} Dado un mapa${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$Se considera una forma de volumen .${\displaystyle \omega _{n}}$en${\displaystyle S^{n}}$de tal manera que${\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}$. Desde${\displaystyle d\omega _{n}=0}$, el retroceso${\displaystyle \varphi ^{*}\omega _ {n}}$es una forma diferencial cerrada :${\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _ {n})=\varphi ^{*}(d\omega _ {n})=\varphi ^{*}0=0}$. Por el lema de Poincaré es una forma diferencial exacta : existe una${\displaystyle (n-1)}$-forma${\displaystyle \eta }$en${\displaystyle S^{2n-1}}$de tal manera que${\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _ {n}}$El invariante de Hopf viene dado entonces por

${\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}$

Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere cierta base teórica sobre homotopía:

Dejar${\displaystyle V}$denotamos un espacio vectorial y${\displaystyle V^{\infty }}$su compactificación de un punto , es decir${\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}$y

${\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}$para algunos${\displaystyle k}$.

Si${\displaystyle (X,x_{0})}$es cualquier espacio con un punto (como se indica implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de${\displaystyle V^{\infty }}$, entonces podemos formar los productos de cuña

${\displaystyle V^{\infty }\wedge X.}$

Ahora dejemos

${\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}$

sea ​​un mapa estable, es decir, estable bajo el functor de suspensión reducido . El invariante de Hopf geométrico (estable) de${\displaystyle F}$es

${\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}$

un elemento de lo estable${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-grupo de homotopía equivariante de mapas de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y\wedge Y}$. Aquí "estable" significa "estable bajo suspensión", es decir, el límite directo sobre${\displaystyle V}$(o${\displaystyle k}$, si se quiere) de los grupos de homotopía equivariantes ordinarios; y el${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-la acción es la acción trivial sobre${\displaystyle X}$y la inversión de los dos factores en${\displaystyle Y\wedge Y}$Si dejamos

${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$

denotamos el mapa diagonal canónico y${\displaystyle I}$La identidad, entonces el invariante de Hopf se define de la siguiente manera:

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}$

Este mapa es inicialmente un mapa de

${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$a${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}$

pero bajo el límite directo se convierte en el elemento anunciado de la homotopía estable${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-grupo equivariante de mapas. También existe una versión inestable del invariante de Hopf.${\displaystyle h_{V}(F)}$, para lo cual hay que llevar un registro del espacio vectorial${\displaystyle V}$.

• Adams, J. Frank (1960), "Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf uno", Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104 , CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307/1970147 , JSTOR 1970147 , MR 0141119   
• Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), "Teoría K y el invariante de Hopf", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38 , doi : 10.1093/qmath/17.1.31 , MR 0198460 
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "El invariante geométrico de Hopf" (PDF) .
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637– 665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN 0025-5831 
• Shokurov, AV (2001) [1994], "Invariante de Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press