Colector de Hopf

En geometría compleja , una variedad de Hopf ( Hopf 1948 ) se obtiene como un cociente del espacio vectorial complejo (con el cero eliminado).${\displaystyle ({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)}$ por una acción libre del grupo${\displaystyle \Gamma \cong {\mathbb {Z} }}$de enteros , con el generador${\displaystyle \gamma }$ de${\displaystyle \Gamma }$actuando mediante contracciones holomorfas . Aquí, una contracción holomorfa es un mapa.${\displaystyle \gamma$ :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}} tal que una iteración suficientemente grande${\displaystyle \;\gamma ^{N}}$ mapea cualquier subconjunto compacto dado de${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$en un entorno arbitrariamente pequeño de 0.

Las variedades de Hopf bidimensionales se denominan superficies de Hopf .

En una situación típica,${\displaystyle \Gamma }$se genera mediante una contracción lineal, generalmente una matriz diagonal${\displaystyle q\cdot Id}$, con${\displaystyle q\in {\mathbb {C} }}$ un número complejo ,${\displaystyle 0<|q|<1}$Dicha variedad se denomina variedad de Hopf clásica .

Un colector de Hopf${\displaystyle H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }}$ es difeomorfo a${\displaystyle S^{2n-1}\times S^{1}}$. Para${\displaystyle n\geq 2}$, no es de Kähler . De hecho, ni siquiera es simpléctico porque el segundo grupo de cohomología es cero.

Las variedades de Hopf de dimensión par admiten una estructura hipercompleja . La superficie de Hopf es la única variedad hipercompleja compacta de dimensión cuaterniónica 1 que no es hiperkähler .

• Hopf, Heinz (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Estudios y ensayos presentados a R. Courant en su 60 cumpleaños, 8 de enero de 1948 , Interscience Publishers, Inc., Nueva York, págs. 167-185 , MR 0023054  
• Ornea, Liviu (2001) [1994], "Variedad de Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press