Variedad hipercompleja

En geometría diferencial , una variedad hipercompleja es una variedad con el fibrado tangente dotado de una acción por el álgebra de cuaterniones de tal manera que los cuaterniones definen estructuras casi complejas integrables . ${\estilo de visualización I,J,K}$

Si, en cambio, no se supone que las estructuras casi complejas sean integrables, la variedad se denomina cuaterniónica o casi hipercompleja. ^[1]

Toda variedad hiperkähler es también hipercompleja. La inversa no es cierta. La superficie de Hopf

${\displaystyle {\bigg (}{\mathbb {H} }\barra invertida 0{\bigg )}/{\mathbb {Z} }}$

(con actuando como una multiplicación por un cuaternión , ) es hipercompleja, pero no Kähler , por lo tanto tampoco hiperkähler . Para ver que la superficie de Hopf no es Kähler, note que es difeomorfa a un producto , por lo tanto, su grupo de cohomología impar es de dimensión impar. Por descomposición de Hodge , la cohomología impar de una variedad compacta de Kähler siempre es de dimensión par. De hecho, Hidekiyo Wakakuwa demostró ^[2] que en una variedad compacta de hiperkähler . Misha Verbitsky ha demostrado que cualquier variedad compacta hipercompleja que admita una estructura de Kähler también es hiperkähler. ^[3]${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle |q|>1}$${\displaystyle S^{1}\times S^{3},}$ ${\displaystyle \ b_{2p+1}\equiv 0\ mod\ 4}$

En 1988, los físicos Philippe Spindel, Alexander Sevrin, Walter Troost y Antoine Van Proeyen construyeron estructuras hipercomplejas invariantes por la izquierda en algunos grupos de Lie compactos. En 1992, Dominic Joyce redescubrió esta construcción y dio una clasificación completa de las estructuras hipercomplejas invariantes por la izquierda en grupos de Lie compactos. A continuación se incluye la lista completa.

${\displaystyle T^{4},SU(2l+1),T^{1}\times SU(2l),T^{l}\times SO(2l+1),}$

${\displaystyle T^{2l}\times SO(4l),T^{l}\times Sp(l),T^{2}\times E_{6},}$

${\displaystyle T^{7}\times E^{7},T^{8}\times E^{8},T^{4}\times F_{4},T^{2}\times G_{2}}$

donde denota un toro compacto -dimensional. $Estilo de visualización T^{i}}$${\estilo de visualización i}$

Es notable que cualquier grupo de Lie compacto se vuelva hipercomplejo después de ser multiplicado por un toro suficientemente grande.

Las variedades hipercomplejas como tales fueron estudiadas por Charles Boyer en 1988. También demostró que en dimensión real 4, las únicas variedades hipercomplejas compactas son el toro complejo , la superficie de Hopf y la superficie K3 . $Estilo de visualización T4$

Mucho antes (en 1955) Morio Obata estudió la conexión afín asociada a estructuras casi hipercomplejas (bajo la antigua terminología de Charles Ehresmann ^[4] de estructuras casi cuaterniónicas ). Su construcción conduce a lo que Edmond Bonan llamó la conexión de Obata ^{[5] [6]} que es libre de torsión , si y solo si, "dos" de las estructuras casi complejas son integrables y en este caso la variedad es hipercompleja. ${\estilo de visualización I,J,K}$

Existe una esfera bidimensional de cuaterniones que satisface . Cada uno de estos cuaterniones da una estructura compleja en una variedad hipercompleja M . Esto define una estructura casi compleja en la variedad , que está cubierta de fibras identificadas con . Esta estructura compleja es integrable, como se desprende del teorema de Obata (esto fue demostrado explícitamente por primera vez por Dmitry Kaledin ^[7] ). Esta variedad compleja se denomina espacio twistor de . Si M es , entonces su espacio twistor es isomorfo a . ${\displaystyle L\in {\mathbb {H}}}$${\displaystyle L^{2}=-1}$${\displaystyle M\times S^{2}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{1}=S^{2}}$${\displaystyle (M,L)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {H} }}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{3}\backslash {\mathbb {C} }P^{1}}$

• Variedad cuaterniónica
• Colector de hiperkähler