Principio del máximo de Hopf

El principio de máximo de Hopf es un principio de máximo en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden y ha sido descrito como el "resultado clásico y fundamental" de esa teoría. Eberhard Hopf , al generalizar el principio de máximo para funciones armónicas que ya conocía Gauss en 1839, demostró en 1927 que si una función satisface una desigualdad diferencial parcial de segundo orden de un cierto tipo en un dominio de R ⁿ y alcanza un máximo en el dominio, entonces la función es constante. La idea simple detrás de la prueba de Hopf, la técnica de comparación que introdujo para este propósito, ha dado lugar a una enorme variedad de aplicaciones y generalizaciones importantes.

Sea u = u ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ) una función C ² que satisface la desigualdad diferencial

${\displaystyle Lu=\suma _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\suma _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

en un dominio abierto (subconjunto abierto conexo de R ⁿ ) Ω, donde la matriz simétrica a _ij = a _ji ( x ) es definida positiva uniformemente de manera local en Ω y los coeficientes a _ij , b _i están acotados localmente . Si u toma un valor máximo M en Ω entonces u ≡ M .

Los coeficientes a _ij , b _i son simplemente funciones. Si se sabe que son continuas, entonces es suficiente exigir la definición positiva puntual de a _ij en el dominio.

Generalmente se piensa que el principio de máximo de Hopf se aplica solo a operadores diferenciales lineales L . En particular, este es el punto de vista adoptado por Courant y Hilbert en Methoden der mathematischen Physik . Sin embargo, en las secciones posteriores de su artículo original, Hopf consideró una situación más general que permite ciertos operadores no lineales L y, en algunos casos, conduce a declaraciones de unicidad en el problema de Dirichlet para el operador de curvatura media y la ecuación de Monge-Ampère .

Si el dominio tiene la propiedad de esfera interior (por ejemplo, si tiene un límite liso), se puede decir algo más. Si además de los supuestos anteriores, y u toma un valor máximo M en un punto x ₀ en , entonces para cualquier dirección hacia afuera ν en x ₀ , se cumple a menos que . ^[1]${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle u\en C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0}$${\displaystyle u\equiv M}$

• Hopf, Eberhard (2002), Morawetz, Cathleen S.; Serrin, James B.; Sinai, Yakov G. (eds.), Obras seleccionadas de Eberhard Hopf con comentarios , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2077-X, Sr.  1985954.
• Pucci, Patrizia; Serrin, James (2004), "El principio del máximo fuerte revisitado", Journal of Differential Equations , 196 (1): 1–66, Bibcode :2004JDE...196....1P, doi : 10.1016/j.jde.2003.05.001 , MR  2025185.