Construcción Hrushovski

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , la construcción de Hrushovski generaliza el límite de Fraïssé al trabajar con una noción de subestructura fuerte.${\displaystyle \leq }$en vez de${\displaystyle \subseteq }$. Puede pensarse como una especie de "forzamiento teórico de modelos", donde se crea una estructura (generalmente) estable, llamada modelo genérico o rico ^{[ 1 ]} . Las especificidades de${\displaystyle \leq }$determinar diversas propiedades del genérico, siendo sus propiedades geométricas de particular interés. Inicialmente, Ehud Hrushovski lo utilizó para generar una estructura estable con una geometría "exótica", refutando así la conjetura de Zil'ber.

Las aplicaciones iniciales de la construcción de Hrushovski refutaron dos conjeturas y respondieron negativamente a una tercera pregunta. Específicamente, tenemos:

• La conjetura de Lachlan. Cualquier estable${\displaystyle \aleph _{0}}$La teoría categórica es totalmente trascendental. ^{[ 2 ]}

• Conjetura de Zil'ber. Cualquier teoría categórica no numerable es localmente modular o interpreta un cuerpo algebraicamente cerrado . ^{[ 3 ]}

• Pregunta de Cherlin. ¿Existe un conjunto fuertemente minimal maximal (con respecto a expansiones)?

Sea L un lenguaje relacional finito. Fijemos C una clase de L -estructuras finitas que son cerradas bajo isomorfismos y subestructuras. Queremos fortalecer la noción de subestructura; sea${\displaystyle \leq }$Sea una relación entre pares de C que satisfaga:

• ${\displaystyle A\leq B}$implica${\displaystyle A\subseteq B.}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}$y${\displaystyle A\leq C}$implica${\displaystyle A\leq B}$
• ${\displaystyle \varnothing \leq A}$a pesar de${\displaystyle A\in \mathbf {C} .}$
• ${\displaystyle A\leq B}$implica${\displaystyle A\cap C\leq B\cap C}$a pesar de${\displaystyle C\in \mathbf {C} .}$
• Si${\displaystyle f\colon A\to A'}$es un isomorfismo y${\displaystyle A\leq B}$, entonces${\displaystyle f}$se extiende a un isomorfismo${\displaystyle B\to B'}$para algún superconjunto de${\displaystyle A'}$con${\displaystyle A'\leq B'.}$

Definición. Una incrustación${\displaystyle f:A\hookrightarrow D}$es fuerte si${\displaystyle f(A)\leq D.}$

Definición. El par${\displaystyle (\mathbf {C},\leq)}$tiene la propiedad de fusión si${\displaystyle A\leq B_{1},B_{2}}$entonces hay un${\displaystyle D\in \mathbf {C} }$para que cada${\displaystyle B_{i}}$se integra fuertemente en${\displaystyle D}$con la misma imagen para${\displaystyle A.}$

Definición. Para infinito${\displaystyle D}$y${\displaystyle A\in \mathbf {C} ,}$decimos${\displaystyle A\leq D}$si y solo si${\displaystyle A\leq X}$para${\displaystyle A\subseteq X\subseteq D,X\in \mathbf {C} .}$

Definición. Para cualquier${\displaystyle A\subseteq D,}$el cierre de${\displaystyle A}$en${\displaystyle D,}$denotado por${\displaystyle \operatorname {cl} _{D}(A),}$es el superconjunto más pequeño de${\displaystyle A}$satisfactorio${\displaystyle \operatorname {cl} (A)\leq D.}$

Definición. Una estructura contable${\displaystyle G}$es${\displaystyle (\mathbf {C},\leq)}$-genérico si:

• Para${\displaystyle A\subseteq _{\omega }G,A\in \mathbf {C} .}$

• Para${\displaystyle A\leq G,}$si${\displaystyle A\leq B}$entonces hay una fuerte incrustación de${\displaystyle B}$en${\displaystyle G}$encima${\displaystyle A.}$

• ${\displaystyle G}$tiene cierres finitos: para cada${\displaystyle A\subseteq _{\omega }G,\operatorname {cl} _{G}(A)}$es finito.

Teorema. Si${\displaystyle (\mathbf {C},\leq)}$tiene la propiedad de fusión , entonces hay una única${\displaystyle (\mathbf {C},\leq)}$-genérico.

La prueba de existencia procede imitando la prueba de existencia para los límites de Fraïssé. La prueba de unicidad se obtiene mediante un sencillo razonamiento lógico.