variedad cuaterniónica

Si consideramos el espacio vectorial cuaterniónico${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}}$como un derecho${\displaystyle \mathbb {H} }$-módulo , podemos identificar el álgebra de la derecha${\displaystyle \mathbb {H} }$-mapas lineales con el álgebra de${\displaystyle n\times n}$matrices cuaterniónicas que actúan sobre${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$desde la izquierda . La derecha invertible.${\displaystyle \mathbb {H} }$-Los mapas lineales forman entonces un subgrupo${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$de${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$Podemos mejorar este grupo con el grupo${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$de cuaterniones no nulos que actúan mediante multiplicación escalar en${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$desde la derecha . Dado que esta multiplicación escalar es${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal (pero no${\displaystyle \mathbb {H} }$-lineal) tenemos otra incrustación de${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$en${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$El grupo${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$entonces se define como el producto de estos subgrupos en${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$. Dado que la intersección de los subgrupos${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$y${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$en${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$es su centro común${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$(el grupo de matrices escalares con coeficientes reales distintos de cero), tenemos el isomorfismo

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.}$

Una estructura casi cuaterniónica sobre una variedad lisa${\displaystyle M}$es solo un${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$-estructura en${\displaystyle M}$De forma equivalente, puede definirse como un subpaquete .${\displaystyle H}$del haz de endomorfismos${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$de tal manera que cada fibra${\displaystyle H_{x}}$es isomorfo (como álgebra real ) al álgebra de cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} }$. El subpaquete${\displaystyle H}$se denomina haz de estructura casi cuaterniónica . Una variedad equipada con una estructura casi cuaterniónica se denomina variedad casi cuaterniónica .

El haz de estructura cuaterniónica${\displaystyle H}$naturalmente admite una métrica de fibrado que proviene de la estructura del álgebra cuaterniónica y, con esta métrica,${\displaystyle H}$se divide en una suma directa ortogonal de haces vectoriales ${\displaystyle H=L\oplus E}$ dónde${\displaystyle L}$es el haz de líneas trivial a través del operador identidad, y${\displaystyle E}$es un fibrado vectorial de rango 3 que corresponde a los cuaterniones puramente imaginarios. Ni los fibrados${\displaystyle H}$o${\displaystyle E}$son necesariamente triviales.

El haz de esferas unitarias${\displaystyle Z=S(E)}$ adentro${\displaystyle E}$corresponde a los cuaterniones imaginarios unitarios puros. Estos son endomorfismos de los espacios tangentes que al cuadrado dan −1. El fibrado${\displaystyle Z}$se denomina espacio twistor de la variedad${\displaystyle M}$y sus propiedades se describen con más detalle a continuación. Secciones locales de${\displaystyle Z}$son estructuras casi complejas (definidas localmente) . Existe un vecindario.${\displaystyle U}$de cada punto${\displaystyle x}$en una variedad casi cuaterniónica${\displaystyle M}$con una esfera completa de 2 estructuras casi complejas definidas en${\displaystyle U}$Siempre se puede encontrar.${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})}$de tal manera que

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Sin embargo, tenga en cuenta que ninguno de estos operadores puede extenderse a todos los${\displaystyle M}$. Es decir, el paquete${\displaystyle Z}$puede que no admita secciones globales (por ejemplo, este es el caso del espacio proyectivo cuaterniónico)${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$Esto contrasta notablemente con la situación de las variedades complejas, que siempre tienen una estructura casi compleja definida globalmente.

Una estructura cuaterniónica sobre una variedad lisa${\displaystyle M}$es una estructura casi cuaterniónica${\displaystyle Q}$que admite una conexión afín sin torsión${\displaystyle \nabla }$conservación${\displaystyle Q}$Dicha conexión nunca es única y no se considera parte de la estructura cuaterniónica. Una variedad cuaterniónica es una variedad diferenciable.${\displaystyle M}$junto con una estructura cuaterniónica en${\displaystyle M}$.

Una variedad hipercompleja es una variedad cuaterniónica con una torsión libre.${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$-estructura. La reducción del grupo de estructuras a${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$es posible si y solo si el haz de estructura casi cuaterniónica${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$es trivial (es decir, isomorfo a${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$). Una estructura casi hipercompleja corresponde a un marco global de${\displaystyle H}$o, equivalentemente, triple de estructuras casi complejas${\displaystyle I,J}$, y${\displaystyle K}$de tal manera que

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Una estructura hipercompleja es una estructura casi hipercompleja tal que cada una de${\displaystyle I,J}$, y${\displaystyle K}$son integrables.

Una variedad de Kähler cuaterniónica es una variedad cuaterniónica con una torsión libre.${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)}$-estructura.

Una variedad hiperkähler es una variedad cuaterniónica con una torsión libre.${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$-estructura. Una variedad hiperkähler es simultáneamente una variedad hipercompleja y una variedad cuaterniónica de Kähler.