Hiperdeterminante

El determinante anterior puede escribirse en términos de una generalización del símbolo de Levi-Civita :

${\displaystyle \mathrm {Det} (A)=f^{ijkl}f^{nmop}f^{qrst}a_{inq}a_{jmr}a_{kos}a_{lpt}}$

donde f es una generalización del símbolo de Levi-Civita que permite que dos índices sean iguales:

${\displaystyle f^{0011}=f^{1100}=f^{0110}=f^{1001}=-1/2}$

${\displaystyle f^{0101}=f^{1010}=1}$

donde las f satisfacen:

${\displaystyle f^{...abc...}+f^{...bca...}+f^{...cab...}+f^{...cba...}+f^{...acb...}+f^{...bac...}=0.}$

Para hipermatrices simétricas de 2 × 2 × 2 × ⋯, el hiperdeterminante es el discriminante de un polinomio. Por ejemplo,

${\displaystyle a_{000}=a}$

${\displaystyle a_{001}=a_{010}=a_{100}=b}$

${\displaystyle a_{110}=a_{101}=a_{011}=c}$

${\displaystyle a_{111}=d}$

Entonces Det( ​​A ) es el discriminante de${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d.}$

En el caso general, un hiperdeterminante se define como un discriminante para una aplicación multilineal f de espacios vectoriales de dimensión finita V _i a su campo subyacente K que puede ser${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$.

${\displaystyle f:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{r}\to K}$

f puede identificarse con un tensor en el producto tensorial de cada espacio dual V ^* _i

${\displaystyle f\in V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{r}^{*}}$

Por definición, un hiperdeterminante Det ( f ) es un polinomio en componentes del tensor f que es cero si y solo si la aplicación f tiene un punto no trivial donde todas las derivadas parciales con respecto a las componentes de sus argumentos vectoriales se anulan (un punto no trivial significa que ninguno de los argumentos vectoriales es cero).

Los espacios vectoriales V _i no tienen por qué tener las mismas dimensiones, y se dice que el hiperdeterminante tiene el formato ( k ₁ , ..., k _r ) k _i > 0, si la dimensión de cada espacio V _i es k _i + 1. Se puede demostrar que el hiperdeterminante existe para un formato dado y es único salvo un factor escalar, si y solo si el mayor número del formato es menor o igual que la suma de los demás números del formato. ^{[ 5 ]}

Esta definición no proporciona un método para construir el hiperdeterminante y, en general, esta es una tarea difícil. Para hiperdeterminantes con formatos donde r ≥ 4, el número de términos suele ser demasiado grande para escribir el hiperdeterminante completo. Para valores mayores de r , incluso el grado del polinomio aumenta rápidamente y no tiene una fórmula general conveniente.

El caso de formatos con r = 1 trata con vectores de longitud k ₁ + 1. En este caso, la suma de los otros números de formato es cero y k ₁ siempre es mayor que cero, por lo que no existen hiperdeterminantes.

El caso de r = 2 trata con matrices de ( k ₁ + 1) × ( k ₂ + 1) . Cada número de formato debe ser mayor o igual que el otro, por lo tanto, solo las matrices cuadradas S tienen hiperdeterminantes y pueden identificarse con el determinante det( S ). Aplicar la definición de hiperdeterminante como discriminante a este caso requiere que det( S ) sea cero cuando hay vectores X e Y tales que las ecuaciones matriciales SX = 0 e YS = 0 tienen soluciones para X e Y distintos de cero .

Para r > 2, existen hiperdeterminantes con distintos formatos que satisfacen la desigualdad de formato. Por ejemplo, el hiperdeterminante de Cayley de 2 × 2 × 2 tiene el formato (1, 1, 1), y también existe un hiperdeterminante de 2 × 2 × 3 con el mismo formato . Sin embargo, un hiperdeterminante de 2 × 2 × 4 tendría el formato (1, 1 , 3), pero como 3 > 1 + 1 , no existe.

Dado que el hiperdeterminante es homogéneo en sus variables, tiene un grado bien definido que es función del formato y se escribe N ( k ₁ , ..., k _r ). En casos especiales podemos escribir una expresión para el grado. Por ejemplo, se dice que un hiperdeterminante es de formato límite cuando el mayor número de formato es la suma de los demás y en este caso tenemos ^{[ 6 ].}

${\displaystyle N(k_{2}+\cdots +k_{r},k_{2},\ldots ,k_{r})={\frac {(k_{2}+\cdots +k_{r}+1)!}{k_{2}!\cdots k_{r}!}}.}$

Para hiperdeterminantes de dimensiones 2 ^r , una fórmula generadora conveniente para los grados N _r es ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \sum _{r=0}^{\infty }N_{r}{\frac {z^{r}}{r!}}={\frac {e^{-2z}}{(1-z)^{2}}}.}$

En particular, para r = 2,3,4,5,6 el grado es respectivamente 2, 4, 24, 128, 880 y luego crece muy rápidamente.

^{En [ 7 ]} se dan otras tres fórmulas especiales para calcular el grado de los hiperdeterminantes.

para 2 × m × m use N (1, m − 1, m − 1) = 2 m ( m − 1)

Para 3 × m × m, use N (2, m − 1, m − 1) = 3 m ( m − 1) ²

para 4 × m × m use N (3, m − 1, m − 1) = (2/3) m ( m − 1)( m − 2)(5 m − 3)

Un resultado general que se deriva de la regla del producto de los hiperdeterminantes y las propiedades de invariancia que se enumeran a continuación es que el mínimo común múltiplo de las dimensiones de los espacios vectoriales sobre los que actúa la aplicación lineal divide el grado del hiperdeterminante, es decir,

mcm( k ₁ + 1, ..., k _r + 1) | N ( k ₁ , ..., k _r ).

Una de las propiedades más conocidas de los determinantes es la regla de multiplicación, también conocida como la fórmula de Binet-Cauchy . Para matrices cuadradas n × n A y B, la regla establece que

det( AB ) = det( A )det( B )

Esta es una de las reglas más difíciles de generalizar de determinantes a hiperdeterminantes, ya que las generalizaciones de productos de hipermatrices pueden generar hipermatrices de diferentes tamaños. El dominio completo de casos en los que se puede generalizar la regla del producto sigue siendo objeto de investigación. Sin embargo, se pueden enunciar algunos ejemplos básicos.

Dada una forma multilineal f ( x ₁ , ..., x _r ) podemos aplicar una transformación lineal al último argumento usando una matriz n × n B , y _r = B x _r . Esto genera una nueva forma multilineal del mismo formato,

g ( x ₁ , ..., x _r ) = f ( x ₁ , ..., y _r )

En términos de hipermatrices, esto define un producto que se puede escribir como g = f . B

Entonces es posible utilizar la definición del hiperdeterminante para demostrar que

det( f . B ) = det( f )det( B ) ^{N / n}

donde n es el grado del hiperdeterminante. Esto generaliza la regla del producto para matrices.

Se han demostrado generalizaciones adicionales de la regla del producto para productos apropiados de hipermatrices de formato de frontera. ^{[ 8 ]}

El primer hiperdeterminante de Cayley, det _0, es multiplicativo en el siguiente sentido. Sea A una hipermatriz r -dimensional de n × ... × n con elementos a _{i , ..., k} , B una hipermatriz s -dimensional de n × ... × n con elementos b _... , y C una hipermatriz ( r + s − 2)-dimensional de n × ... × n con elementos c _... tal que (usando la notación de Einstein )

c _{i , ..., j , l , ..., m} = a _{i , ..., j} ^k b _{k , l , ..., m} ,

entonces

det ₀ (C) = det ₀ (A) det ₀ (B).

Un determinante no se suele considerar en términos de sus propiedades como invariante algebraico , pero cuando los determinantes se generalizan a hiperdeterminantes la invariancia es más notable. Usando la regla de multiplicación anterior en el hiperdeterminante de una hipermatriz H por una matriz S con determinante igual a uno se obtiene

det( H . S ) = det( H )

En otras palabras, el hiperdeterminante es un invariante algebraico bajo la acción del grupo lineal especial SL( n ) sobre la hipermatriz. La transformación puede aplicarse igualmente bien a cualquiera de los espacios vectoriales sobre los que actúa la aplicación multilineal para dar otra invariancia distinta. Esto conduce al resultado general,

El hiperdeterminante del formato${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{r})}$es un invariante bajo una acción del grupo${\displaystyle \mathrm {SL} (k_{1}+1)\otimes \cdots \otimes \mathrm {SL} (k_{r}+1)}$

Por ejemplo, el determinante de una matriz n × n es un invariante SL( n ) ² y el hiperdeterminante de Cayley para una hipermatriz 2 × 2 × 2 es un invariante SL(2) ^{3 .}

Una propiedad más conocida de un determinante es que si se suma un múltiplo de una fila (o columna) a otra fila (o columna) de una matriz cuadrada, su determinante permanece inalterado. Este es un caso especial de su invariancia cuando la matriz de transformación lineal es la matriz identidad más una matriz con un único elemento no nulo fuera de la diagonal . Esta propiedad se generaliza inmediatamente a los hiperdeterminantes, lo que implica invariancia al sumar un múltiplo de una sección de una hipermatriz a otra sección paralela.

Un hiperdeterminante no es el único invariante algebraico polinomial para el grupo que actúa sobre la hipermatriz. Por ejemplo, se pueden formar otros invariantes algebraicos mediante la suma y la multiplicación de hiperdeterminantes. En general, los invariantes forman un álgebra de anillo , y del teorema de la base de Hilbert se deduce que el anillo es finitamente generado. En otras palabras, para un formato de hipermatriz dado, todos los invariantes algebraicos polinomiales con coeficientes enteros se pueden formar mediante suma, resta y multiplicación a partir de un número finito de ellos. En el caso de una hipermatriz de 2 × 2 × 2, todos estos invariantes se pueden generar de esta manera a partir únicamente del segundo hiperdeterminante de Cayley, pero este no es un resultado típico para otros formatos. Por ejemplo, el segundo hiperdeterminante para una hipermatriz de formato 2 × 2 × 2 × 2 es un invariante algebraico de grado 24, pero todos los invariantes pueden generarse a partir de un conjunto de cuatro invariantes más simples de grado 6 o menor. ^{[ 9 ]}