Factor de tipo II hiperfinito

En matemáticas , salvo isomorfismo, existen exactamente dos factores hiperfinitos de tipo II que actúan de forma separable : uno infinito y otro finito. Murray y von Neumann demostraron que, salvo isomorfismo, existe un único álgebra de von Neumann que es un factor de tipo II ₁ y también hiperfinito ; se le denomina factor hiperfinito de tipo II _{1. Existen otros factores de tipo II 1} incontables . Connes demostró que el factor infinito también es único.

• El álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto con la propiedad de clase de conjugación infinita es un factor de tipo II ₁ , y si el grupo es amenable y numerable, el factor es hiperfinito. Existen muchos grupos con estas propiedades, ya que cualquier grupo localmente finito es amenable. Por ejemplo, el álgebra de grupo de von Neumann del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones de un conjunto infinito numerable que fijan todos los elementos excepto un número finito da como resultado un factor hiperfinito de tipo II _{1 .}
• El factor hiperfinito de tipo II ₁ también surge de la construcción del espacio de medida de grupo para acciones ergódicas libres que preservan la medida de grupos numerables amenables en espacios de probabilidad.
• El producto tensorial infinito de un número contable de factores de tipo I _n con respecto a sus estados trazales es el factor hiperfinito de tipo II _{1. Cuando} n = 2, esto también se denomina a veces álgebra de Clifford de un espacio de Hilbert separable infinito.
• Si p es cualquier proyección finita no nula en un álgebra de von Neumann hiperfinita A de tipo II, entonces pAp es el factor _{1 hiperfinito de tipo II. Equivalentemente, el} grupo fundamental de A es el grupo de los números reales positivos . Esto a menudo puede ser difícil de ver directamente. Sin embargo, es obvio cuando A es el producto tensorial infinito de factores de tipo I _n , donde n recorre todos los enteros mayores que 1 infinitas veces: simplemente tome p equivalente a un producto tensorial infinito de proyecciones p _n en las que el estado traza es o${\displaystyle 1}$o${\displaystyle 1-1/n}$.

El factor hiperfinito II ₁ R es el único factor de dimensión infinita más pequeño en el siguiente sentido: está contenido en cualquier otro factor de dimensión infinita, y cualquier factor de dimensión infinita contenido en R es isomorfo a R.

El grupo de automorfismos externos de R es un grupo simple infinito con una cantidad numerable de clases de conjugación, indexadas por pares que consisten en un entero positivo p y una raíz p -ésima compleja de 1.

Las proyecciones del factor hiperfinito II ₁ forman una geometría continua .

Si bien existen otros factores de tipo II _∞ , hay uno hiperfinito único, salvo isomorfismo. Consiste en aquellas matrices cuadradas infinitas con entradas en el factor hiperfinito de tipo II _{1 que definen} operadores acotados .

• Subfactores

• A. Connes, Clasificación de factores inyectivos, Anales de Matemáticas, 2.ª serie, vol. 104, n.º 1 (julio de 1976), págs.  73-115 .
• FJ Murray, J. von Neumann, Sobre anillos de operadores IV Ann. of Math. (2), 44 (1943) pp.  716–808. Esto muestra que todos los factores aproximadamente finitos de tipo II ₁ son isomorfos.