Álgebra de Von Neumann

En matemáticas , un álgebra de von Neumann o álgebra W* es un álgebra * de operadores acotados en un espacio de Hilbert que es cerrado en la topología de operadores débiles y contiene el operador identidad . Es un tipo especial de álgebra C* .

Las álgebras de von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann , motivado por su estudio de operadores simples , representaciones de grupos , teoría ergódica y mecánica cuántica . Su teorema del doble conmutador demuestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra de simetrías.

Dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann son los siguientes:

• El anillo${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$El conjunto de funciones medibles esencialmente acotadas en la recta real es un álgebra de von Neumann conmutativa, cuyos elementos actúan como operadores de multiplicación mediante multiplicación puntual en el espacio de Hilbert.${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$de funciones de cuadrado integrable .
• El álgebra${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es un álgebra de von Neumann, no conmutativa si el espacio de Hilbert tiene dimensión al menos${\displaystyle 2}$.

Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; él y Francis Murray desarrollaron la teoría básica, bajo el nombre original de anillos de operadores , en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 ( FJ Murray y J. von Neumann 1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann 1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), reimpresos en las obras completas de von Neumann (1961) .  

Las introducciones a las álgebras de von Neumann se encuentran en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991), así como en los libros de Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) y Sakai (1971) . La obra en tres volúmenes de Takesaki (1979) ofrece una descripción enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) aborda temas más avanzados.

Existen tres formas comunes de definir las álgebras de von Neumann.

La primera y más común forma de definirlas es como *-álgebras débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición, la topología débil (de operadores) puede sustituirse por muchas otras topologías comunes, incluidas las topologías de operadores fuertes , ultrafuertes o ultradébiles . Las *-álgebras de operadores acotados que son cerradas en la topología de norma son C*-álgebras , por lo que, en particular, cualquier álgebra de von Neumann es una C*-álgebra.

La segunda definición establece que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrada bajo la involución (la operación *) e igual a su doble conmutador , o equivalentemente el conmutador de alguna subálgebra cerrada bajo *. El teorema del doble conmutador de von Neumann ( von Neumann, 1930 ) afirma que las dos primeras definiciones son equivalentes.

Las dos primeras definiciones describen un álgebra de von Neumann concretamente como un conjunto de operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert dado. Sakai (1971) demostró que las álgebras de von Neumann también pueden definirse abstractamente como C*-álgebras que tienen un predual ; en otras palabras, el álgebra de von Neumann, considerada como un espacio de Banach , es el dual de otro espacio de Banach llamado predual. El predual de un álgebra de von Neumann es, de hecho, único salvo isomorfismo. Algunos autores utilizan "álgebra de von Neumann" para las álgebras junto con una acción en un espacio de Hilbert, y "álgebra W*" para el concepto abstracto, de modo que un álgebra de von Neumann es un álgebra W* junto con un espacio de Hilbert y una acción unitaria fiel adecuada sobre dicho espacio. Las definiciones concretas y abstractas de un álgebra de von Neumann son similares a las definiciones concretas y abstractas de un álgebra C*, que pueden definirse como *-álgebras cerradas en norma de operadores en un espacio de Hilbert, o como *-álgebras de Banach tales que ${\displaystyle ||aa^{*}||=||a||\ ||a^{*}||}$.

Parte de la terminología de la teoría del álgebra de von Neumann puede resultar confusa, y los términos a menudo tienen diferentes significados fuera de este campo de estudio.

• Un factor es un álgebra de von Neumann con centro trivial, es decir, un centro que consta únicamente de operadores escalares.
• Un álgebra de von Neumann finita es aquella que es la integral directa de factores finitos (lo que significa que el álgebra de von Neumann tiene un estado traza normal fiel).${\displaystyle \tau :M\rightarrow \mathbb {C} }$^{[ 1 ]} ). De manera similar,propiamente infinitasson la integral directa de factores propiamente infinitos.
• Un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert separable se denomina álgebra separable . Cabe destacar que dichas álgebras rara vez son separables en la topología de la norma.
• El álgebra de von Neumann generada por un conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert es el álgebra de von Neumann más pequeña que contiene a todos esos operadores.
• El producto tensorial de dos álgebras de von Neumann que actúan sobre dos espacios de Hilbert se define como el álgebra de von Neumann generada por su producto tensorial algebraico, considerado como operadores en el producto tensorial del espacio de Hilbert de los espacios de Hilbert.

Si obviamos la topología de un álgebra de von Neumann, podemos considerarla un *-álgebra (unitaria) o simplemente un anillo. Las álgebras de von Neumann son semihereditarias : todo submódulo finitamente generado de un módulo proyectivo es también proyectivo. Se han realizado varios intentos de axiomatizar los anillos subyacentes de las álgebras de von Neumann, incluyendo los *-anillos de Baer y las *-álgebras AW . El *-álgebra de operadores asociados de un álgebra de von Neumann finita es un anillo regular de von Neumann . (El álgebra de von Neumann en sí misma no es, en general, regular de von Neumann).

La relación entre las álgebras de von Neumann conmutativas y los espacios de medida es análoga a la que existe entre las C*-álgebras conmutativas y los espacios de Hausdorff localmente compactos . Toda álgebra de von Neumann conmutativa es isomorfa a L ^∞ ( X ) para algún espacio de medida ( X , μ) y, recíprocamente, para todo espacio de medida σ-finito X , el *-álgebra L ^∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann.

Debido a esta analogía, la teoría de las álgebras de von Neumann se ha denominado teoría de la medida no conmutativa, mientras que la teoría de las C*-álgebras a veces se denomina topología no conmutativa ( Connes 1994 ) .

Los operadores E en un álgebra de von Neumann para los cuales E = EE = E* se denominan proyecciones ; son precisamente los operadores que proporcionan una proyección ortogonal de H sobre algún subespacio cerrado. Se dice que un subespacio del espacio de Hilbert H pertenece al álgebra de von Neumann M si es la imagen de alguna proyección en M. Esto establece una correspondencia biunívoca entre las proyecciones de M y los subespacios que pertenecen a M. De manera informal, estos son los subespacios cerrados que pueden describirse utilizando elementos de M , o que M "conoce".

Se puede demostrar que la clausura de la imagen de cualquier operador en M y el núcleo de cualquier operador en M pertenecen a M. Además, la clausura de la imagen bajo un operador de M de cualquier subespacio perteneciente a M también pertenece a M. (Estos resultados son consecuencia de la descomposición polar ).

Un álgebra de von Neumann N cuyo centro consta únicamente de múltiplos del operador identidad se denomina factor . Como demostró von Neumann (1949) , toda álgebra de von Neumann sobre un espacio de Hilbert separable es isomorfa a una integral directa de factores. Esta descomposición es esencialmente única. Por lo tanto, el problema de clasificar las clases de isomorfismo de las álgebras de von Neumann sobre espacios de Hilbert separables se reduce al de clasificar las clases de isomorfismo de los factores.

Murray y von Neumann (1936) demostraron que cada factor tiene uno de los tres tipos que se describen a continuación. La clasificación de tipos se puede extender a las álgebras de von Neumann que no son factores, y un álgebra de von Neumann es de tipo X si se puede descomponer como una integral directa de factores de tipo X; por ejemplo, toda álgebra de von Neumann conmutativa es de tipo I ₁ . Toda álgebra de von Neumann se puede escribir de forma única como una suma de álgebras de von Neumann de tipos I, II y III.

Existen otras formas de dividir los factores en clases que a veces se utilizan:

• Un factor se denomina discreto (o en ocasiones manso ) si es de tipo I, y continuo (o en ocasiones salvaje ) si es de tipo II o III.
• Un factor se denomina semifinito si es de tipo I o II, y puramente infinito si es de tipo III.
• Un factor se denomina finito si su proyección es finita, e infinito propiamente dicho en caso contrario. Los factores de tipo I y II pueden ser finitos o infinitos propiamente dichos, pero los factores de tipo III son siempre infinitos propiamente dichos.

Toda álgebra de von Neumann M tiene un predual M _* , que es el espacio de Banach de todos los funcionales lineales ultradébilmente continuos sobre M. Como su nombre indica, M es (como espacio de Banach) el dual de su predual. El predual es único en el sentido de que cualquier otro espacio de Banach cuyo dual sea M es canónicamente isomorfo a M _* . Sakai (1971) demostró que la existencia de un predual caracteriza a las álgebras de von Neumann entre las álgebras C*.

La definición del predual dada anteriormente parece depender de la elección del espacio de Hilbert sobre el que actúa M , ya que esto determina la topología ultradébil. Sin embargo, el predual también puede definirse sin utilizar el espacio de Hilbert sobre el que actúa M , definiéndolo como el espacio generado por todos los funcionales lineales normales positivos sobre M. (Aquí, "normal" significa que conserva los supremos cuando se aplica a redes crecientes de operadores autoadjuntos; o, equivalentemente, a secuencias crecientes de proyecciones).

El predual M _∗ es un subespacio cerrado del dual M* (que consta de todos los funcionales lineales continuos en norma sobre M ) pero generalmente es más pequeño. La prueba de que M _∗ no es (generalmente) lo mismo que M* no es constructiva y utiliza el axioma de elección de manera esencial; es muy difícil mostrar elementos explícitos de M* que no estén en M _∗ . Por ejemplo, las formas lineales positivas exóticas en el álgebra de von Neumann l ^∞ ( Z ) están dadas por ultrafiltros libres ; corresponden a *-homomorfismos exóticos en C y describen la compactificación de Stone- Čech de Z.

Ejemplos:

1. El predual del álgebra de von Neumann L ^∞ ( R ) de funciones esencialmente acotadas en R es el espacio de Banach L ¹ ( R ) de funciones integrables. El dual de L ^∞ ( R ) es estrictamente mayor que L ¹ ( R ). Por ejemplo, un funcional en L ^∞ ( R ) que extiende la medida de Dirac δ ₀ en el subespacio cerrado de funciones continuas acotadas C ⁰ _b ( R ) no puede representarse como una función en L ¹ ( R ).
2. El predual del álgebra de von Neumann B ( H ) de operadores acotados en un espacio de Hilbert H es el espacio de Banach de todos los operadores de clase traza con norma de traza || A || = Tr(| A |). El espacio de Banach de operadores de clase traza es a su vez el dual del álgebra C* de operadores compactos (que no es un álgebra de von Neumann).
3. El predual del álgebra de von Neumann de grupo VN ( G ) asociada a la representación regular izquierda de un grupo localmente compacto G es el álgebra de Fourier A ( G ).

Los pesos y sus casos especiales, estados y trazas se discuten en detalle en ( Takesaki 1979 ) .

• Un peso ω en un álgebra de von Neumann es una aplicación lineal del conjunto de elementos positivos (aquellos de la forma a*a ) a [0,∞].
• Un funcional lineal positivo es un peso con ω(1) finito (o más bien la extensión de ω a toda el álgebra por linealidad).
• Un estado es un peso con ω(1)  =  1.
• Una traza es un peso con ω( aa* )  =  ω( a*a ) para todo a .
• Un estado traza es una traza con ω(1)  =  1.

Todo factor tiene una traza tal que la traza de una proyección distinta de cero es distinta de cero, y la traza de una proyección es infinita si y solo si la proyección es infinita. Dicha traza es única salvo por reescalamiento. Para factores separables o finitos, dos proyecciones son equivalentes si y solo si tienen la misma traza. El tipo de un factor se puede determinar a partir de los posibles valores de esta traza sobre las proyecciones del factor, como sigue:

• Tipo I _n : 0, x , 2 x , ..., nx para algún x positivo (generalmente normalizado a 1/ n o 1).
• Tipo I _∞ : 0, x , 2 x , ...,∞ para algún x positivo (generalmente normalizado a 1).
• Tipo II ₁ : [0, x ] para algún x positivo (generalmente normalizado a 1).
• Tipo II _∞ : [0,∞].
• Tipo III: {0,∞}.

Si un álgebra de von Neumann actúa sobre un espacio de Hilbert que contiene un vector v de norma 1 , entonces el funcional a → ( av , v ) es un estado normal. Esta construcción puede invertirse para obtener una acción sobre un espacio de Hilbert desde un estado normal: esta es la construcción GNS para estados normales.

Dado un factor separable abstracto, se puede solicitar una clasificación de sus módulos, es decir, los espacios de Hilbert separables sobre los que actúa. La respuesta es la siguiente: a cada módulo H se le puede asignar una dimensión M, dim _M ( H ) (no su dimensión como espacio vectorial complejo), de tal forma que los módulos son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión M. La dimensión M es aditiva, y un módulo es isomorfo a un subespacio de otro módulo si y solo si tiene una dimensión M menor o igual .

Un módulo se denomina estándar si posee un vector separador cíclico. Cada factor tiene una representación estándar, única salvo isomorfismo. La representación estándar posee una involución antilineal J tal que JMJ = M ′ . Para factores finitos, el módulo estándar viene dado por la construcción GNS aplicada al estado trazal normal único, y la dimensión M se normaliza de modo que el módulo estándar tenga dimensión M igual a 1, mientras que para factores infinitos, el módulo estándar es aquel con dimensión M igual a ∞.

Las posibles dimensiones M de los módulos se dan de la siguiente manera:

• Tipo I _n ( n finito): La dimensión M puede ser cualquiera de 0/ n , 1/ n , 2/ n , 3/ n , ..., ∞. El módulo estándar tiene dimensión M 1 (y dimensión compleja n ² ).
• Tipo I _∞ La dimensión M puede ser cualquiera de 0, 1, 2, 3, ..., ∞. La representación estándar de B ( H ) es H ⊗ H ; su dimensión M es ∞.
• Tipo II ₁ : La dimensión M puede ser cualquier valor en [0, ∞]. Está normalizada de modo que el módulo estándar tenga dimensión M 1. La dimensión M también se denomina constante de acoplamiento del módulo H.
• Tipo II _∞ : La dimensión M puede ser cualquier valor en [0, ∞]. En general, no existe una forma canónica de normalizarla; el factor puede tener automorfismos externos que multiplican la dimensión M por constantes. La representación estándar es aquella con dimensión M ∞.
• Tipo III: La dimensión M puede ser 0 o ∞. Cualquier par de módulos distintos de cero son isomorfos, y todos los módulos distintos de cero son estándar.

Connes (1976) y otros demostraron que las siguientes condiciones sobre un álgebra de von Neumann M en un espacio de Hilbert separable H son todas equivalentes :

• M es hiperfinita , AFD o aproximadamente finita en dimensión : esto significa que el álgebra contiene una secuencia ascendente de subálgebras de dimensión finita con unión densa. (Advertencia: algunos autores usan "hiperfinita" para referirse a "AFD y finita").
• M es amenable : esto significa que las derivaciones de M con valores en un bimódulo de Banach dual normal son todas internas. ^{[ 2 ]}
• M tiene la propiedad P de Schwartz : para cualquier operador acotado T en H, la envoltura convexa cerrada del operador débil de los elementos uTu* contiene un elemento que conmuta con M.
• M es semidiscreta : esto significa que la aplicación identidad de M a M es un límite puntual débil de aplicaciones completamente positivas de rango finito.
• M tiene la propiedad E o la propiedad de extensión de Hakeda-Tomiyama : esto significa que hay una proyección de norma 1 de operadores acotados en H a M '.
• M es inyectiva : cualquier aplicación lineal completamente positiva de cualquier subespacio cerrado autoadjunto que contenga 1 de cualquier C*-álgebra unitaria A a M puede extenderse a una aplicación completamente positiva de A a M.

No existe un término generalmente aceptado para la clase de álgebras mencionada anteriormente; Connes ha sugerido que "amenable" debería ser el término estándar.

Los factores admisibles se han clasificado: hay uno único de cada uno de los tipos I _n , I _∞ , II ₁ , II _∞ , III _λ , para 0 < λ ≤ 1, y los del tipo III ₀ corresponden a ciertos flujos ergódicos. (Para el tipo III ₀ llamar a esto una clasificación es un poco engañoso, ya que se sabe que no hay una manera fácil de clasificar los flujos ergódicos correspondientes). Los de tipo I y II ₁ fueron clasificados por Murray y von Neumann (1943) , y los restantes fueron clasificados por Connes (1976) , excepto el caso del tipo III ₁ que fue completado por Haagerup.

Todos los factores amenables pueden construirse utilizando la construcción de espacio de medida de grupo de Murray y von Neumann para una única transformación ergódica . De hecho, son precisamente los factores que surgen como productos cruzados por acciones ergódicas libres de Z o Z/nZ sobre álgebras de von Neumann abelianas L ^∞ ( X ). Los factores de tipo I aparecen cuando el espacio de medida X es atómico y la acción transitiva. Cuando X es difuso o no atómico , es equivalente a [0,1] como espacio de medida . Los factores de tipo II aparecen cuando X admite una medida equivalente finita (II ₁ ) o infinita (II _∞ ), invariante bajo una acción de Z. Los factores de tipo III aparecen en los casos restantes donde no hay una medida invariante, sino solo una clase de medida invariante : estos factores se denominan factores de Krieger .

El producto tensorial de dos espacios de Hilbert es la completación de su producto tensorial algebraico. Se puede definir un producto tensorial de álgebras de von Neumann (una completación del producto tensorial algebraico de las álgebras consideradas como anillos), que es nuevamente un álgebra de von Neumann, y actuar sobre el producto tensorial de los espacios de Hilbert correspondientes. El producto tensorial de dos álgebras finitas es finito, y el producto tensorial de un álgebra infinita y un álgebra no nula es infinito. El tipo del producto tensorial de dos álgebras de von Neumann (I, II o III) es el máximo de sus tipos. El teorema de conmutación para productos tensoriales establece que

${\displaystyle (M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },}$

donde M ′ denota el conmutador de M .

El producto tensorial de un número infinito de álgebras de von Neumann, si se realiza de forma ingenua, suele ser un álgebra no separable de tamaño desproporcionado. En cambio, von Neumann (1938) demostró que se debe elegir un estado en cada una de las álgebras de von Neumann, usarlo para definir un estado en el producto tensorial algebraico, que puede utilizarse para generar un espacio de Hilbert y un álgebra de von Neumann (de tamaño razonablemente pequeño). Araki y Woods (1968) estudiaron el caso en el que todos los factores son álgebras de matrices finitas; estos factores se denominan factores de Araki-Woods o factores ITPFI (ITPFI significa "producto tensorial infinito de factores finitos de tipo I"). El tipo del producto tensorial infinito puede variar drásticamente al cambiar los estados; por ejemplo, el producto tensorial infinito de un número infinito de factores de tipo I² _puede tener cualquier tipo dependiendo de la elección de los estados. En particular, Powers (1967) encontró una familia no numerable de factores _λ hiperfinitos no isomorfos de tipo III para 0 < λ < 1, llamados factores de Powers , tomando un producto tensorial infinito de factores de tipo I ₂ , cada uno con el estado dado por:

${\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.}$

Todas las álgebras de von Neumann hiperfinitas que no son de tipo III ₀ son isomorfas a factores de Araki-Woods, pero hay una cantidad incontable de álgebras de tipo III ₀ que no lo son.

Un bimódulo (o correspondencia) es un espacio de Hilbert H con acciones de módulo de dos álgebras de von Neumann conmutativas. Los bimódulos poseen una estructura mucho más rica que la de los módulos. Cualquier bimódulo sobre dos factores siempre genera un subfactor , puesto que uno de los factores siempre está contenido en el conmutador del otro. Además, existe una sutil operación de producto tensorial relativo, introducida por Connes en los bimódulos. La teoría de los subfactores, iniciada por Vaughan Jones , concilia estos dos puntos de vista aparentemente diferentes.

Los bimódulos también son importantes para el álgebra de grupo de von Neumann M de un grupo discreto Γ. De hecho, si V es cualquier representación unitaria de Γ, entonces, considerando Γ como el subgrupo diagonal de Γ × Γ, la representación inducida correspondiente en l ² (Γ, V ) es naturalmente un bimódulo para dos copias conmutativas de M. Importantes propiedades de la teoría de representaciones de Γ pueden formularse completamente en términos de bimódulos y, por lo tanto, tienen sentido para el álgebra de von Neumann en sí. Por ejemplo, Connes y Jones dieron una definición de un análogo de la propiedad (T) de Kazhdan para álgebras de von Neumann de esta manera.

Las álgebras de Von Neumann de tipo I son siempre amenables, pero para los otros tipos hay un número incontable de factores no amenables diferentes, que parecen muy difíciles de clasificar, o incluso de distinguir entre sí. Sin embargo, Voiculescu ha demostrado que la clase de factores no amenables que provienen de la construcción del espacio de medida de grupo es disjunta de la clase que proviene de las álgebras de Von Neumann de grupo de grupos libres. Más tarde , Narutaka Ozawa demostró que las álgebras de Von Neumann de grupo de grupos hiperbólicos producen factores primos de tipo II ₁ , es decir, aquellos que no pueden factorizarse como productos tensoriales de factores de tipo II _{1 , un resultado demostrado por primera vez por Leeming Ge para factores de grupo libres utilizando} la entropía libre de Voiculescu . El trabajo de Popa sobre grupos fundamentales de factores no amenables representa otro avance significativo. La teoría de factores "más allá de lo hiperfinito" se está expandiendo rápidamente en la actualidad, con muchos resultados nuevos y sorprendentes; tiene vínculos estrechos con fenómenos de rigidez en la teoría geométrica de grupos y la teoría ergódica .

• Las funciones esencialmente acotadas en un espacio de medida σ-finito forman un álgebra de von Neumann conmutativa (tipo I _{1 ) que actúa sobre las funciones} L ² . Para ciertos espacios de medida no σ-finitos, generalmente considerados patológicos , L ^∞ ( X ) no es un álgebra de von Neumann; por ejemplo, el álgebra σ de conjuntos medibles podría ser el álgebra contable-cocontable en un conjunto no contable. Un teorema de aproximación fundamental puede representarse mediante el teorema de densidad de Kaplansky .
• Los operadores acotados en cualquier espacio de Hilbert forman un álgebra de von Neumann, de hecho un factor, de tipo I.
• Si disponemos de una representación unitaria de un grupo G sobre un espacio de Hilbert H, entonces los operadores acotados que conmutan con G forman un álgebra de von Neumann G ′ , cuyas proyecciones corresponden exactamente a los subespacios cerrados de H invariantes bajo G . Las subrepresentaciones equivalentes corresponden a proyecciones equivalentes en G ′ . El doble conmutador G ′ ′ de G también es un álgebra de von Neumann.
• El álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto G es el álgebra de todos los operadores acotados en H = l ² ( G ) que conmutan con la acción de G sobre H mediante la multiplicación por la derecha. Se puede demostrar que esta es el álgebra de von Neumann generada por los operadores correspondientes a la multiplicación por la izquierda con un elemento g ∈ G . Es un factor (de tipo II ₁ ) si toda clase de conjugación no trivial de G es infinita (por ejemplo, un grupo libre no abeliano), y es el factor hiperfinito de tipo II ₁ si, además, G es una unión de subgrupos finitos (por ejemplo, el grupo de todas las permutaciones de los enteros que fijan todos los elementos excepto un número finito).
• El producto tensorial de dos álgebras de von Neumann, o de un número contable con estados, es un álgebra de von Neumann como se describe en la sección anterior.
• El producto cruzado de un álgebra de von Neumann por un grupo discreto (o, más generalmente, localmente compacto) puede definirse y es un álgebra de von Neumann. Casos especiales son la construcción del espacio de medidas de grupo de los factores de Murray y von Neumann y de Krieger .
• Se pueden definir las álgebras de von Neumann de una relación de equivalencia medible y un grupoide medible. Estos ejemplos generalizan las álgebras de grupo de von Neumann y la construcción del espacio de medida de grupo.

Las álgebras de Von Neumann han encontrado aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de nudos , la mecánica estadística , la teoría cuántica de campos , la física cuántica local , la probabilidad libre , la geometría no conmutativa , la teoría de la representación , la geometría diferencial y los sistemas dinámicos .

Por ejemplo, el álgebra C* proporciona una axiomatización alternativa a la teoría de la probabilidad. En este caso, el método se conoce como construcción de Gelfand-Naimark-Segal . Esto es análogo a los dos enfoques para la medida y la integración, donde se puede optar por construir primero medidas de conjuntos y definir las integrales después, o bien construir primero las integrales y definir las medidas de conjuntos como integrales de funciones características.

• Álgebra AW*
• Transportista central
• Teoría de Tomita-Takesaki : método matemático en análisis funcional. 

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• von Neumann, J. (1949), "Sobre anillos de operadores. Teoría de la reducción", Annals of Mathematics , Segunda serie, 50 (2): 401– 485, doi : 10.2307/1969463 , JSTOR 1969463 . Aquí se analiza cómo escribir un álgebra de von Neumann como una suma o integral de factores.
• von Neumann, John (1961), Taub, AH (ed.), Obras completas, Volumen III: Anillos de operadores , Nueva York: Pergamon Press. Reimprime los artículos de von Neumann sobre álgebras de von Neumann.
• Wassermann, AJ (1991), Operadores en el espacio de Hilbert , archivado del original el 16 de febrero de 2007.