CAPM intertemporal

En finanzas matemáticas , el modelo intertemporal de valoración de activos de capital , o ICAPM , creado por Robert C. Merton , ^{[ 1 ]} es una alternativa al modelo de valoración de activos de capital (CAPM). Es un modelo de factores lineales con la riqueza como variable de estado que pronostica cambios en la distribución de rendimientos o ingresos futuros .

En el ICAPM, los inversores toman decisiones sobre el consumo a lo largo de su vida útil cuando se enfrentan a múltiples incertidumbres. La principal diferencia entre el ICAPM y el CAPM estándar radica en las variables de estado adicionales que reconocen que los inversores se protegen contra déficits de consumo o cambios en el conjunto de oportunidades de inversión futuras .

Merton considera un mercado de tiempo continuo en equilibrio. La variable de estado (X) sigue un movimiento browniano :

${\displaystyle dX=\mu dt+sdZ}$

El inversor maximiza su utilidad de Von Neumann-Morgenstern :

${\displaystyle E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}}$

donde T es el horizonte temporal y B[W(T),T] la utilidad derivada de la riqueza (W).

El inversor tiene la siguiente restricción sobre la riqueza (W). Sea${\displaystyle w_{i}}$Sea el peso invertido en el activo i. Entonces:

${\displaystyle W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]}$

dónde${\displaystyle r_{i}}$es el rendimiento del activo i. El cambio en la riqueza es:

${\displaystyle dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}$

Podemos utilizar la programación dinámica para resolver el problema. Por ejemplo, si consideramos una serie de problemas de tiempo discreto:

${\displaystyle \max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}}$

Luego, una expansión de Taylor da como resultado:

${\displaystyle \int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt}$

dónde${\displaystyle t^{*}}$es un valor entre t y t+dt.

Suponiendo que los retornos siguen un movimiento browniano :

${\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}$

con:

${\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad$ ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad  ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}

Luego, cancelando términos de segundo orden y superiores:

${\displaystyle dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}$

Utilizando la ecuación de Bellman , podemos reformular el problema:

${\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}}$

sujeto a la restricción de riqueza previamente indicada.

Utilizando el lema de Ito podemos reescribir:

${\displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

y el valor esperado:

${\displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

Después de algunos cálculos algebraicos ^{[ 2 ]} , tenemos la siguiente función objetivo:

${\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}$

dónde${\displaystyle r_{f}}$es la devolución sin riesgo. Las condiciones del primer pedido son:

${\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}$

En forma matricial, tenemos:

${\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

dónde${\displaystyle \alpha }$es el vector de rendimientos esperados,${\displaystyle \Omega }$la matriz de covarianza de los rendimientos,${\displaystyle {\mathbf {1} }}$un vector unitario${\displaystyle cov_{rX}}$la covarianza entre los rendimientos y la variable de estado. Los pesos óptimos son:

${\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}$

Nótese que el modelo intertemporal proporciona las mismas ponderaciones que el CAPM . Los rendimientos esperados se pueden expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}$

donde m es la cartera de mercado y ha es la cartera para cubrir la variable de estado.

• Elección de cartera intertemporal

• Merton, RC, (1973), Un modelo intertemporal de valoración de activos de capital. Econometrica 41, vol. 41, n.º 5 (septiembre de 1973), págs.  867-887.
• "Eficiencia de cartera multifactorial y valoración de activos multifactoriales" por Eugene F. Fama, ( The Journal of Financial and Quantitative Analysis ), vol. 31, n.º 4, diciembre de 1996.