proceso de Wiener

La función de densidad de probabilidad incondicional sigue una distribución normal con media = 0 y varianza = t , en un tiempo fijo t : $${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

La expectativa es cero: $${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

La varianza , utilizando la fórmula de cálculo, es t : $${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

Estos resultados se derivan inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal , centrada en cero. Por lo tanto, $${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$ Una descomposición útil para probar propiedades de martingala, también llamada descomposición de incremento browniano, es $${\displaystyle W_{t}=W_{s}+(W_{t}-W_{s}),\;s\leq t}$$

La covarianza y la correlación (donde${\textstyle s\leq t}$): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

Estos resultados se derivan de la definición de que los incrementos no superpuestos son independientes, de la cual solo se utiliza la propiedad de que no están correlacionados. ^{[ 9 ]} Supongamos que${\textstyle t_{1}\leq t_{2}}$. $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

Sustituyendo $${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$ llegamos a: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

Desde${\textstyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$y${\textstyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$son independientes, $${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

De este modo $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t ₁ < t ₂ : $${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$ donde Z es una variable normal estándar independiente.

Wiener (1923) también dio una representación de una trayectoria browniana en términos de una serie de Fourier aleatoria . Si${\textstyle \xi _{n}}$son variables gaussianas independientes con media cero y varianza uno, entonces $${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$$ y $${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$ representar un movimiento browniano en${\textstyle [0,1]}$El proceso a escala $${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$ es un movimiento browniano en${\textstyle [0,c]}$(cf. teorema de Karhunen-Loève ).

La distribución conjunta del máximo acumulado $${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$ y W _t es $${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

Para obtener la distribución incondicional de${\textstyle f_{M_{t}}}$, integrar sobre −∞ < w ≤ m : $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

la función de densidad de probabilidad de una distribución seminormal . La esperanza ^{[ 10 ]} es $${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

Si en el instante t el proceso de Wiener tiene un valor conocido${\textstyle W_{t}}$, es posible calcular la distribución de probabilidad condicional del máximo en el intervalo${\textstyle [0,t]}$(cf. Distribución de probabilidad de los puntos extremos de un proceso estocástico de Wiener ). La función de distribución de probabilidad acumulada del valor máximo, condicionada por el valor conocido.${\textstyle W_{t}}$, es: $${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

Si un polinomio p ( x , t ) satisface la ecuación diferencial parcial$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$ luego el proceso estocástico $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$ es una martingala .

Ejemplo:${\textstyle W_{t}^{2}-t}$es una martingala, lo que muestra que la variación cuadrática de W en [ 0, t ] es igual a t . De ello se deduce que el tiempo esperado de primera salida de W de (− c , c ) es igual a c ² .

En términos más generales, para cada polinomio p ( x , t ) el siguiente proceso estocástico es una martingala: $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$ donde a es el polinomio $${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

Ejemplo:${\textstyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$${\textstyle a(x,t)=4x^{2};}$el proceso $${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$ es una martingala, lo que demuestra que la variación cuadrática de la martingala${\textstyle W_{t}^{2}-t}$en [0, t ] es igual a $${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

Sobre funciones p ( xa , t ) más generales que los polinomios, véase martingalas locales .

El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de medida de Wiener completa. Es decir, una trayectoria (función de muestra) del proceso de Wiener tiene todas estas propiedades casi con seguridad:

La tasa de información del proceso de Wiener con respecto a la distancia de error al cuadrado, es decir, su función de tasa-distorsión cuadrática , viene dada por ^{[ 14 ].}$${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}D\ln 2}}\approx 0.29D^{-1}.}$$ Por lo tanto, es imposible codificar${\textstyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$utilizando un código binario de menos de${\textstyle TR(D)}$bits y recuperarlo con un error cuadrático medio esperado menor que D. Por otro lado, para cualquier${\textstyle \varepsilon >0}$, existe T suficientemente grande y un código binario de no más de${\textstyle 2^{TR(D)}}$elementos distintos tales que el error cuadrático medio esperado en la recuperación${\textstyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$de este código es como máximo${\textstyle D-\varepsilon }$.

En muchos casos, es imposible codificar el proceso de Wiener sin muestrearlo primero. Cuando el proceso de Wiener se muestrea a intervalos${\textstyle T_{s}}$Antes de aplicar un código binario para representar estas muestras, se debe determinar el equilibrio óptimo entre la tasa de codificación.${\textstyle R(T_{s},D)}$y el error cuadrático medio esperado D (en la estimación del proceso de Wiener de tiempo continuo) sigue la representación paramétrica ^{[ 15 ].}$${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$$${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$ dónde${\textstyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$y${\textstyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$. En particular,${\textstyle T_{s}/6}$es el error cuadrático medio asociado únicamente con la operación de muestreo (sin codificación).

Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X _t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0, t ] (más formalmente: la medida de Wiener del conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t ] pertenece a A ). Entonces el proceso X _t es una martingala continua. Su propiedad de martingala se deduce inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial: un caso particular de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso de Wiener.${\textstyle B_{t}^{2}-t}$y${\textstyle e^{\theta B_{t}-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}}t}}$son martingalas. ^{[ 17 ]}

La integral temporal del proceso de Wiener $${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$ se denomina movimiento browniano integrado o proceso de Wiener integrado . Surge en muchas aplicaciones y se puede demostrar que tiene la distribución N (0, t ³ /3) , ^{[ 18 ]} calculada utilizando el hecho de que la covarianza del proceso de Wiener es${\textstyle t\wedge s=\min(t,s)}$. ^{[ 19 ]}

Para el caso general del proceso definido por $${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$ Entonces, para${\textstyle a>0}$, $${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$$${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$ De hecho,${\textstyle V_{f}(t)}$es siempre una variable aleatoria normal de media cero. Esto permite la simulación de${\textstyle V_{f}(t+a)}$dado${\textstyle V_{f}(t)}$tomando $${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$ donde Z es una variable normal estándar y $${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$$${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$ El caso de${\textstyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$corresponde a${\textstyle f(t)=t}$Todos estos resultados pueden considerarse consecuencias directas de la isometría de Itô . El proceso de Wiener integrado n veces es una variable normal de media cero con varianza${\textstyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$Esto viene dado por la fórmula de Cauchy para la integración repetida .

Toda martingala continua (que parte del origen) es un proceso de Wiener con cambio de tiempo.

Ejemplo: 2 W _t = V (4 t ) donde V es otro proceso de Wiener (diferente de W pero distribuido como W ).

Ejemplo.${\textstyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$dónde${\textstyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$y V es otro proceso de Wiener.

En general, si M es una martingala continua, entonces${\textstyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$donde A ( t ) es la variación cuadrática de M en [0, t ], y V es un proceso de Wiener.

Corolario. (Véase también los teoremas de convergencia de martingalas de Doob ) Sea M _t una martingala continua, y $${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$$${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

Entonces, solo son posibles los dos casos siguientes: $${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$$${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty$$ ;} otros casos (como${\textstyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$ ${\textstyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$etc.) tienen una probabilidad de 0.

En particular, una martingala continua no negativa tiene un límite finito (cuando t → ∞) casi con seguridad.

Todo lo establecido (en esta subsección) para las martingalas también se aplica a las martingalas locales .

Una amplia clase de semimartingalas continuas (especialmente, de procesos de difusión ) está relacionada con el proceso de Wiener a través de una combinación de cambio de tiempo y cambio de medida .

Utilizando este hecho, las propiedades cualitativas enunciadas anteriormente para el proceso de Wiener pueden generalizarse a una amplia clase de semimartingalas continuas. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

El proceso de Wiener de valores complejos puede definirse como un proceso aleatorio de valores complejos de la forma${\textstyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$dónde${\textstyle X_{t}}$y${\textstyle Y_{t}}$son procesos de Wiener independientes (de valor real). En otras palabras, es el proceso de Wiener bidimensional, donde identificamos${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$con${\textstyle \mathbb {C} }$. ^{[ 22 ]}

La lámina browniana es una generalización multiparamétrica. La definición varía según los autores; algunos la definen específicamente con un parámetro de tiempo bidimensional.${\textstyle t}$mientras que otros lo definen para dimensiones generales.