Necesidad y suficiencia

En lógica y matemáticas , necesidad y suficiencia son términos que se utilizan para describir una relación condicional o implicativa entre dos enunciados . Por ejemplo, en el enunciado condicional : "Si P entonces Q " , Q es necesario para P , porque la verdad de Q está "necesariamente" garantizada por la verdad de P. (De forma equivalente, es imposible tener P sin Q , o la falsedad de Q garantiza la falsedad de P ). ^{[ 1 ]} De manera similar, P es suficiente para Q , porque el hecho de que P sea siempre verdadero o "suficientemente" implica que Q es verdadero, pero el hecho de que P no sea verdadero no siempre implica que Q no sea verdadero. ^{[ 2 ]}

En general, una condición necesaria es aquella (posiblemente una de varias) que debe estar presente para que se dé otra condición, mientras que una condición suficiente es aquella que produce dicha condición. ^{[ 3 ]} La afirmación de que una proposición es una condición "necesaria y suficiente" de otra significa que la primera proposición es verdadera si y solo si la segunda es verdadera. Es decir, las dos proposiciones deben ser simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

En inglés común (también lenguaje natural ), "necesario" y "suficiente" suelen indicar relaciones entre condiciones o estados de cosas, no enunciados. Por ejemplo, ser redondo es una condición necesaria para ser un círculo, pero no suficiente, ya que los óvalos y las elipses son redondos pero no círculos; mientras que ser un círculo es una condición suficiente para ser redondo. Cualquier enunciado condicional consta de al menos una condición suficiente y al menos una condición necesaria.

En el análisis de datos , la necesidad y la suficiencia pueden referirse a diferentes lógicas causales , ^{[ 7 ]} donde el análisis de condiciones necesarias y el análisis comparativo cualitativo pueden utilizarse como técnicas analíticas para examinar la necesidad y la suficiencia de las condiciones para un resultado particular de interés.

En la proposición condicional "si S , entonces N " , la expresión representada por S se llama antecedente y la expresión representada por N se llama consecuente . Esta proposición condicional puede escribirse de varias maneras equivalentes, como " N si S " , " S solo si N " , " S implica N " , " N está implicado por S " , S → N , S ⇒ N y " N siempre que S " . ^{[ 8 ]}

En la situación anterior de "N siempre que S " , se dice que N es una condición necesaria para S. En lenguaje común, esto equivale a decir que si la proposición condicional es verdadera, entonces el consecuente N debe ser verdadero para que S sea verdadero (véase la tercera columna de la " tabla de verdad " inmediatamente debajo). En otras palabras, el antecedente S no puede ser verdadero sin que N sea verdadero. Por ejemplo, para que alguien se llame Sócrates , es necesario que esa persona se llame N. De manera similar, para que los seres humanos vivan, es necesario que tengan aire. ^{[ 9 ]}

También se puede decir que S es una condición suficiente para N (véase de nuevo la tercera columna de la tabla de verdad inmediatamente inferior). Si la proposición condicional es verdadera, entonces si S es verdadera, N debe ser verdadera; mientras que si la proposición condicional es verdadera y N es verdadera, entonces S puede ser verdadera o falsa. En términos comunes, "la verdad de S garantiza la verdad de N " . ^{[ 9 ]} Por ejemplo, continuando con el ejemplo anterior, se puede decir que saber que alguien se llama Sócrates es suficiente para saber que alguien tiene un nombre .

Una condición necesaria y suficiente requiere que ambas implicaciones${\displaystyle S\Rightarrow N}$y${\displaystyle N\Rightarrow S}$(este último también puede escribirse como${\displaystyle S\Leftarrow N}$) se sostiene. La primera implicación sugiere que S es una condición suficiente para N , mientras que la segunda implicación sugiere que S es una condición necesaria para N. Esto se expresa como " S es necesario y suficiente para N ", " S si y solo si N " , o${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$.

La afirmación de que Q es necesaria para P es coloquialmente equivalente a " P no puede ser verdadero a menos que Q sea verdadero" o "si Q es falso, entonces P es falso". ^{[ 9 ] [ 1 ]} Por contraposición , esto es lo mismo que "siempre que P sea verdadero, también lo es Q " .

La relación lógica entre P y Q se expresa como "si P , entonces Q " y se denota como " P ⇒ Q " ( P implica Q ). También puede expresarse como " P solo si Q " , " Q , si P " , " Q siempre que P " y " Q cuando P " . A menudo se encuentran, por ejemplo, en la prosa matemática, varias condiciones necesarias que, tomadas en conjunto, constituyen una condición suficiente (es decir, individualmente necesarias y conjuntamente suficientes ^{[ 9 ]} ), como se muestra en el Ejemplo 5.

Ejemplo 1

Para que sea cierto que "Juan es soltero", es necesario que también sea cierto que él es

1. soltero,
2. masculino,
3. adulto,

puesto que afirmar "John es soltero" implica que John tiene cada uno de esos tres predicados adicionales .

Ejemplo 2

Para los números enteros mayores que dos, ser impar es necesario para ser primo, ya que dos es el único número entero que es a la vez par y primo.

Ejemplo 3

Consideremos el trueno, el sonido producido por el relámpago. Se dice que el trueno es necesario para el relámpago, ya que el relámpago nunca ocurre sin trueno. Siempre que hay relámpago, hay trueno. El trueno no causa el relámpago (ya que el relámpago causa el trueno), pero como el relámpago siempre viene acompañado de trueno, decimos que el trueno es necesario para el relámpago. (Es decir, en su sentido formal, la necesidad no implica causalidad).

Ejemplo 4

Para ser senador de los Estados Unidos, es necesario tener al menos 30 años. Si eres menor de 30 años, no puedes ser senador. Es decir, para ser senador, debes tener al menos 30 años.

Ejemplo 5

En álgebra , para algún conjunto S junto con una operación${\displaystyle \star }$para formar un grupo , es necesario que${\displaystyle \star }$ser asociativo . También es necesario que S incluya un elemento especial e tal que para cada x en S , se cumpla que e${\displaystyle \star }$x y x${\displaystyle \star }$e ambos son iguales a x . También es necesario que para cada x en S exista un elemento correspondiente x ″ , tal que ambos x${\displaystyle \star }$x ″ y x ″${\displaystyle \star }$x es igual al elemento especial e . Ninguna de estas tres condiciones necesarias por sí sola es suficiente, pero la conjunción de las tres sí lo es.

Si P es suficiente para Q , entonces saber que P es verdadero es motivo suficiente para concluir que Q es verdadero; sin embargo, saber que P es falso no satisface una necesidad mínima para concluir que Q es falso.

La relación lógica se expresa, como antes, como «si P , entonces Q » o « P ⇒ Q » . También puede expresarse como « P solo si Q » , « P implica Q » o varias otras variantes. Puede darse el caso de que varias condiciones suficientes, consideradas en conjunto, constituyan una única condición necesaria (es decir, individualmente suficientes y conjuntamente necesarias), como se ilustra en el ejemplo 5.

Ejemplo 1

"Juan es rey" implica que Juan es varón. Por lo tanto, saber que Juan es rey es suficiente para saber que es varón.

Ejemplo 2

Que un número sea divisible por 4 es suficiente (pero no necesario) para que sea par, pero que sea divisible por 2 es suficiente y necesario para que sea par.

Ejemplo 3

La presencia de un trueno es condición suficiente para la ocurrencia de un relámpago, en el sentido de que oír un trueno y reconocerlo inequívocamente como tal justifica la conclusión de que ha habido un rayo.

Ejemplo 4

Si el Congreso de los Estados Unidos aprueba un proyecto de ley, la firma del presidente es suficiente para que se convierta en ley. Cabe señalar que el hecho de que el presidente no firme el proyecto de ley, por ejemplo, mediante el ejercicio de un veto presidencial , no significa que el proyecto de ley no se haya convertido en ley (por ejemplo, podría haberse convertido en ley mediante la anulación del veto por parte del Congreso ).

Ejemplo 5

Para que una carta sea un as, basta con que su centro esté marcado con una sola pica grande (♠). Otras tres condiciones suficientes son que su centro esté marcado con un diamante (♦), un corazón (♥) o un trébol (♣). Ninguna de estas condiciones es necesaria para que la carta sea un as, pero su disyunción sí lo es, ya que ninguna carta puede ser un as sin cumplir al menos (de hecho, exactamente) una de estas condiciones.

Una condición puede ser necesaria o suficiente sin ser la otra. Por ejemplo, ser mamífero ( N ) es necesario pero no suficiente para ser humano ( S ), y que un número${\displaystyle x}$es racional ( S ) es suficiente pero no necesario para${\displaystyle x}$ser un número real ( N ) (ya que hay números reales que no son racionales).

Una condición puede ser tanto necesaria como suficiente. Por ejemplo, en la actualidad, "hoy es el 4 de julio " es una condición necesaria y suficiente para "hoy es el Día de la Independencia en los Estados Unidos ". De manera similar, una condición necesaria y suficiente para la invertibilidad de una matriz M es que M tenga un determinante distinto de cero .

Matemáticamente hablando, necesidad y suficiencia son duales entre sí. Para cualesquiera enunciados S y N , la afirmación de que " N es necesario para S " es equivalente a la afirmación de que " S es suficiente para N " . Otra faceta de esta dualidad es que, como se ilustró anteriormente, las conjunciones (usando "y") de condiciones necesarias pueden lograr la suficiencia, mientras que las disyunciones (usando "o") de condiciones suficientes pueden lograr la necesidad. Para una tercera faceta, identifiquemos cada predicado matemático N con el conjunto T ( N ) de objetos, eventos o enunciados para los cuales N es verdadero; entonces, afirmar la necesidad de N para S es equivalente a afirmar que T ( N ) es un superconjunto de T ( S ), mientras que afirmar la suficiencia de S para N es equivalente a afirmar que T ( S ) es un subconjunto de T ( N ).

Desde el punto de vista psicológico, tanto la necesidad como la suficiencia son aspectos clave de la concepción clásica de los conceptos. Según la teoría clásica de los conceptos, la forma en que las mentes humanas representan una categoría X da lugar a un conjunto de condiciones individualmente necesarias que definen X. En conjunto, estas condiciones individualmente necesarias son suficientes para que X sea X. ^{[ 10 ]} Esto contrasta con la teoría probabilística de los conceptos, que afirma que ninguna característica definitoria es necesaria ni suficiente, sino que las categorías se asemejan a una estructura de árbol genealógico.

Decir que P es necesario y suficiente para Q es decir dos cosas:

1. que P es necesario para Q ,${\displaystyle P\Leftarrow Q}$y que P es suficiente para Q ,${\displaystyle P\Rightarrow Q}$.
2. De forma equivalente, puede entenderse que P y Q son necesarios el uno para el otro.${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$, lo cual también puede expresarse como que cada uno es suficiente para el otro o implica el otro.

Se puede resumir cualquiera de estos casos, y por lo tanto todos, mediante la afirmación " P si y solo si Q " , que se denota por${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$, mientras que los casos nos dicen que${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$es idéntico a${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$.

Por ejemplo, en teoría de grafos , un grafo G se denomina bipartito si es posible asignar a cada uno de sus vértices el color negro o blanco de tal manera que cada arista de G tenga un extremo de cada color. Y para que cualquier grafo sea bipartito, es condición necesaria y suficiente que no contenga ciclos de longitud impar . Por lo tanto, descubrir si un grafo tiene ciclos impares indica si es bipartito y viceversa. Un filósofo ^{[ 11 ]} podría caracterizar este estado de cosas así: "Aunque los conceptos de bipartición y ausencia de ciclos impares difieren en intensión , tienen extensión idéntica . ^{[ 12 ]}

En matemáticas, los teoremas a menudo se enuncian de la forma " P es verdadero si y solo si Q es verdadero".

Porque, como se explicó en la sección anterior, la necesidad de uno para el otro es equivalente a la suficiencia del otro para el primero, por ejemplo${\displaystyle P\Leftarrow Q}$es equivalente a${\displaystyle Q\Rightarrow P}$Si P es necesario y suficiente para Q , entonces Q es necesario y suficiente para P. Podemos escribir:${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$y decir que las afirmaciones " P es verdadera si y solo si Q es verdadera" y " Q es verdadera si y solo si P es verdadera" son equivalentes.

• Tutorial web sobre pensamiento crítico: Condiciones necesarias y suficientes
• Universidad Simon Fraser: Conceptos con ejemplos