poliedro geodésico

Un icosaedro y poliedros con simetría relacionada pueden usarse para definir un poliedro geodésico de orden superior dividiendo las caras triangulares en triángulos más pequeños y proyectando todos los vértices sobre una esfera. Las caras poligonales de orden superior pueden dividirse en triángulos añadiendo nuevos vértices centrados en cada cara. Las nuevas caras en la esfera no son triángulos equiláteros , pero tienen una longitud de arista aproximadamente igual. Todos los vértices son de valencia 6, excepto 12 vértices que son de valencia 5.

Un poliedro geodésico es un poliedro convexo formado por triángulos que se aproxima a una esfera. Generalmente presentan simetría icosaédrica , de modo que tienen 6 triángulos en cada vértice , excepto aquellos con 12 vértices que tienen 5 triángulos. Son el dual de los poliedros de Goldberg correspondientes , de los cuales todos, excepto el más pequeño (que es un dodecaedro regular ), tienen principalmente caras hexagonales. La construcción de Goldberg-Coxeter es una ampliación de los conceptos subyacentes a los poliedros geodésicos.

Los poliedros geodésicos son una buena aproximación a una esfera para muchos propósitos y aparecen en diversos contextos. Los más conocidos son las cúpulas geodésicas , estructuras arquitectónicas hemisféricas diseñadas por Buckminster Fuller , de las cuales toman su nombre. Las cuadrículas geodésicas utilizadas en geodesia también tienen la geometría de los poliedros geodésicos. Las cápsides de algunos virus tienen la forma de poliedros geodésicos, ^{[ 1 ] [ 2 ]} y algunos granos de polen se basan en poliedros geodésicos. ^{[ 3 ]} Las moléculas de fullereno tienen la forma de poliedros de Goldberg . Los poliedros geodésicos están disponibles como primitivas geométricas en el paquete de software de modelado 3D Blender , que los denomina icoesferas : son una alternativa a la esfera UV , con una distribución más regular. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Las subdivisiones geodésicas se pueden realizar a partir de un dodecaedro aumentado , dividiendo los pentágonos en triángulos con un punto central y subdividiendo a partir de ahí.

Los poliedros quirales con caras poligonales de orden superior pueden ampliarse añadiendo vértices centrados en cada cara para dividirlos en triángulos. Estos triángulos pueden subdividirse en triángulos más pequeños para formar nuevos poliedros geodésicos. Todos los vértices tienen valencia 6, excepto los 12 centrados en los vértices originales, que tienen valencia 5.

Los poliedros geodésicos se construyen subdividiendo las caras de poliedros más simples y proyectando los nuevos vértices sobre la superficie de una esfera. Un poliedro geodésico tiene aristas rectas y caras planas que se aproximan a un poliedro esférico construido a partir de triángulos geodésicos .

En los Modelos Esféricos de Magnus Wenninger , los poliedros se representan mediante notación geodésica en la forma {3, q +} _{b , c} , donde {3, q } es el símbolo de Schläfli para el poliedro regular con caras triangulares, y q - valencia de los vértices. El símbolo + indica que la valencia de los vértices se incrementa. b y c representan una descripción de subdivisión, con 1,0 representando la forma base. Hay 3 clases de simetría de formas: {3,3+} _1,0 para un tetraedro , {3,4+} _1,0 para un octaedro , y {3,5+} _1,0 para un icosaedro .

La notación dual para los poliedros de Goldberg es { q +,3} _{b , c} , con vértices de valencia-3, con caras q -gonales y hexagonales. Hay 3 clases de simetría de formas: {3+,3} _1,0 para un tetraedro , {4+,3} _1,0 para un cubo , y {5+,3} _1,0 para un dodecaedro .

Los valores de b y c se dividen en tres clases:

1. Clase I ( b = 0 o c = 0 ): {3, q +} _{b ,0} o {3, q +} _{0, b} representan una división simple donde los bordes originales se dividen en b subbordes.
2. Clase II ( b = c ): {3, q +} _{b , b} son más fáciles de ver a partir del poliedro dual { q ,3} con caras q -gonales divididas primero en triángulos con un punto central, y luego todos los bordes se dividen en b subbordes.
3. Clase III : {3, q +} _{b , c} tienen valores distintos de cero y diferentes para b y c , y existen en pares quirales. Para b > c podemos definirlo como una forma diestra, y c > b es una forma zurda.

Las subdivisiones de clase III no se alinean simplemente con los bordes originales. Las subcuadrículas se pueden extraer observando un teselado triangular , colocando un triángulo grande sobre los vértices de la cuadrícula y recorriendo caminos desde un vértice b pasos en una dirección, y girando a, ya sea en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y luego dando otros c pasos hasta el siguiente vértice principal.

Por ejemplo, el icosaedro es {3,5+} _1,0 y el pentakis dodecaedro , {3,5+} _1,1, se considera un dodecaedro regular con caras pentagonales divididas en 5 triángulos.

La cara principal de la subdivisión se denomina triángulo poliédrico principal (TPP) o estructura de descomposición . El cálculo de un único TPP permite crear la figura completa.

La frecuencia de un poliedro geodésico se define por la suma de ν = b + c . Un armónico es una subfrecuencia y puede ser cualquier divisor entero de ν . La clase II siempre tiene un armónico de 2, ya que ν = 2 b .

El número de triangulación es T = b² + bc + c² . Este número ^{, multiplicado por el número de caras originales ,} expresa cuántos triángulos tendrá el nuevo poliedro.

En este caso, {3,5+} _3,0 , con frecuencia ν = 3 y número de triangulación T = 9 , cada una de las versiones del polígono tiene 92 vértices (80 donde se unen seis aristas y 12 donde se unen cinco), 270 aristas y 180 caras.

El número de elementos se especifica mediante el número de triangulación T = b ² + bc + c ² . Dos poliedros geodésicos diferentes pueden tener el mismo número de elementos, por ejemplo, {3,5+} _5,3 y {3,5+} _7,0 tienen ambos T = 49 .

Los poliedros geodésicos son los duales de los poliedros de Goldberg . Los poliedros de Goldberg también están relacionados en que la aplicación de un operador kis (que divide las caras en triángulos con un punto central) crea nuevos poliedros geodésicos, y la truncación de los vértices de un poliedro geodésico crea un nuevo poliedro de Goldberg. Por ejemplo, el poliedro de Goldberg G(2,1) kised se convierte en {3,5+} _4,1 , y al truncarlo se convierte en G(6,3) . De manera similar, el poliedro {3,5+} _2,1 truncado se convierte en G(4,1) , y al kised se convierte en {3,5+} _6,3 .

El libro de Magnus Wenninger , Modelos esféricos, explora estas subdivisiones en la construcción de modelos poliédricos . Tras explicar la construcción de estos modelos, explicó su uso de cuadrículas triangulares para marcar patrones, con triángulos coloreados o excluidos en los modelos. ^{[ 6 ]}

• Notación de poliedros de Conway : método para describir poliedros de orden superior. 

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de referencia de diseño . págs. 142–144 , Figura 4-49, 50, 51 Custers de 12 esferas, 42 esferas, 92 esferas. 
• Pugh, Antony (1976). "Capítulo 6. Los poliedros geodésicos de R. Buckminster Fuller y poliedros relacionados". Poliedros: un enfoque visual .
• Wenninger, Magnus (1979). Modelos esféricos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29432-4MR 0552023. Archivado del original el 4 de julio de 2008 .  Reimpreso por Dover (1999), ISBN 978-0-486-40921-4.
• Popko, Edward S. (2012). "Capítulo 8. Esquemas de subdivisión, 8.1 Notación geodésica, 8.2 Número de triangulación, 8.3 Frecuencia y armónicos, 8.4 Simetría de la cuadrícula, 8.5 Clase I: Alternas y vados, 8.5.1 Definición del triángulo principal, 8.5.2 Puntos de referencia de borde". Esferas divididas: Geodésicas y la subdivisión ordenada de la esfera .