Triángulo ideal

En geometría hiperbólica, un triángulo ideal es un triángulo hiperbólico cuyos tres vértices son puntos ideales . Los triángulos ideales también se denominan a veces triángulos triplemente asintóticos o triángulos triplemente asintóticos . Los vértices se denominan a veces vértices ideales . Todos los triángulos ideales son congruentes .

Los triángulos ideales tienen las siguientes propiedades:

• Todos los triángulos ideales son congruentes entre sí.
• Los ángulos interiores de un triángulo ideal son todos cero.
• Un triángulo ideal tiene un perímetro infinito.
• Un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica.

En el plano hiperbólico estándar (una superficie donde la curvatura gaussiana constante es − 1) también tenemos las siguientes propiedades:

• Cualquier triángulo ideal tiene un área π . ^{[ 1 ]}

Distancias en un triángulo ideal

• El círculo inscrito en un triángulo ideal tiene radio

${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=}$${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0.549}$. ^{[ 2 ]}

La distancia desde cualquier punto del triángulo hasta el lado más cercano del triángulo es menor o igual al radio r mencionado anteriormente, siendo igual solo para el centro del círculo inscrito.

• El círculo inscrito se encuentra con el triángulo en tres puntos de tangencia, formando un triángulo equilátero de contacto con lado de longitud${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962}$^{[ 2 ]} donde${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$es la proporción áurea .

Un círculo de radio d que pasa por un punto dentro del triángulo intersectará o se cruzará con al menos dos lados del triángulo.

• La distancia desde cualquier punto de un lado del triángulo a otro lado del triángulo es igual o menor que${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$, con igualdad únicamente para los puntos de tangencia descritos anteriormente.

a es también la altitud del triángulo de Schweikart .

Dado que el triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica, las medidas anteriores son máximas posibles para cualquier triángulo hiperbólico . Este hecho es importante en el estudio del espacio δ-hiperbólico .

En el modelo del disco de Poincaré del plano hiperbólico, un triángulo ideal está delimitado por tres círculos que se intersecan con el círculo límite en ángulo recto.

En el modelo del semiplano de Poincaré , un triángulo ideal se modela mediante un arbelos , la figura comprendida entre tres semicírculos tangentes entre sí .

En el modelo de Beltrami-Klein del plano hiperbólico, un triángulo ideal se representa mediante un triángulo euclidiano circunscrito por la circunferencia límite. Cabe destacar que, en el modelo de Beltrami-Klein, los ángulos en los vértices de un triángulo ideal no son cero, ya que, a diferencia de los modelos del disco de Poincaré y del semiplano, este modelo no es conforme , es decir, no conserva los ángulos.

El grupo triangular ideal real es el grupo de reflexión generado por las reflexiones del plano hiperbólico a través de los lados de un triángulo ideal. Algebraicamente, es isomorfo al producto libre de tres grupos de orden dos (Schwartz 2001).

• Schwartz, Richard Evan (2001). "Grupos triangulares ideales, toros dentados y análisis numérico". Annals of Mathematics . Ser. 2. 153 ( 3): 533– 598. arXiv : math.DG/0105264 . doi : 10.2307/2661362 . JSTOR 2661362. MR 1836282 .