Arbelos

En geometría , un arbelos es una región plana delimitada por tres semicírculos con tres vértices tales que cada esquina de cada semicírculo es compartida con una de las otras (conectadas), todas en el mismo lado de una línea recta (la línea base ) que contiene sus diámetros . ^[1]

La primera referencia conocida a esta figura se encuentra en el Libro de los Lemas de Arquímedes , donde algunas de sus propiedades matemáticas se enuncian como Proposiciones 4 a 8. ^[2] La palabra arbelos en griego significa 'cuchillo de zapatero'. La figura está estrechamente relacionada con la cadena de Pappus .

Dos de los semicírculos son necesariamente cóncavos, con diámetros arbitrarios a y b ; el tercer semicírculo es convexo , con diámetro a + b . ^[1]

El área del arbelos es igual al área de un círculo de diámetro HA .

Demostración : Para la demostración, refleje el arbelos sobre la línea que pasa por los puntos B y C , y observe que el doble del área del arbelos es lo que queda cuando se restan las áreas de los dos círculos más pequeños (con diámetros BA , AC ) del área del círculo grande (con diámetro BC ). Como el área de un círculo es proporcional al cuadrado del diámetro ( Elementos de Euclides , Libro XII, Proposición 2; no necesitamos saber que la constante de proporcionalidad es ⁠π/4⁠ ), el problema se reduce a demostrar que. La longitud | BC | es igual a la suma de las longitudes | BA | y | AC | , por lo que esta ecuación se simplifica algebraicamente a la afirmación de que. Por lo tanto, la afirmación es que la longitud del segmento AH es la media geométrica de las longitudes de los segmentos BA y AC . Ahora (ver Figura) el triángulo BHC , al estar inscrito en el semicírculo, tiene un ángulo recto en el punto H (Euclides, Libro III, Proposición 31), y en consecuencia | HA | es de hecho una "media proporcional" entre | BA | y | AC | (Euclides, Libro VI, Proposición 8, Porismo). Esta prueba se aproxima al argumento griego antiguo; Harold P. Boas cita un artículo de Roger B. Nelsen ^[3] que implementó la idea como la siguiente prueba sin palabras . ^[4]${\displaystyle 2|AH|^{2}=|BC|^{2}-|AC|^{2}-|BA|^{2}}$${\displaystyle |AH|^{2}=|BA||AC|}$

Sean D y E los puntos en los que los segmentos BH y CH intersecan los semicírculos AB y AC , respectivamente. El cuadrilátero ADHE es en realidad un rectángulo .

Demostración : ∠BDA , ∠BHC y ∠AEC son ángulos rectos porque están inscritos en semicírculos (según el teorema de Tales ). Por lo tanto, el cuadrilátero ADHE tiene tres ángulos rectos, por lo que es un rectángulo. QED

La línea DE es tangente al semicírculo BA en D y al semicírculo AC en E.

Demostración : Como ∠BDA es un ángulo recto, ∠DBA es igual a ⁠π/2⁠ menos ∠DAB . Sin embargo, ∠DAH también es igual a ⁠π/2⁠ menos ∠DAB (ya que ∠HAB es un ángulo recto). Por lo tanto, los triángulos DBA y DAH son similares . Por lo tanto, ∠DIA es igual a ∠DOH , donde I es el punto medio de BA y O es el punto medio de AH . Pero ∠AOH es una línea recta, por lo que ∠DOH y ∠DOA son ángulos suplementarios . Por lo tanto, la suma de ∠DIA y ∠DOA es π. ∠IAO es un ángulo recto. La suma de los ángulos en cualquier cuadrilátero es 2π, por lo que en el cuadrilátero IDOA , ∠IDO debe ser un ángulo recto. Pero ADHE es un rectángulo, por lo que el punto medio O de AH (la diagonal del rectángulo) es también el punto medio de DE (la otra diagonal del rectángulo). Como I (definido como el punto medio de BA ) es el centro del semicírculo BA y el ángulo ∠IDE es un ángulo recto, entonces DE es tangente al semicírculo BA en D. Por razonamiento análogo,DE es tangente al semicírculo AC en E. QED

La altura AH divide el arbelos en dos regiones, cada una de ellas limitada por un semicírculo, un segmento de línea recta y un arco del semicírculo exterior. Los círculos inscritos en cada una de estas regiones, conocidos como círculos de Arquímedes del arbelos, tienen el mismo tamaño.

El parbelos es una figura similar al arbelos, que utiliza segmentos de parábola en lugar de semicírculos. Una generalización que comprende tanto al arbelos como al parbelos es el f -belos, que utiliza un cierto tipo de funciones diferenciables similares. ^[5]

En el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico , un arbelos modela un triángulo ideal .

El nombre arbelos proviene del griego ἡ ἄρβηλος he árbēlos o ἄρβυλος árbylos , que significa "cuchillo de zapatero", un cuchillo utilizado por los zapateros desde la antigüedad hasta nuestros días, cuya hoja se dice que se asemeja a la figura geométrica.

• Los cuatrillizos de Arquímedes
• Círculo de Bankoff
• Círculos de Schoch
• Línea Schoch
• Círculos Woo
• Cadena de vilano
• Salinón

• Johnson, RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin ed.). Nueva York: Dover Publications. pp. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Ogilvy, CS (1990). Excursiones en geometría. Dover. Págs. 51–54. ISBN. 0-486-26530-7.
• Sondow, J. (2013). "El parbelos, un análogo parabólico del arbelos". Amer. Math. Monthly . 120 (10): 929–935. arXiv : 1210.2279 . doi :10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID  33402874. Revista de Matemáticas de Estados Unidos , 120 (2013), 929–935.
• Wells, D. (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 5-6. ISBN 0-14-011813-6.

• Medios relacionados con Arbelos en Wikimedia Commons
• La definición del diccionario de arbelos en Wikcionario