Curva hiperelíptica imaginaria

Una curva hiperelíptica es un tipo particular de curva algebraica . Existen curvas hiperelípticas de cada género.${\displaystyle g\geq 1}$Si el género de una curva hiperelíptica es igual a 1, simplemente la llamamos curva elíptica . Por lo tanto, podemos ver las curvas hiperelípticas como generalizaciones de las curvas elípticas. Existe una estructura de grupo bien conocida en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una curva elíptica sobre algún campo.${\displaystyle K}$que podemos describir geométricamente con cuerdas y tangentes. Generalizar esta estructura de grupo al caso hiperelíptico no es sencillo. No podemos definir la misma ley de grupo en el conjunto de puntos que se encuentran en una curva hiperelíptica; en cambio, se puede definir una estructura de grupo en el llamado jacobiano de una curva hiperelíptica. Los cálculos difieren según el número de puntos en el infinito. Las curvas hiperelípticas imaginarias son aquellas con exactamente un punto en el infinito; las curvas hiperelípticas reales tienen dos puntos en el infinito.

Las curvas hiperelípticas se pueden definir sobre campos de cualquier característica . Por lo tanto, consideramos un campo arbitrario.${\displaystyle K}$y su cierre algebraico${\displaystyle {\overline {K}}}$. Una curva hiperelíptica (imaginaria) de género${\displaystyle g}$encima${\displaystyle K}$viene dada por una ecuación de la forma $${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$ dónde${\displaystyle h(x)\in K[x]}$es un polinomio de grado no mayor que${\displaystyle g}$y${\displaystyle f(x)\in K[x]}$es un polinomio mónico de grado${\displaystyle 2g+1}$Además, requerimos que la curva no tenga puntos singulares . En nuestro caso, esto implica que ningún punto${\displaystyle (x,y)\in {\overline {K}}\times {\overline {K}}}$satisface ambos${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$y las ecuaciones${\displaystyle 2y+h(x)=0}$y${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$Esta definición difiere de la definición de una curva hiperelíptica general en el hecho de que${\displaystyle f}$También puede tener un título${\displaystyle 2g+2}$en el caso general. De ahora en adelante omitimos el adjetivo imaginario y simplemente hablamos de curvas hiperelípticas, como se suele hacer en la literatura. Nótese que el caso${\displaystyle g=1}$corresponde a${\displaystyle f}$siendo un polinomio cúbico , de acuerdo con la definición de una curva elíptica. Si consideramos que la curva se encuentra en el plano proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(K)}$con coordenadas${\displaystyle (X:Y:Z)}$, vemos que hay un punto particular que se encuentra en la curva, a saber, el punto en el infinito${\displaystyle (0:1:0)}$denotado por${\displaystyle O}$. Así que podríamos escribir${\displaystyle C=\{(x,y)\in K^{2}|y^{2}+h(x)y=f(x)\}\cup \{O\}}$.

Supongamos que el punto${\displaystyle P=(a,b)}$no es igual a${\displaystyle O}$se encuentra en la curva y considere${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-bh(a))}$. Como${\displaystyle (-bh(a))^{2}+h(a)(-bh(a))}$se puede simplificar a${\displaystyle b^{2}+h(a)b}$, vemos que${\displaystyle {\overline {P}}}$También es un punto en la curva.${\displaystyle {\overline {P}}}$se llama lo opuesto de${\displaystyle P}$y${\displaystyle P}$se denomina punto de Weierstrass si${\displaystyle P={\overline {P}}}$, es decir${\displaystyle h(a)=-2b}$. Además, lo contrario de${\displaystyle O}$simplemente se define como${\displaystyle {\overline {O}}=O}$.

Como ejemplo, considere${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$dónde${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$. Como${\displaystyle f}$tiene grado 5 y todas las raíces son distintas,${\displaystyle C}$es una curva de género${\displaystyle g=2}$Su gráfica se muestra en la Figura 1.

De esta imagen se desprende inmediatamente que no podemos utilizar el método de cuerdas y tangentes para definir una ley de grupo en el conjunto de puntos de una curva hiperelíptica. La ley de grupo en curvas elípticas se basa en el hecho de que una línea recta que pasa por dos puntos situados en una curva elíptica tiene un único tercer punto de intersección con la curva. Nótese que esto siempre es cierto, ya que${\displaystyle O}$se encuentra en la curva. A partir del gráfico de${\displaystyle C}$Está claro que esto no tiene por qué cumplirse para una curva hiperelíptica arbitraria. De hecho, el teorema de Bézout establece que una línea recta y una curva hiperelíptica de género 2 se intersecan en 5 puntos. Por lo tanto, una línea recta que pasa por dos puntos situados en${\displaystyle C}$No tiene un tercer punto de intersección único, tiene otros tres puntos de intersección.

El anillo de coordenadas de C sobre K se define como

${\displaystyle K[C]=K[x,y]/(y^{2}+h(x)y-f(x)).}$

El polinomio${\displaystyle r(x,y)=y^{2}+h(x)y-f(x)}$es irreductible sobre${\displaystyle {\overline {K}}}$, entonces

${\displaystyle {\overline {K}}[C]={\overline {K}}[x,y]/(y^{2}+h(x)y-f(x))}$

es un dominio integral .

Tenga en cuenta que cualquier función polinómica${\displaystyle G(x,y)\in {\overline {K}}[C]}$puede escribirse de forma única como

${\displaystyle G(x,y)=u(x)-v(x)y}$ con${\displaystyle u(x),v(x)\in {\overline {K}}[x]}$

El conjugado de una función polinómica G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) y en${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$se define como

${\displaystyle {\overline {G}}(x,y)=u(x)+v(x)(h(x)+y).}$

La norma de G es la función polinómica${\displaystyle N(G)=G{\overline {G}}}$. Nótese que N ( G ) = u ( x ) ² + u ( x ) v ( x ) h ( x ) − v ( x ) ² f ( x ) , por lo que N ( G ) es un polinomio en una sola variable .

Si G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) ⋅ y , entonces el grado de G se define como

${\displaystyle \deg(G)=\max[2\deg(u),2g+1+2\deg(v)].}$

Propiedades:

${\displaystyle \deg(G)=\deg _{x}(N(G))}$

${\displaystyle \deg(GH)=\deg(G)+\deg(H)}$

${\displaystyle \deg(G)=\deg({\overline {G}})}$

El campo de funciones K(C) de C sobre K es el campo de fracciones de K[C] , y el campo de funciones${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$de C sobre${\displaystyle {\overline {K}}}$es el campo de fracciones de${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$. Los elementos de${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$se denominan funciones racionales en C. Para R una función racional de este tipo, y P un punto finito en C , se dice que R está definida en P si existen funciones polinómicas G, H tales que R = G/H y H(P) ≠ 0 , y entonces el valor de R en P es

${\displaystyle R(P)=G(P)/H(P).}$

Para P un punto en C que no es finito, es decir P =${\displaystyle O}$, definimos R(P) como:

Si${\displaystyle \deg(G)<\deg(H)}$ entonces${\displaystyle R(O)=0}$, es decir, R tiene un cero en O.

Si${\displaystyle \deg(G)>\deg(H)}$ entonces${\displaystyle R(O)}$ no está definido, es decir, R tiene un polo en O.

Si${\displaystyle \deg(G)=\deg(H)}$ entonces${\displaystyle R(O)}$ es la relación de los coeficientes principales de G y H.

Para${\displaystyle R\in {\overline {K}}(C)^{*}}$y${\displaystyle P\in C}$,

Si${\displaystyle R(P)=0}$entonces se dice que R tiene un cero en P ,

Si R no está definido en P, entonces se dice que R tiene un polo en P , y escribimos${\displaystyle R(P)=\infty }$.

Para${\displaystyle G=u(x)-v(x)\cdot y\in {\overline {K}}[C]^{2}}$y${\displaystyle P\in C}$, el orden de G en P se define como:

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=r+s}$si P = ( a , b ) es un punto finito que no es Weierstrass. Aquí r es la potencia más alta de ( x − a ) que divide tanto a u ( x ) como a v ( x ) . Escribimos G ( x , y ) = ( x − a ) ^r ( u ₀ (x) − v ₀ ( x ) y ) y si u ₀ ( a ) − v ₀ ( a ) b = 0 , entonces s es la potencia más alta de ( x − a ) que divide a N ( u ₀ ( x ) − v ₀ ( x ) y ) = u ₀ ² + u ₀ v ₀ h − v ₀ ² f , de lo contrario, s = 0 .

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=2r+s}$si P = ( a , b ) es un punto de Weierstrass finito, con r y s como se indicó anteriormente.

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=-\deg(G)}$si P = O .

Para definir el jacobiano, primero necesitamos la noción de divisor. Consideremos una curva hiperelíptica.${\displaystyle C}$sobre algún campo${\displaystyle K}$Luego definimos un divisor.${\displaystyle D}$ser una suma formal de puntos en${\displaystyle C}$, es decir${\textstyle D=\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$dónde${\displaystyle c_{P}\in \mathbb {Z} }$y además${\displaystyle \{c_{P}\mid c_{P}\neq 0\}}$es un conjunto finito . Esto significa que un divisor es una suma formal finita de múltiplos escalares de puntos. Nótese que no hay simplificación de${\displaystyle c_{P}[P]}$dado por un único punto (como cabría esperar de la analogía con las curvas elípticas). Además, definimos el grado de${\displaystyle D}$como${\textstyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{c_{P}}\in \mathbb {Z} }$. El conjunto de todos los divisores${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$de la curva${\displaystyle C}$forma un grupo abeliano donde la suma se define punto por punto de la siguiente manera:${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]}=\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]}}$Es fácil ver que${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$actúa como el elemento identidad y que el inverso de${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$igual${\textstyle \sum _{P\in C}{-c_{P}[P]}}$. El conjunto${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)=\{D\in \mathrm {Div} (C)\mid \deg(D)=0\}}$Se puede comprobar fácilmente que todos los divisores de grado 0 son un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$. Demostración . Consideremos el mapa${\displaystyle \varphi$ :\mathrm {Div} (C)\rightarrow \mathbb {Z} } definido por${\displaystyle \varphi (D)=\deg(D)}$, tenga en cuenta que${\displaystyle \mathbb {Z} }$forma un grupo bajo la suma usual. Entonces${\textstyle \varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})=\varphi (\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]})=\sum _{P\in C}{c_{P}+d_{P}}=\sum _{P\in C}{c_{p}}+\sum _{P\in C}{d_{p}}=\varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]})+\varphi (\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})}$y por lo tanto${\displaystyle \varphi }$es un homomorfismo de grupo . Ahora,${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$es el núcleo de este homomorfismo y por lo tanto es un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$.

Consideremos una función${\displaystyle f\in {\overline {K}}(C)^{*}}$, entonces podemos observar la suma formal div${\textstyle (f)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]}}$. Aquí${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$denota el orden de${\displaystyle f}$en${\displaystyle P}$Tenemos esa orden${\displaystyle _{P}(f)<0}$si${\displaystyle f}$tiene un polo de orden${\displaystyle -\mathrm {ord} _{P}(f)}$en${\displaystyle P}$,${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)=0}$si${\displaystyle f}$está definido y distinto de cero en${\displaystyle P}$y${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)>0}$si${\displaystyle f}$tiene un cero de orden${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$en${\displaystyle P}$. ^{[ 1 ]} Se puede demostrar que${\displaystyle f}$tiene solo un número finito de ceros y polos, ^{[ 2 ]} y por lo tanto solo un número finito de los ord${\displaystyle _{P}(f)}$son distintos de cero. Esto implica que div${\displaystyle (f)}$es un divisor. Además, como${\textstyle \sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)}=0}$, ^{[ 2 ]} es el caso que${\displaystyle \operatorname {div} (f)}$es un divisor de grado 0. Tales divisores, es decir, divisores que provienen de alguna función racional${\displaystyle f}$, se denominan divisores principales y el conjunto de todos los divisores principales${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$es un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$Prueba . El elemento identidad${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$proviene de una función constante que no es cero. Supongamos${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]},D_{2}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(g)[P]}\in \mathrm {Princ} (C)}$son dos divisores principales que provienen de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$respectivamente. Entonces${\textstyle D_{1}-D_{2}=\sum _{P\in C}{(\mathrm {ord} _{P}(f)-\mathrm {ord} _{P}(g))[P]}}$proviene de la función${\displaystyle f/g}$y por lo tanto${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$es también un divisor principal. Concluimos que${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$es cerrado bajo la suma y los inversos, lo que lo convierte en un subgrupo.

Ahora podemos definir el grupo cociente.${\displaystyle J(C):=\mathrm {Div} ^{0}(C)/\mathrm {Princ} (C)}$que se denomina grupo jacobino o grupo picardo de${\displaystyle C}$Dos divisores${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$se denominan equivalentes si pertenecen al mismo elemento de${\displaystyle J(C)}$, este es el caso si y solo si${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$es un divisor principal. Consideremos, por ejemplo, una curva hiperelíptica.${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$sobre un campo${\displaystyle K}$y un punto${\displaystyle P=(a,b)}$en${\displaystyle C}$. Para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$la función racional${\displaystyle f(x)=(x-a)^{n}}$tiene un cero de orden${\displaystyle n}$en ambos${\displaystyle P}$y${\displaystyle {\overline {P}}}$y tiene un polo de orden${\displaystyle 2n}$en${\displaystyle O}$Por lo tanto, encontramos${\displaystyle \operatorname {div} (f)=nP+n{\overline {P}}-2nO}$y podemos simplificar esto a${\displaystyle \operatorname {div} (f)=2nP-2nO}$si${\displaystyle P}$es un punto de Weierstrass.

El caso hiperelíptico general es un poco más complicado. Consideremos una curva hiperelíptica.${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$del género${\displaystyle g}$sobre un campo${\displaystyle K}$Un divisor${\displaystyle D}$de${\displaystyle C}$Se denomina reducido si tiene la forma${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$dónde${\displaystyle k\leq g}$,${\displaystyle P_{i}\not =O}$a pesar de${\displaystyle i=1,\dots ,k}$y${\displaystyle P_{i}\not ={\overline {P_{j}}}}$para${\displaystyle i\not =j}$. Tenga en cuenta que un divisor reducido siempre tiene grado 0, también es posible que${\displaystyle P_{i}=P_{j}}$si${\displaystyle i\not =j}$, pero solo si${\displaystyle P_{i}}$no es un punto de Weierstrass. Se puede demostrar que para cada divisor${\displaystyle D\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$Existe un divisor reducido único${\displaystyle D'}$de tal manera que${\displaystyle D}$es equivalente a${\displaystyle D'}$. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, cada clase del grupo cociente${\displaystyle J(C)}$tiene precisamente un divisor reducido. En lugar de mirar${\displaystyle J(C)}$Podemos, por lo tanto, observar el conjunto de todos los divisores reducidos.