Curva hiperelíptica real

En matemáticas, existen dos tipos de curvas hiperelípticas , una clase de curvas algebraicas : curvas hiperelípticas reales y curvas hiperelípticas imaginarias que se diferencian por el número de puntos en el infinito. Existen curvas hiperelípticas para cada género.${\displaystyle g\geq 1}$La fórmula general de una curva hiperelíptica sobre un campo finito${\displaystyle K}$es dado por $${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$ dónde${\displaystyle h(x),f(x)\in K}$satisfacen ciertas condiciones. En esta página, describimos más sobre las curvas hiperelípticas reales, que son curvas que tienen dos puntos en el infinito, mientras que las curvas hiperelípticas imaginarias tienen un punto en el infinito .

Una curva hiperelíptica real de género g sobre K se define mediante una ecuación de la forma${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$dónde${\displaystyle h(x)\in K}$tiene un grado no mayor que g + 1 mientras${\displaystyle f(x)\in K}$debe tener grado 2 g +1 o 2 g +2. Esta curva es una curva no singular donde ningún punto${\displaystyle (x,y)}$en el cierre algebraico de${\displaystyle K}$satisface la ecuación de la curva${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$y ambas ecuaciones de derivadas parciales :${\displaystyle 2y+h(x)=0}$y${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$. El conjunto de (finitos)${\displaystyle K}$–los puntos racionales en C vienen dados por $${\displaystyle C(K)=\left\{(a,b)\in K^{2}\mid b^{2}+h(a)b=f(a)\right\}\cup S}$$ dónde${\displaystyle S}$es el conjunto de puntos en el infinito. Para curvas hiperelípticas reales, hay dos puntos en el infinito,${\displaystyle \infty _{1}}$y${\displaystyle \infty _{2}}$. Por cualquier punto${\displaystyle P(a,b)\in C(K)}$, el punto opuesto de${\displaystyle P}$es dado por${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-bh)}$; es el otro punto con coordenada x a que también se encuentra en la curva.

Dejar${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$dónde $${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x=x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)(x+3)}$$ encima${\displaystyle R}$. Desde${\displaystyle \deg f(x)=2g+2}$y${\displaystyle f(x)}$tiene grado 6, por lo tanto${\displaystyle C}$es una curva de género g = 2.

La versión homogénea de la ecuación de la curva viene dada por $${\displaystyle Y^{2}Z^{4}=X^{6}+3X^{5}Z-5X^{4}Z^{2}-15X^{3}Z^{3}+4X^{2}Z^{4}+12XZ^{5}.}$$ Tiene un único punto en el infinito dado por (0:1:0), pero este punto es singular. La explosión de${\displaystyle C}$tiene 2 puntos diferentes en el infinito, que denotamos${\displaystyle \infty _{1}}$y${\displaystyle \infty _{2}}$Por lo tanto, esta curva es un ejemplo de una curva hiperelíptica real.

En general, toda curva dada por una ecuación donde f tiene grado par posee dos puntos en el infinito y es una curva hiperelíptica real, mientras que aquellas donde f tiene grado impar poseen un único punto en la explosión sobre (0:1:0) y, por lo tanto, son curvas hiperelípticas imaginarias . En ambos casos, esto supone que la parte afín de la curva no es singular (véanse las condiciones sobre las derivadas mencionadas anteriormente).

En una curva hiperelíptica real, la suma ya no se define sobre puntos como en las curvas elípticas , sino sobre divisores y el jacobiano . Sea${\displaystyle C}$Sea una curva hiperelíptica de género g sobre un cuerpo finito K. Un divisor${\displaystyle D}$en${\displaystyle C}$es una suma finita formal de puntos${\displaystyle P}$en${\displaystyle C}$. Nosotros escribimos $${\displaystyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$$dónde${\displaystyle n_{P}\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle n_{p}=0}$para casi todos${\displaystyle P}$.

El grado de${\textstyle D=\sum _ {P\in C}{n_{P}P}}$se define por $${\displaystyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{n_{P}}.}$$${\displaystyle D}$Se dice que está definido sobre${\displaystyle K}$si${\textstyle D^{\sigma }=\sum _ {P\in C}n_{P}P^{\sigma }=D}$para todos los automorfismos σ de${\displaystyle {\overline {K}}}$encima${\displaystyle K}$. El conjunto${\displaystyle Div(K)}$de divisores de${\displaystyle C}$definido sobre${\displaystyle K}$forma un grupo abeliano aditivo bajo la regla de adición $${\displaystyle \sum a_{P}P+\sum b_{P}P=\sum {(a_{P}+b_{P})P}.}$$

El conjunto${\displaystyle Div^{0}(K)}$de todos los divisores de grado cero de${\displaystyle C}$definido sobre${\displaystyle K}$es un subgrupo de${\displaystyle Div(K)}$.

Tomemos un ejemplo:

Dejar${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$y${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$Si los añadimos entonces${\ Displaystyle D_ {1} + D_ {2} = 7P_ {1} +9P_ {2}}$. El grado de${\displaystyle D_{1}}$es${\displaystyle \deg(D_{1})=6+4=10}$y el grado de${\displaystyle D_{2}}$es${\displaystyle \deg(D_{2})=1+5=6}$. Entonces,${\displaystyle \deg(D_{1}+D_{2})=\deg(D_{1})+\deg(D_{2})=16.}$

Para polinomios${\displaystyle G\in K[C]}$, el divisor de${\displaystyle G}$se define por $${\displaystyle \mathrm {div} (G)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} }_{P}(G)P.}$$ Si la función${\displaystyle G}$tiene un poste en un punto${\displaystyle P}$entonces${\displaystyle -{\mathrm {ord} }_{P}(G)}$es el orden de desaparición de${\displaystyle G}$en${\displaystyle P}$. Asumir${\displaystyle G,H}$son polinomios en${\displaystyle K[C]}$; el divisor de la función racional${\displaystyle F=G/H}$se denomina divisor principal y se define por${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\mathrm {div} (G)-\mathrm {div} (H)}$Denotamos el grupo de divisores principales por${\displaystyle P(K)}$, es decir,${\displaystyle P(K)=\{\mathrm {div} (F)\mid F\in K(C)\}}$El jacobino de${\displaystyle C}$encima${\displaystyle K}$se define por${\displaystyle J=Div^{0}/P}$. El grupo de factores${\displaystyle J}$también se le llama grupo de clases divisor de${\displaystyle C}$. Los elementos que se definen sobre${\displaystyle K}$formar el grupo${\displaystyle J(K)}$. Lo denotamos por${\displaystyle {\overline {D}}\en J(K)}$la clase de${\displaystyle D}$en${\displaystyle Div^{0}(K)/P(K)}$.

Existen dos formas canónicas de representar las clases de divisores para curvas hiperelípticas reales.${\displaystyle C}$que tienen dos puntos infinitos${\displaystyle S=\{\infty _{1},\infty _{2}\}}$. La primera consiste en representar un divisor de grado cero mediante${\displaystyle {\bar {D}}}$de tal manera que${\textstyle D=\sum _{i=1}^{r}P_{i}-r\infty _{2}}$, dónde${\displaystyle P_{i}\in C({\bar {\mathbb {F} }}_{q})}$,${\displaystyle P_{i}\not =\infty _{2}}$, y${\displaystyle P_{i}\not ={\bar {P_{j}}}}$si${\displaystyle i\neq j}$El representante${\displaystyle D}$de${\displaystyle {\bar {D}}}$entonces se denomina semirreducido. Si${\displaystyle D}$satisface la condición adicional${\displaystyle r\leq g}$entonces el representante${\displaystyle D}$se llama reducido. ^{[ 1 ]} Nótese que${\displaystyle P_{i}=\infty _{1}}$Se permite para algún i . De ello se deduce que cada clase divisora ​​de grado 0 contiene un representante único.${\displaystyle {\bar {D}}}$con $${\displaystyle D=D_{x}-\deg(D_{x})\infty _{2}+v_{1}(D)(\infty _{1}-\infty _{2}),}$$ dónde${\displaystyle D_{x}}$es divisor que es coprimo con ambos${\displaystyle \infty _{1}}$y${\displaystyle \infty _{2}}$, y${\displaystyle 0\leq \deg(D_{x})+v_{1}(D)\leq g}$.

La otra representación está equilibrada en el infinito. Sea${\displaystyle D_{\infty }=\infty _{1}+\infty _{2}}$, tenga en cuenta que este divisor es${\displaystyle K}$-racional incluso si los puntos${\displaystyle \infty _{1}}$y${\displaystyle \infty _{2}}$no lo son de forma independiente. Escribe el representante de la clase${\displaystyle {\bar {D}}}$como${\displaystyle D=D_{1}+D_{\infty }}$, dónde${\displaystyle D_{1}}$se llama la parte afín y no contiene${\displaystyle \infty _{1}}$y${\displaystyle \infty _{2}}$y dejar${\displaystyle d=\deg(D_{1})}$. Si${\displaystyle d}$es incluso entonces $${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d}{2}}(\infty _{1}+\infty _{2}).}$$

Si${\displaystyle d}$entonces es extraño $${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d+1}{2}}\infty _{1}+{\frac {d-1}{2}}\infty _{2}.}$$ Por ejemplo, sean las partes afines de dos divisores dadas por

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$y${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$

entonces los divisores equilibrados son

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}-5D_{\infty _{1}}-5D_{\infty _{2}}}$y${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}-3D_{\infty _{1}}-3D_{\infty _{2}}}$

Dejar${\displaystyle C}$sea ​​una curva cuadrática real sobre un campo${\displaystyle K}$. Si existe un divisor primo ramificado de grado 1 en${\displaystyle K}$Entonces podemos realizar una transformación birracional a una curva cuadrática imaginaria. Se dice que un punto (finito o infinito) está ramificado si es igual a su opuesto. Esto significa que${\displaystyle P=(a,b)={\overline {P}}=(a,-b-h(a))}$, es decir que${\displaystyle h(a)+2b=0}$. Si${\displaystyle P}$entonces se ramifica${\displaystyle D=P-\infty _{1}}$es un divisor primo ramificado. ^{[ 2 ]}

La curva hiperelíptica real${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$del género${\displaystyle g}$con una ramificación${\displaystyle K}$-punto finito racional${\displaystyle P=(a,b)}$es birracionalmente equivalente a un modelo imaginario${\displaystyle C':y'^{2}+{\bar {h}}(x')y'={\bar {f}}(x')}$del género${\displaystyle g}$, es decir${\displaystyle \deg({\bar {f}})=2g+1}$y los campos de función son iguales${\displaystyle K(C)=K(C')}$. ^{[ 3 ]} Aquí:

En nuestro ejemplo${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$dónde${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x}$, h ( x ) es igual a 0. Para cualquier punto${\displaystyle P=(a,b)}$,${\displaystyle h(a)}$es igual a 0 y por lo tanto el requisito para que P se ramifique se convierte en${\displaystyle b=0}$Sustituyendo${\displaystyle h(a)}$y${\displaystyle b}$, obtenemos${\displaystyle f(a)=0}$, dónde${\displaystyle f(a)=a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)(a+3)}$, es decir,${\displaystyle a\in \{0,1,2,-1,-2,-3\}}$.

De ( i ), obtenemos${\textstyle x={\frac {ax'+1}{x'}}}$y${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{g+1}}}}$. Para g = 2, tenemos${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle a=1}$entonces${\textstyle x={\frac {x'+1}{x'}}}$y${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$, obtenemos $${\displaystyle \left({\frac {y'}{x'^{3}}}\right)^{2}={\frac {x'+1}{x'}}\left({\frac {x'+1}{x'}}+1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+2\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+3\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-2\right).}$$

Para eliminar los denominadores, esta expresión se multiplica por${\displaystyle x^{6}}$, entonces: $${\displaystyle y'^{2}=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')}$$ dando la curva $${\displaystyle C':y'^{2}={\bar {f}}(x')}$$dónde$${\displaystyle {\bar {f}}(x')=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')=-24x'^{5}-26x'^{4}+15x'^{3}+25x'^{2}+9x'+1.}$$

${\displaystyle C'}$es una curva cuadrática imaginaria ya que${\displaystyle {\bar {f}}(x')}$tiene título${\displaystyle 2g+1}$.