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Modus ponens

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En lógica proposicional , el modus ponens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ p oʊ n ɛ n z / ; MP ) , también conocido como modus ponendo ponens ( del latín ' modo que al afirmar afirma ' ), [ 1 ] eliminación de la implicación , o afirmación del antecedente , [ 2 ] es una forma de argumento deductivo y una regla de inferencia . [ 3 ] Se puede resumir como " P implica Q. P es verdadero. Por lo tanto, Q también debe ser verdadero." 

El modus ponens es un silogismo hipotético mixto y está estrechamente relacionado con otra forma válida de argumentación, el modus tollens . Ambos tienen formas aparentemente similares pero inválidas: afirmar el consecuente y negar el antecedente . El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponens .

La historia del modus ponens se remonta a la antigüedad . [ 4 ] El primero en describir explícitamente la forma argumentativa modus ponens fue Teofrasto . [ 5 ] Junto con el modus tollens , es uno de los patrones estándar de inferencia que se pueden aplicar para derivar cadenas de conclusiones que conducen al objetivo deseado.

Explicación

La forma de un argumento modus ponens es un silogismo hipotético mixto , con dos premisas y una conclusión: [ 6 ]

  1. Si P , entonces Q.
  2. PAG .
  3. Por lo tanto, Q.

La primera premisa es una proposición condicional ("si-entonces"), a saber, que P implica Q. La segunda premisa es una afirmación de que P , el antecedente de la proposición condicional, es el caso. De estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q , el consecuente de la proposición condicional, también debe ser el caso.

Un ejemplo de argumento que se ajusta a la forma modus ponens :

  1. Si hoy es martes, entonces John irá a trabajar.
  2. Hoy es martes.
  3. Por lo tanto, Juan irá a trabajar.

Este argumento es válido , pero esto no influye en si alguna de las afirmaciones del argumento es realmente verdadera ; para que el modus ponens sea un argumento sólido , las premisas deben ser verdaderas para cualquier caso verdadero de la conclusión. Un argumento puede ser válido pero no obstante inválido si una o más premisas son falsas; si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. Por ejemplo, John podría ir a trabajar el miércoles. En este caso, el razonamiento para que John vaya a trabajar (porque es martes) es inválido. El argumento solo es sólido los martes (cuando John va a trabajar), pero válido todos los días de la semana. Un argumento proposicional que utiliza el modus ponens se denomina deductivo . [ 7 ]

En los cálculos de secuencias de una sola conclusión , el modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación de cortes para un cálculo afirma que toda demostración que involucre cortes puede transformarse (generalmente, mediante un método constructivo) en una demostración sin cortes, y por lo tanto, que los cortes son admisibles . [ 8 ]

La correspondencia de Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens con la aplicación de funciones : si f es una función de tipo P → Q y x es de tipo P , entonces fx es de tipo Q. [ 9 ]

En inteligencia artificial , el modus ponens se suele denominar encadenamiento hacia adelante . [ 10 ]

Notación formal

La regla del modus ponens puede escribirse en notación secuencial como

PAG→Q,PAG⊢Q{\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}

donde P , Q y P → Q son enunciados (o proposiciones) en un lenguaje formal y ⊢ es un símbolo metalógico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de P y P → Q en algún sistema lógico .

En la lógica clásica bivalente, el modus ponens puede interpretarse a partir del operador condicional material (implicación). La noción de implicación como una construcción matemática rigurosa se remonta a principios del siglo XIX con las primeras obras de lógica matemática, como Begriffsschrift y Principia Mathematica . Dadas dos variables p y q que pueden ser verdaderas o falsas, la implicación ( p → q ) se define como que todos los casos son verdaderos excepto cuando p es verdadera y q es falsa. [ 11 ] Por los supuestos del modus ponens , p → q y p son verdaderas, y por la definición de implicación, se puede deducir que q también debe ser verdadera.

Estado

Si bien el modus ponens es una de las formas argumentativas más utilizadas en lógica, no debe confundirse con una ley lógica; más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la "regla de definición" y la "regla de sustitución". [ 12 ] El modus ponens permite eliminar una proposición condicional de una prueba o argumento lógico (los antecedentes) y, por lo tanto, no llevar estos antecedentes en una cadena cada vez más larga de símbolos; por esta razón, el modus ponens a veces se denomina regla de separación [ 13 ] o ley de separación . [ 14 ] Enderton, por ejemplo, observa que "el modus ponens puede producir fórmulas más cortas a partir de otras más largas", [ 15 ] y Russell observa que "el proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la aparición de ⊦q [el consecuente]... una inferencia es la eliminación de una premisa verdadera; es la disolución de una implicación". [ 16 ]

Una justificación para la «confianza en la inferencia es la creencia de que si las dos afirmaciones anteriores [los antecedentes] no son erróneas, la afirmación final [el consecuente] tampoco lo es». [ 16 ] En otras palabras: si una afirmación o proposición implica una segunda, y la primera es verdadera, entonces la segunda también lo es. Si P implica Q y P es verdadera, entonces Q es verdadera. [ 17 ]

Correspondencia con otros marcos matemáticos

Semántica algebraica

En lógica matemática, la semántica algebraica trata cada oración como el nombre de un elemento en un conjunto ordenado. Típicamente, el conjunto se puede visualizar como una estructura reticular con un solo elemento (el "siempre verdadero") en la parte superior y otro solo elemento (el "siempre falso") en la parte inferior. La equivalencia lógica se convierte en identidad, de modo que cuando¬(PAG∧Q){\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}}y¬PAG∨¬Q{\displaystyle \neg {P}\vee \neg {Q}}, por ejemplo, son equivalentes (como es estándar), entonces¬(PAG∧Q)=¬PAG∨¬Q{\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}}La implicación lógica se convierte en una cuestión de posición relativa:PAG{\displaystyle P}lógicamente implicaQ{\displaystyle Q}por si acasoPAG≤Q{\displaystyle P\leq Q}, es decir, cuando o bienPAG=Q{\displaystyle P=Q}si noPAG{\displaystyle P}yace debajoQ{\displaystyle Q}y está conectada a ella por un camino ascendente.

En este contexto, decir quePAG{\textstyle P}yPAG→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}juntos implicanQ{\displaystyle Q}—es decir, afirmar que el modus ponens es válido— es decir que el punto más alto que se encuentra debajo de ambosPAG{\displaystyle P}yPAG→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}yace debajoQ{\displaystyle Q}, es decir, quePAG∧(PAG→Q)≤Q{\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}. [ a ] ​​En la semántica de la lógica proposicional básica, el álgebra es booleana , con→{\displaystyle \rightarrow }interpretado como el condicional material :PAG→Q=¬PAG∨Q{\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}. Confirmando quePAG∧(PAG→Q)≤Q{\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}Entonces es sencillo, porquePAG∧(PAG→Q)=PAG∧Q{\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q}yPAG∧Q≤Q{\displaystyle P\wedge Q\leq Q}. Con otros tratamientos de→{\displaystyle \rightarrow }La semántica se vuelve más compleja, el álgebra puede no ser booleana y la validez del modus ponens no puede darse por sentada.

cálculo de probabilidad

SiPr(PAG→Q)=incógnita{\displaystyle \Pr(P\rightarrow Q)=x}yPr(PAG)=y{\displaystyle \Pr(P)=y}, entoncesPr(Q){\displaystyle \Pr(Q)}debe estar en el intervalo[incógnita+y−1,incógnita]{\displaystyle [x+y-1,x]}. [ b ] [ 18 ] Para el caso especialincógnita=y=1{\displaystyle x=y=1},Pr(Q){\displaystyle \Pr(Q)}debe ser igual1{\displaystyle 1}.

Lógica subjetiva

Modus ponens representa una instancia del operador de deducción binomial en lógica subjetiva , expresado como:

ωQ‖PAGA=(ωQ|PAGA,ωQ|¬PAGA)⊚ωPAGA,{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,}

dóndeωPAGA{\displaystyle \omega _ {P}^{A}}denota la opinión subjetiva sobrePAG{\displaystyle P}según lo expresado por la fuenteA{\displaystyle A}y la opinión condicionalωQ|PAGA{\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}generaliza la implicación lógicaPAG→Q{\displaystyle P\to Q}. La opinión marginal deducida sobreQ{\displaystyle Q}se denota porωQ‖PAGA{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}. El caso en el queωPAGA{\displaystyle \omega _ {P}^{A}}es una opinión absolutamente VERDADERA sobrePAG{\displaystyle P}es equivalente a la fuenteA{\displaystyle A}diciendo esoPAG{\displaystyle P}es VERDADERO, y el caso dondeωPAGA{\displaystyle \omega _ {P}^{A}}es una opinión absolutamente FALSA sobrePAG{\displaystyle P}es equivalente a la fuenteA{\displaystyle A}diciendo esoPAG{\displaystyle P}es FALSO. El operador de deducción⊚{\displaystyle \circledcirc }La lógica subjetiva produce una opinión deducida absolutamente VERDADERA.ωQ‖PAGA{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}cuando la opinión condicionalωQ|PAGA{\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}es absolutamente VERDADERO y la opinión antecedenteωPAGA{\displaystyle \omega _ {P}^{A}}es absolutamente VERDADERO. Por lo tanto, la deducción lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus ponens como de la Ley de probabilidad total . [ 19 ]

Supuestos casos de incumplimiento

Filósofos y lingüistas han identificado diversos casos en los que el modus ponens parece fallar. Vann McGee , por ejemplo, argumentó que el modus ponens puede fallar para condicionales cuyos consecuentes son a su vez condicionales. [ 20 ] El siguiente es un ejemplo:

  1. O Shakespeare o Hobbes escribieron Hamlet .
  2. Si Shakespeare o Hobbes escribieron Hamlet , entonces, si Shakespeare no lo hizo, lo hizo Hobbes.
  3. Por lo tanto, si Shakespeare no escribió Hamlet , lo hizo Hobbes.

Dado que Shakespeare escribió Hamlet , la primera premisa es verdadera. La segunda premisa también lo es, puesto que, partiendo de un conjunto de posibles autores limitado a Shakespeare y Hobbes, al eliminar a uno de ellos solo queda el otro. Sin embargo, la conclusión es dudosa, puesto que descartar a Shakespeare como autor de Hamlet dejaría numerosos candidatos posibles, muchos de ellos alternativas más plausibles que Hobbes (si las inferencias condicionales se interpretan como condicionales materiales, la conclusión resulta verdadera simplemente por el falso antecedente. Esta es una de las paradojas de la implicación material ).

La forma general de los contraejemplos de tipo McGee al modus ponens es simplementePAG,PAG→(Q→R){\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}, por lo tanto,Q→R{\displaystyle Q\rightarrow R}; sin embargo, no es esencial quePAG{\displaystyle P}ser una disyunción, como en el ejemplo dado. Que este tipo de casos constituyan fallas del modus ponens sigue siendo una opinión controvertida entre los lógicos, pero las opiniones varían sobre cómo deben resolverse los casos, y algunos autores han rechazado el argumento de McGee. [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]

En lógica deóntica , algunos ejemplos de obligación condicional también plantean la posibilidad de un fallo del modus ponens . Se trata de casos en los que la premisa condicional describe una obligación basada en una acción inmoral o imprudente, por ejemplo, «Si Doe asesina a su madre, debería hacerlo con suavidad», para lo cual la dudosa conclusión incondicional sería «Doe debería asesinar a su madre con suavidad». [ 24 ] Parecería que, si Doe está asesinando a su madre con suavidad, entonces, según el modus ponens, está haciendo exactamente lo que debería hacer incondicionalmente. Una vez más, el fallo del modus ponens no es un diagnóstico popular y es criticado por algunos autores, aunque a veces se argumenta a su favor. [ 25 ]

Posibles falacias

La falacia de afirmar el consecuente es una interpretación errónea común del modus ponens . [ 26 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ El punto más alto que se encuentra debajo de ambosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}es el " encuentro " deincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}, denotado porincógnita∧Y{\displaystyle X\wedge Y}.
  2. ↑ Desde¬PAG{\displaystyle \neg P}implicaPAG→Q{\displaystyle P\rightarrow Q},incógnita{\displaystyle x}siempre debe ser mayor o igual que1−y{\displaystyle 1-y}y por lo tantoincógnita+y−1{\displaystyle x+y-1}será mayor o igual que0{\displaystyle 0}. Y desde entoncesy{\displaystyle y}siempre debe ser menor o igual que1{\displaystyle 1},incógnita+y−1{\displaystyle x+y-1}siempre debe ser menor o igual queincógnita{\displaystyle x}.

Referencias

  1. ↑ Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language . Londres: Routledge. pág . 60. ISBN  0-415-91775-1.
  2. ↑ "Referencia de Oxford: afirmando el antecedente" . Referencia de Oxford .
  3. ↑ Enderton 2001:110
  4. ↑ Susanne Bobzien (2002). "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad", Phronesis 47, No. 4, 2002.
  5. ↑ Bobzien, Susanne (15 de abril de 2020). "Lógica antigua" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  6. ^ Bobzien, Susanne. "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad: desde Aristóteles hasta el siglo II d.C." (PDF) . Fronesis . 47 : 359-394 .
  7. ↑ Stern, Reuben. "Dos caras del Modus Ponens" (PDF) . The Journal of Philosophy : 605–621 .
  8. ↑ Carbone, Alessandra. "Making pro ofs without Mo dus Ponens: An introduction to the combinatorics and complexity of cut eliminati" . Bulletin of the American Mathematical Society : 131–159 .
  9. ↑ Pouliasis, Konstantinos. "Relacionando la modalidad de la lógica de justificación y la teoría de tipos al estilo de Curry-Howard" .{{cite journal}}: Para citar una revista se requiere |journal=( ayuda )
  10. ↑ Ivanov, Sergiu. "Encadenamiento hacia adelante y hacia atrás con sistemas P" (PDF) . Ingeniería informática: conceptos, metodologías, herramientas y aplicaciones : 1522–1531 .
  11. ↑ Arlo-Costa, Horacio (3 de julio de 2021). "La lógica de los condicionales" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  12. ^ Alfred Tarski 1946:47. También Enderton 2001:110 y siguientes.
  13. ↑ Tarski 1946:47
  14. ↑ "Modus ponens - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Consultado el 5 de abril de 2018 .
  15. ↑ Enderton 2001:111
  16. 1 2 Whitehead y Russell 1927:9
  17. ↑ Jago, Mark (2007). Lógica formal . Humanities-Ebooks LLP. ISBN 978-1-84760-041-7.
  18. ↑ Hailperin, Theodore (1996). Lógica probabilística sentencial: orígenes, desarrollo, estado actual y aplicaciones técnicas . Londres: Associated University Presses. pág. 203. ISBN  0934223459.
  19. ↑ Audun Jøsang 2016:92
  20. ↑ Vann McGee (1985). "Un contraejemplo al Modus Ponens", The Journal of Philosophy 82, 462–471.
  21. ^ Sinnott-Armstrong, Moor y Fogelin (1986). "Una defensa del Modus Ponens", The Journal of Philosophy 83, 296–300.
  22. ↑ DE Over (1987). "Suposición y los supuestos contraejemplos al Modus Ponens", Analysis 47, 142–146.
  23. ↑ Bledin (2015). "Modus Ponens Defended", The Journal of Philosophy 112, 462–471.
  24. ↑ "Lógica deóntica" . 21 de abril de 2010. Consultado el 30 de enero de 2020 .Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  25. ↑ Por ejemplo, por Kolodny y MacFarlane (2010). "Ifs and Oughts", The Journal of Philosophy 107, 115–143.
  26. ↑ "Falacias | Enciclopedia de Filosofía en Internet" . iep.utm.edu . Consultado el 6 de marzo de 2020 .

Fuentes

  • Herbert B. Enderton, 2001, Introducción matemática a la lógica, segunda edición , Harcourt Academic Press, Burlington, MA, ISBN 978-0-12-238452-3.
  • Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva: Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre , Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1
  • Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica a *56 (Segunda edición) edición de bolsillo 1962, Cambridge at the University Press, Londres Reino Unido. Sin ISBN, sin LCCCN.
  • Alfred Tarski, 1946. Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas. 2.ª edición, reimpresa por Dover Publications, Mineola, NY. ISBN 0-486-28462-X(pbk).
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