Impulso (física)

En el caso de tiempo continuo, el impulso entregado a una masa constante por una fuerza variable que actúa desde el tiempo t ₁ hasta t ₂ se define como la integral de la fuerza F con respecto al tiempo ^{[ 5 ]} : $${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t.}$$Según la segunda ley de Newton , la fuerza se relaciona con el momento p mediante $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}.}$$Por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{\mathbf {p} _{1}}^{\mathbf {p} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {p} \\&=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}=\Delta \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ donde Δp es el cambio en el momento lineal desde el tiempo _t1 hasta el tiempo t2 _. Esto se conoce a menudo como el teorema impulso-momento (análogo al teorema trabajo-energía ).

Como resultado del hallazgo anterior, un impulso también puede considerarse como el cambio en el momento lineal de un objeto al que se le aplica una fuerza resultante. El impulso puede expresarse de forma más sencilla cuando la masa es constante: $${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t=\Delta \mathbf {p} =m\mathbf {v_{2}} -m\mathbf {v_{1}} ,}$$ dónde

• F es la fuerza resultante aplicada,
• t ₁ y t ₂ son los momentos en que el impulso comienza y termina, respectivamente.
• m es la masa del objeto,
• v ₂ es la velocidad final del objeto al final del intervalo de tiempo, y
• v ₁ es la velocidad inicial del objeto cuando comienza el intervalo de tiempo.

La segunda ley de Newton se escribe a menudo como $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}.}$$ Pero esto solo ocurre cuando no hay transferencia de masa hacia o desde p . Cuando la masa de un objeto cambia por exudación o acumulación de masa, el momento tiene una dependencia temporal tanto en su aspecto de masa como en su aspecto de velocidad. Si se aplica ingenuamente la segunda ley de Newton, la conclusión errónea es $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(incorrect)} .}$$ Más bien, supongamos que la ocurrencia de la masa que sale o entra ocurre después de cada período Δt , en el cual una masa Δm se exuda de la masa original m y procede a viajar con velocidad u . Por la tercera ley de Newton , el impulso (es decir, la transferencia de momento) entre las dos masas constantes es igual y opuesto, $${\displaystyle \mathbf {J} _{m}=-\mathbf {J} _{\Delta m}.}$$ Por lo tanto, el impulso sobre m por Δ m es $${\displaystyle \mathbf {J} _{m}=\Delta m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$$ Supongamos que se aplica una fuerza externa F _ext al primer objeto. Entonces, en una unidad de tiempo Δ t , gana un impulso J _ext = F _ext Δ t y luego pierde una masa Δ m , produciendo el impulso neto, $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {J} _{m}=\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }\Delta t+\Delta m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$$ Por lo tanto, lo que encontramos es que en el límite infinitesimal, que, $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=m\mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {u} -\mathbf {v} ).}$$ Relacionando esto con la segunda ley de Newton, tenemos que la ley se aplica solo al momento total P del sistema. Usando esto y etiquetando la masa que ha salido del sistema con ex , $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {ex} }}{\mathrm {d} t}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{\mathrm {ex} }{\frac {\mathrm {d} m_{\mathrm {ex} }}{\mathrm {d} t}}\\&=m\mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {u} -\mathbf {v} ),\end{aligned}}}$$obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, en este caso, tanto el método de impulsos por pasos como el método de fuerza newtoniana infinitesimal funcionan.

Supongamos que nuestro ejemplo anterior fue para un cohete. Entonces, usando la ecuación para J , tenemos que el impulso específico I _sp es $${\displaystyle I_{\mathrm {sp} }=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$$ En este caso, llamamos a esta magnitud velocidad de escape, ya que es igual a la velocidad a la que el material sale del cohete con respecto al sistema de referencia del cohete. El empuje T es entonces ${\textstyle \mathbf {T} =-{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}I_{\mathrm {sp} }={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$