Invariancia de impulsos

Cabe destacar que se producirá aliasing, incluso por debajo de la frecuencia de Nyquist, siempre que la respuesta del filtro de tiempo continuo sea distinta de cero por encima de dicha frecuencia. La transformación bilineal es una alternativa a la invariancia de impulso que utiliza una función de mapeo diferente: la respuesta en frecuencia del sistema de tiempo continuo, hasta frecuencia infinita, se proyecta en el rango de frecuencias hasta la frecuencia de Nyquist en el caso de tiempo discreto, a diferencia de la invariancia de impulso, que mapea las frecuencias linealmente con solapamiento circular.

Si los polos continuos en${\displaystyle s=s_{k}}$, la función del sistema se puede escribir en una expansión en fracciones parciales como

${\displaystyle H_{c}(s)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}}\,}$

Así, utilizando la transformada inversa de Laplace, la respuesta al impulso es

${\displaystyle h_{c}(t)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}t}},&t\geq 0\\0,&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}}$

La respuesta impulsional del sistema de tiempo discreto correspondiente se define entonces de la siguiente manera:

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,}$

Al aplicar una transformada Z a la respuesta impulsional en tiempo discreto, se obtiene la siguiente función del sistema en tiempo discreto.

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}\,}$

De este modo, los polos de la función del sistema de tiempo continuo se traducen en polos en z = e s ^{k _T .} Los ceros, si los hay, no se transforman de forma tan sencilla.

Si la función del sistema tiene tanto polos como ceros, se pueden mapear de la misma manera, pero el resultado ya no es una invariancia de impulso: la respuesta al impulso en tiempo discreto no es simplemente igual a muestras de la respuesta al impulso en tiempo continuo. Este método se conoce como el método de la transformada Z adaptada o mapeo de polos y ceros.

Dado que los polos en el sistema de tiempo continuo en s = s _k se transforman en polos en el sistema de tiempo discreto en z = exp( s _k T ), los polos en la mitad izquierda del plano s se mapean al interior del círculo unitario en el plano z ; por lo tanto, si el filtro de tiempo continuo es causal y estable, entonces el filtro de tiempo discreto también será causal y estable.

Cuando una respuesta de impulso causal en tiempo continuo tiene una discontinuidad en${\displaystyle t=0}$, las expresiones anteriores no son consistentes. ^{[ 1 ]} Esto se debe a que${\displaystyle h_{c}(0)}$tiene límites derechos e izquierdos diferentes, y en realidad solo debería aportar su promedio, la mitad de su valor derecho.${\displaystyle h_{c}(0_{+})}$, a${\displaystyle h[0]}$.

Hacer esta corrección da

${\displaystyle h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{2}}h_{c}(0_{+})\delta [n]\right)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\left(u[n]-{\frac {1}{2}}\delta [n]\right)\,}$

Al aplicar una transformada Z a la respuesta impulsional en tiempo discreto, se obtiene la siguiente función del sistema en tiempo discreto.

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}^{N}A_{k}}.}$

La segunda suma es cero para filtros sin discontinuidad, por lo que ignorarla suele ser seguro.