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Método de transformación Z adaptada

Los polos y ceros del plano s de un filtro paso bajo tipo II de Chebyshev de quinto orden se aproximarán como un filtro de tiempo discreto Los polos y ceros del plano z del filt...

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Los polos y ceros del plano s de un filtro paso bajo tipo II de Chebyshev de quinto orden se aproximarán como un filtro de tiempo discreto
Los polos y ceros del plano z del filtro de Chebyshev de tiempo discreto, tal como se mapean en el plano z utilizando el método de transformada Z adaptada con T = 1/10 de segundo. Los puntos de frecuencia etiquetados y las líneas punteadas del borde de la banda también se han mapeado a través de la función z=e iωT , para mostrar cómo las frecuencias a lo largo del eje iω en el plano s se mapean en el círculo unitario en el plano z .

El método de transformada Z adaptada , también llamado mapeo polo-cero [1] [2] o método de adaptación polo -cero [3] y abreviado MPZ o MZT [4] , es una técnica para convertir un diseño de filtro de tiempo continuo en un diseño de filtro de tiempo discreto ( filtro digital ).

El método funciona asignando todos los polos y ceros del diseño del plano s a las ubicaciones del plano z , para un intervalo de muestra . [5] Entonces, un filtro analógico con función de transferencia: el = mi s yo {\displaystyle z=e^{sT}} yo = 1 / F s {\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s}}}

yo ( s ) = a a ∏ i = 1 METRO ( s − o i ) ∏ i = 1 norte ( s − pag i ) {\displaystyle H(s)=k_{\mathrm {a}} {\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})} {\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}}

se transforma en la función de transferencia digital

yo ( el ) = a d ∏ i = 1 METRO ( 1 − mi o i yo el − 1 ) ∏ i = 1 norte ( 1 − mi pag i yo el − 1 ) {\displaystyle H(z)=k_{\mathrm {d}} {\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}}

La ganancia debe ajustarse para normalizar la ganancia deseada, generalmente configurada para que coincida con la ganancia del filtro analógico en CC configurando y y resolviendo para . [3] [6] a d {\displaystyle k_{\mathrm {d}}} s = 0 {\estilo de visualización s=0} el = 1 {\displaystyle z=1} a d {\displaystyle k_{\mathrm {d}}}

Dado que el mapeo envuelve el eje del plano s alrededor del círculo unitario del plano z repetidamente, cualquier cero (o polo) mayor que la frecuencia de Nyquist se mapeará a una ubicación alias. [7] yo ω {\displaystyle j\omega}

En el caso (común) de que la función de transferencia analógica tenga más polos que ceros, los ceros en pueden desplazarse opcionalmente hacia abajo hasta la frecuencia de Nyquist colocándolos en , lo que hace que la función de transferencia caiga de la misma manera que con la transformada bilineal (BLT). [1] [3] [6] [7] s = ∞ {\displaystyle s=\infty} el = − 1 {\displaystyle z=-1} el → − 1 {\displaystyle z\rightarrow -1}

Si bien esta transformación preserva la estabilidad y la fase mínima , no preserva la respuesta en el dominio del tiempo ni en el de la frecuencia, por lo que no se utiliza ampliamente. [8] [7] Los métodos más comunes incluyen el BLT y los métodos de invariancia de impulso . [4] Sin embargo, MZT proporciona un error de respuesta de alta frecuencia menor que el BLT, lo que hace que sea más fácil de corregir agregando ceros adicionales, lo que se denomina MZTi (por "mejorado"). [9]

Una aplicación específica del método de transformada Z adaptada en el campo del control digital es la fórmula de Ackermann , que cambia los polos del sistema controlable ; en general, desde una ubicación inestable (o cercana) a una ubicación estable.

Respuestas del filtro (línea discontinua) y su aproximación de tiempo discreto (línea continua), para una frecuencia de corte nominal de 1 Hz y una frecuencia de muestreo de 1/T = 10 Hz. El filtro de tiempo discreto no reproduce la propiedad de ondulación equilibrada de Chebyshev en la banda de supresión debido a la interferencia de copias cíclicas de la respuesta.

Referencias

  1. ^ ab Won Young Yang (2009). Señales y sistemas con MATLAB. Springer. pág. 292. ISBN 978-3-540-92953-6.
  2. ^ Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales. AIAA. p. 151. ISBN  978-1-56347-261-9.
  3. ^ abc Arthur GO Mutambara (1999). Diseño y análisis de sistemas de control. CRC Press. p. 652. ISBN 978-0-8493-1898-6.
  4. ^ ab Al-Alaoui, MA (febrero de 2007). "Nuevo enfoque para las transformadas de analógico a digital". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 54 (2): 338–350. doi :10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN  1549-8328. S2CID  9049852.
  5. ^ SV Narasimhan y S. Veena (2005). Procesamiento de señales: principios e implementación. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN  978-1-84265-199-5.
  6. ^ ab Franklin, Gene F. (2015). Control de retroalimentación de sistemas dinámicos . Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas (séptima edición). Boston: Pearson. págs. 607–611. ISBN. 978-0133496598. OCLC  869825370. Debido a que los sistemas físicos a menudo tienen más polos que ceros, es útil agregar ceros arbitrariamente en z = -1.
  7. ^ abc Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. pp. 224–226. ISBN 0139141014Se ha sugerido la conveniencia de agregar artificialmente ceros en z = —1 al sistema digital... pero esta técnica ad hoc es, en el mejor de los casos, sólo una medida provisional. ... En general, es preferible utilizar una transformación invariante al impulso o bilineal en lugar de la transformación z adaptada.
  8. ^ Jackson, Leland B. (1996). Filtros digitales y procesamiento de señales. Springer Science & Business Media. pág. 262. ISBN 9780792395591. Aunque se pueden diseñar filtros perfectamente utilizables de esta manera, esta transformación no conserva propiedades especiales en el dominio del tiempo o de la frecuencia, y no se utiliza ampliamente.
  9. ^ Ojas, Chauhan; David, Gunness (1 de septiembre de 2007). "Optimización de la respuesta de magnitud de filtros de transformada Z adaptados ("MZTi") para la ecualización de altavoces". Audio Engineering Society . Archivado desde el original el 27 de julio de 2019.URL alternativa
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