Flujo incompresible

En mecánica de fluidos , o más generalmente en mecánica de medios continuos , el flujo incompresible es aquel en el que la densidad del material no varía con el tiempo. De forma equivalente, la divergencia de la velocidad de un flujo incompresible es cero. Bajo ciertas condiciones, el flujo de fluidos compresibles puede modelarse como un flujo incompresible con buena aproximación.

El requisito fundamental para el flujo incompresible es que la densidad,${\displaystyle \rho }$, es constante dentro de un pequeño volumen de elemento, dV , que se mueve a la velocidad de flujo u . Matemáticamente, esta restricción implica que la derivada material (que se discute más adelante) de la densidad debe anularse para asegurar un flujo incompresible. Antes de introducir esta restricción, debemos aplicar la conservación de la masa para generar las relaciones necesarias. La masa se calcula mediante una integral de volumen de la densidad,${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

La conservación de la masa requiere que la derivada temporal de la masa dentro de un volumen de control sea igual al flujo de masa , J , a través de sus límites. Matemáticamente, podemos representar esta restricción en términos de una integral de superficie :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }$

El signo negativo en la expresión anterior garantiza que el flujo hacia afuera produce una disminución de la masa con respecto al tiempo, utilizando la convención de que el vector de área superficial apunta hacia afuera. Ahora, utilizando el teorema de la divergencia, podemos derivar la relación entre el flujo y la derivada parcial temporal de la densidad:

${\displaystyle {\iiint \limits _ {V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _ {V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

por lo tanto:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

La derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo no tiene por qué ser nula para garantizar un flujo incompresible . Cuando hablamos de la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo, nos referimos a esta tasa de cambio dentro de un volumen de control de posición fija . Al permitir que la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo sea distinta de cero, no nos restringimos a fluidos incompresibles , ya que la densidad puede cambiar, tal como se observa desde una posición fija, a medida que el fluido fluye a través del volumen de control. Este enfoque mantiene la generalidad, y el hecho de no exigir que la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo sea nula ilustra que los fluidos incompresibles aún pueden experimentar un flujo compresible. Lo que nos interesa es el cambio en la densidad de un volumen de control que se mueve junto con la velocidad del flujo, u . El flujo está relacionado con la velocidad del flujo mediante la siguiente función:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

De modo que la conservación de la masa implica que:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

La relación anterior (donde hemos utilizado la regla del producto apropiada ) se conoce como la ecuación de continuidad . Ahora, necesitamos la siguiente relación sobre la derivada total de la densidad (donde aplicamos la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

Entonces, si elegimos un volumen de control que se mueve a la misma velocidad que el fluido (es decir, ( dx / dt , dy / dt , dz / dt ) = u ), entonces esta expresión se simplifica a la derivada material :    

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

Y así, utilizando la ecuación de continuidad derivada anteriormente, vemos que:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

Un cambio en la densidad a lo largo del tiempo implicaría que el fluido se hubiera comprimido o expandido (o que la masa contenida en nuestro volumen constante, dV , hubiera cambiado), lo cual hemos prohibido. Por lo tanto, debemos exigir que la derivada material de la densidad sea nula y, equivalentemente (para densidades distintas de cero), también debe serlo la divergencia de la velocidad del flujo.

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

Así pues, partiendo de la conservación de la masa y de la condición de que la densidad dentro de un volumen de fluido en movimiento permanezca constante, se ha demostrado que una condición equivalente necesaria para el flujo incompresible es que la divergencia de la velocidad del flujo sea nula.

En algunos campos, una medida de la incompresibilidad de un flujo es el cambio en la densidad como resultado de las variaciones de presión. Esto se expresa mejor en términos de la compresibilidad.

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

Si la compresibilidad es suficientemente pequeña, el flujo se considera incompresible.

Un flujo incompresible se describe mediante un campo de velocidad solenoidal . Pero un campo solenoidal, además de tener una divergencia nula, también tiene la connotación adicional de tener un rotacional distinto de cero (es decir, un componente rotacional).

De lo contrario, si un flujo incompresible también tiene un rotacional de cero, de modo que también es irrotacional , entonces el campo de velocidad del flujo es en realidad laplaciano .

Como se definió anteriormente, un flujo incompresible (isocórico) es aquel en el que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

Esto equivale a decir que

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

es decir, la derivada material de la densidad es cero. Por lo tanto, si se sigue un elemento material, su densidad de masa permanece constante. Nótese que la derivada material consta de dos términos. El primer término${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$describe cómo cambia la densidad del elemento material con el tiempo. Este término también se conoce como término transitorio . El segundo término,${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$Describe los cambios en la densidad a medida que el elemento material se desplaza de un punto a otro. Este es el término de advección (término de convección para un campo escalar). Para que un flujo se considere incompresible, la suma de estos términos debe ser cero.

Por otro lado, un material homogéneo e incompresible es aquel que tiene una densidad constante en toda su extensión. Para tal material,${\displaystyle \rho ={\text{constante}}}$Esto implica que,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$y

${\displaystyle \nabla \rho =0}$de forma independiente .

De la ecuación de continuidad se deduce que

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Así, los materiales homogéneos siempre experimentan un flujo incompresible, pero lo contrario no es cierto. Es decir, los materiales compresibles podrían no experimentar compresión durante el flujo.

En dinámica de fluidos, un flujo se considera incompresible si la divergencia de la velocidad del flujo es cero. Sin embargo, en ocasiones se pueden utilizar formulaciones relacionadas, dependiendo del sistema de flujo que se esté modelando. A continuación se describen algunas versiones:

1. Flujo incompresible :${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$Esto puede suponer un flujo de densidad constante (estrictamente incompresible) o de densidad variable. El conjunto de densidad variable acepta soluciones que implican pequeñas perturbaciones en los campos de densidad , presión y/o temperatura, y puede permitir la estratificación de la presión en el dominio.
2. Flujo anelástico :${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$Utilizada principalmente en el campo de las ciencias atmosféricas , la restricción anelástica extiende la validez del flujo incompresible a la densidad y/o temperatura estratificadas, así como a la presión. Esto permite que las variables termodinámicas se relajen a un estado base "atmosférico" observado en la atmósfera inferior cuando se utiliza en el campo de la meteorología, por ejemplo. Esta condición también puede utilizarse para diversos sistemas astrofísicos. ^{[ 1 ]}
3. Flujo a bajo número de Mach , o pseudoincompresibilidad :${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$La restricción de bajo número de Mach se puede derivar de las ecuaciones de Euler compresibles mediante un análisis de escala de cantidades adimensionales. Esta restricción, al igual que la anterior en esta sección, permite la eliminación de ondas acústicas, pero también permite grandes perturbaciones en la densidad y/o la temperatura. Se supone que el flujo se mantiene dentro de un límite de número de Mach (normalmente menor que 0,3) para que cualquier solución que utilice dicha restricción sea válida. Nuevamente, de acuerdo con todos los flujos incompresibles, la desviación de presión debe ser pequeña en comparación con el estado base de presión. ^{[ 2 ]}

Estos métodos hacen suposiciones diferentes sobre el flujo, pero todos tienen en cuenta la forma general de la restricción.${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$para funciones generales dependientes del flujo${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$.

La naturaleza rigurosa de las ecuaciones de flujo incompresible implica que se han ideado técnicas matemáticas específicas para resolverlas. Algunos de estos métodos incluyen:

1. El método de proyección (tanto aproximado como exacto)
2. Técnica de compresibilidad artificial (aproximada)
3. Preacondicionamiento de la compresibilidad

• Principio de Bernoulli
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Flujo isocórico
• Ecuaciones de Navier-Stokes