Indiscernibles

En lógica matemática , los indiscernibles son objetos que no se pueden distinguir mediante ninguna propiedad o relación definida por una fórmula . Por lo general, solo se consideran fórmulas de primer orden .

Si a , b y c son distintos y { a , b , c } es un conjunto de indiscernibles , entonces, por ejemplo, para cada fórmula binaria , debemos tener ${\estilo de visualización \beta}$

${\displaystyle [\beta (a,b)\land \beta (b,a)\land \beta (a,c)\land \beta (c,a)\land \beta (b,c)\land \beta (c,b)]\lor }$

${\displaystyle [\lno \beta (a,b)\land \lno \beta (b,a)\land \lno \beta (a,c)\land \lno \beta (c,a)\land \lno \beta (b,c)\land \lno \beta (c,b)]\,.}$

Históricamente, la identidad de los indiscernibles fue una de las leyes del pensamiento de Gottfried Leibniz .

En algunos contextos se considera la noción más general de indiscernibles de orden , y el término secuencia de indiscernibles a menudo se refiere implícitamente a esta noción más débil. En nuestro ejemplo de fórmulas binarias, decir que el triple ( a , b , c ) de elementos distintos es una secuencia de indiscernibles implica

${\displaystyle ([\varphi (a,b)\land \varphi (a,c)\land \varphi (b,c)]\lor [\lno \varphi (a,b)\land \lno \varphi (a,c)\land \lno \varphi (b,c)])}$y

${\displaystyle ([\varphi (b,a)\land \varphi (c,a)\land \varphi (c,b)]\lor [\lno \varphi (b,a)\land \lno \varphi (c,a)\land \lno \varphi (c,b)])\,.}$

De manera más general, para una estructura con dominio y un ordenamiento lineal , se dice que un conjunto es un conjunto de -indiscernibles para si para cualesquiera subconjuntos finitos y con y y cualquier fórmula de primer orden del lenguaje de con variables libres, . ^{[1] p. 2}${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización <}$${\displaystyle I\subseteq A}$${\estilo de visualización <}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle \{i_{0},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I}$${\displaystyle \{j_{0},\ldots ,j_{n}\}\subseteq I}$${\displaystyle i_{0}<\ldots <i_{n}}$${\displaystyle j_{0}<\ldots <j_{n}}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}\vDash \phi (i_{0},\ldots ,i_{n})\iff {\mathfrak {A}}\vDash \phi (j_{0},\ldots ,j_{n})}$

Los indiscernibles de orden ocupan un lugar destacado en la teoría de los cardinales de Ramsey , los cardinales de Erdős y el cero sostenido .

• Identidad de los indiscernibles
• Conjunto preliminar

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-44085-7.Zbl 1007.03002  .