Cardenal Ramsey

En matemáticas , un cardinal de Ramsey es un cierto tipo de número cardinal grande introducido por Erdős y Hajnal (1962) y nombrado en honor a Frank P. Ramsey , cuyo teorema, llamado teorema de Ramsey, establece que ω disfruta de una cierta propiedad que los cardinales de Ramsey generalizan al caso no numerable .

Sea [ κ ] ^{< ω} el conjunto de todos los subconjuntos finitos de κ . Un número cardinal κ se llama Ramsey si, para cada función

f : [ κ ] ^{< ω} → {0, 1}

Existe un conjunto A de cardinalidad κ que es homogéneo para f . Es decir, para cada n , la función f es constante en los subconjuntos de cardinalidad n de A. Un cardinal κ se llama inefablemente Ramsey si A puede elegirse como un subconjunto estacionario de κ . Un cardinal κ se llama virtualmente Ramsey si para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

Hay C , un subconjunto cerrado y no acotado de κ , de modo que para cada λ en C de cofinalidad no numerable , hay un subconjunto no acotado de λ que es homogéneo para f ; ligeramente más débil es la noción de casi Ramsey donde se requieren conjuntos homogéneos para f de tipo de orden λ , para cada λ < κ .

La existencia de cualquiera de estos cardinales de Ramsey es suficiente para probar la existencia de 0 ^# , o incluso que todo conjunto con rango menor que κ tiene un . Esto, a su vez, implica la falsedad del Axioma de Constructibilidad de Kurt Gödel .

Todo cardinal mensurable es un cardinal de Ramsey, y todo cardinal de Ramsey es un cardinal de Rowbottom .

Una propiedad de fuerza intermedia entre la ramseyness y la mensurabilidad es la existencia de un ideal no principal normal κ -completo I en κ tal que para todo A ∉ I y para toda función

f : [ κ ] ^{< ω} → {0, 1}

Existe un conjunto B ⊂ A que no pertenece a I y que es homogéneo para f . Esto es estrictamente más fuerte que el hecho de que κ sea inefablemente Ramsey.

Un cardinal regular κ es Ramsey si y solo si ^{[ 1 ]} para cualquier conjunto A ⊂ κ , existe un conjunto transitivo M ⊨ ZFC ⁻ (es decir ZFC sin el axioma del conjunto potencia) de tamaño κ con A ∈ M , y un ultrafiltro no principal U en el álgebra booleana P(κ) ∩ M tal que:

• U es un ultrafiltro M: para cualquier secuencia ⟨ X _β  : β < κ ⟩ ∈ M de miembros de U , la intersección diagonal Δ X _β = { α < κ  : ∀ β < α ( α ∈ X _β )} ∈ U ,
• U es débilmente amenable: para cualquier secuencia ⟨ X _β  : β < κ ⟩ ∈ M de subconjuntos de κ , el conjunto { β < κ  : X _β ∈ U } ∈ M , y
• U es σ-completo: la intersección de cualquier familia numerable de miembros de U está nuevamente en U.